8. 两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是$(2x - 10)°$和$(110 - x)°$，则$x=$.

8.40或80

【分析】
两条直线相交所成的四个角中，任意两个角的关系只有两种：要么是对顶角（大小相等），要么是邻补角（和为$180°$）。题中没有明确给出两个角的位置关系，因此需要分两种情况分类讨论，分别列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 若两个角是对顶角，根据对顶角相等列方程：
$2x-10=110-x$
移项得：$2x+x=110+10$
合并同类项得：$3x=120$
解得：$x=40$
验证：此时两个角均为$70°$，符合对顶角性质，成立。
2. 若两个角是邻补角，根据邻补角和为$180°$列方程：
$(2x-10)+(110-x)=180$
化简得：$x+100=180$
解得：$x=80$
验证：此时两个角分别为$150°$和$30°$，和为$180°$，符合邻补角性质，成立。
综上，$x$的值为40或80。
【答案】
40或80
【知识点】
对顶角相等；邻补角互补；一元一次方程求解
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，遗漏两个角为邻补角的情况，解题时要全面考虑相交线中角的位置关系。
【难度系数】
0.6

9.(2025·良庆区月考)下列各图中的直线都相交于一点.若n条直线相交于一点,则共有对对顶角.

9.$n(n-1)$

【分析】
这是一道规律探究题，我们可以先从简单的特殊情况入手，先数出2条、3条、4条直线相交于一点时的对顶角数量，再观察对顶角数量和直线条数的对应关系，归纳出普遍规律，最后推广到n条直线的情况即可。
【解析】
我们先分别计算已知图形的对顶角数量：
1. 图①有2条直线相交于一点，数得对顶角共有2对，可写为$2=2×1$；
2. 图②有3条直线相交于一点，数得对顶角共有6对，可写为$6=3×2$；
3. 图③有4条直线相交于一点，数得对顶角共有12对，可写为$12=4×3$；
观察上述式子的规律：对顶角的对数等于直线条数乘比直线条数小1的数。
因此当n条直线相交于一点时，对顶角共有$n(n-1)$对。
【答案】
$n(n-1)$
【知识点】
1. 对顶角的识别 2. 图形规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是从简单情况出发，通过枚举计数找到数量变化的规律，同时要明确对顶角的定义，避免计数时出现遗漏或重复的问题。
【难度系数】
0.7

10.如图,点A,O,B在同一条直线上,OE平分∠BOC,∠DOE=90°.
(1)与∠COD互余的角有;
(2)若∠COE=30°,求∠AOE的度数;
(3)试说明:OD是∠AOC的平分线.

10.(1)$∠BOE,∠COE$
(2)解:因为OE平分$∠BOC$,
所以$∠COE=∠BOE=30°$,
所以$∠AOE=180°-30°=150°$.
(3)解:因为OE是$∠BOC$的平分线,
所以$∠COE=∠BOE$.
因为$∠DOE=90°$,所以$∠COD+∠COE=90°$,
且$∠DOA+∠BOE=180°-∠DOE=90°$,
所以$∠DOC+∠COE=∠DOA+∠BOE$,
所以$∠DOC=∠DOA$,所以OD是$∠AOC$的平分线.

【分析】
(1) 找与∠COD互余的角，首先明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余。已知∠DOE=90°，可得∠COD+∠COE=90°，再结合OE平分∠BOC，可知∠COE=∠BOE，因此∠COD+∠BOE也等于90°，即可得到对应的互余角。
(2) 求∠AOE的度数，先根据角平分线的定义，由OE平分∠BOC得出∠BOE=∠COE=30°，再利用A、O、B共线，∠AOB是平角为180°，用平角度数减去∠BOE的度数即可得到∠AOE的度数。
(3) 要说明OD是∠AOC的平分线，只需证明∠AOD=∠COD即可。结合∠DOE=90°可得∠COD和∠COE互余，再结合平角180°可得∠AOD和∠BOE互余，最后利用OE平分∠BOC得到∠COE=∠BOE，根据等角的余角相等即可推出∠AOD=∠COD，完成证明。
【解析】
(1) 因为∠DOE=90°，所以∠COD+∠COE=90°，又因为OE平分∠BOC，所以∠COE=∠BOE，因此∠COD+∠BOE=90°，故与∠COD互余的角为∠BOE、∠COE。
(2) 因为OE平分∠BOC，所以∠COE=∠BOE=30°，又因为点A、O、B在同一条直线上，∠AOB=180°，所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-30°=150°。
(3) 因为OE是∠BOC的平分线，所以∠COE=∠BOE。
因为∠DOE=90°，所以∠COD+∠COE=90°。
又因为∠AOB=180°，所以∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°。
因此∠COD+∠COE=∠AOD+∠BOE，结合∠COE=∠BOE，可得∠COD=∠AOD，所以OD是∠AOC的平分线。
【答案】
(1) $\boxed{∠BOE,∠COE}$
(2) $\boxed{150°}$
(3) OD是∠AOC的平分线，证明见上述解析。
【知识点】
互余的定义；角平分线的判定；平角的定义
【点评】
本题综合考查了角的计算与角平分线的证明，解题核心是理清图中角的和差关系，结合互余、角平分线、平角的相关性质逐步推导即可，属于基础的角度综合题。
【难度系数】
0.7

11. 如图①，直线 AB 与 CD 相交于点 E，射线 EG 在∠AEC 内部.
(1)若∠BEC 的补角是它的余角的 3 倍，则∠BEC=；
(2)在(1)的条件下，若∠CEG 比∠AEG 小 25°，求∠AEG 的度数；
(3)如图②，若射线 EF 平分∠AED，∠FEG=100°，则∠AEG−∠CEG=.

第 11 题图

11.(1)$45°$
(2)解:因为$∠BEC=45°$,所以$∠AEC=180°-45°=135°$.
设$∠AEG=x°$,则$∠CEG=x°-25°$,
所以$x+(x-25)=135$,解得$x=80$,所以$∠AEG=80°$.
(3)$20°$

【分析】
(1) 利用余角、补角的定义，设∠BEC的度数为未知数，根据“补角是余角的3倍”的数量关系列方程求解即可。
(2) 先根据邻补角的和为180°求出∠AEC的度数，再结合∠CEG和∠AEG的大小关系设未知数列方程求解。
(3) 先根据角平分线的性质得到∠AEF=∠DEF，再结合平角为180°推出∠CEG与∠AEF的和，最后转化∠AEG的表达式作差即可求出结果。
【解析】
(1) 设$∠ BEC=x°$，则它的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$。
根据题意得：$180-x=3(90-x)$
解得：$x=45$，即$∠ BEC=45°$。
(2) $\because ∠ BEC=45°$，$∠ AEC$与$∠ BEC$为邻补角，
$\therefore ∠ AEC=180°-45°=135°$。
设$∠ AEG=x°$，则$∠ CEG=(x-25)°$，
$\because ∠ AEG+∠ CEG=∠ AEC$，
$\therefore x+(x-25)=135$，
解得$x=80$，即$∠ AEG=80°$。
(3) $\because EF$平分$∠ AED$，$\therefore ∠ AEF=∠ DEF$。
$\because ∠ FEG=100°$，$∠ CED$是平角为$180°$，
$\therefore ∠ CEG+∠ DEF=180°-100°=80°$，即$∠ CEG+∠ AEF=80°$。
又$\because ∠ AEG=∠ FEG-∠ AEF=100°-∠ AEF$，
$\therefore ∠ AEG-∠ CEG=(100°-∠ AEF)-∠ CEG=100°-(∠ AEF+∠ CEG)=100°-80°=20°$。
【答案】
(1)$45°$；(2)$80°$；(3)$20°$
【知识点】
余角补角定义，邻补角性质，角平分线定义
【点评】
本题是角度计算的常规题型，解题时需要理清各个角之间的和差关系，熟练掌握角的相关概念，灵活运用方程思想求解即可。
【难度系数】
0.7

12.已知直线AB与CD相交于点O.
(1)如图①,若∠AOM=90°,OC平分∠AOM,求∠AOD的度数;
(2)如图②,若∠AOM=90°,∠BOC=4∠BON,OM平分∠CON,求∠MON的度数;
(3)如图③,若∠AOM=α,∠BOC=4∠BON,OM平分∠CON,求∠MON的度数.(用含α的式子表示)

12.解:(1)因为$∠AOM=90°$,OC平分$∠AOM$,
所以$∠AOC=\frac{1}{2}∠AOM=\frac{1}{2}×90°=45°$.
因为$∠AOC+∠AOD=180°$,
所以$∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°$.
(2)因为$∠BOC=4∠BON$,
所以设$∠BON=x$,则$∠BOC=4x$,
所以$∠CON=∠COB-∠BON=4x-x=3x$.
因为OM平分$∠CON$,
所以$∠COM=∠MON=\frac{1}{2}∠CON=\frac{3}{2}x$.
因为$∠AOM=90°$,所以$∠BOM=90°$,
所以$∠BOM=∠MON+∠BON=\frac{3}{2}x+x=90°$,
所以$x=36°$,所以$∠MON=\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×36°=54°$.
(3)因为$∠BOC=4∠BON$,
所以设$∠BON=x$,则$∠BOC=4x$,
由(2)可知$∠COM=∠MON=\frac{1}{2}∠CON=\frac{3}{2}x$.
因为$∠AOM=α$,
所以$∠BOM=∠MON+∠BON=\frac{3}{2}x+x=180°-α$,
所以$x=\frac{360°-2α}{5}$,
所以$∠MON=\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×\frac{360°-2α}{5}=\frac{540°-3α}{5}$.

【分析】
(1) 已知∠AOM=90°，OC平分∠AOM，首先根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，再结合∠AOC和∠AOD是邻补角、和为180°，即可求出∠AOD的度数。
(2) 已知∠BOC和∠BON存在倍数关系，可设∠BON为x，用x表示出∠CON，再根据OM平分∠CON得到∠MON和x的关系；结合∠AOM=90°可知∠BOM=90°，即∠MON+∠BON=90°，列方程求解x后代入即可得到∠MON的度数。
(3) 解题思路和第(2)问一致，仅将∠BOM的度数替换为180°-α（∠AOM和∠BOM为邻补角），同样设未知数列方程，最后用含α的代数式表示出∠MON即可。
【解析】
(1) 因为$∠AOM=90°$，OC平分$∠AOM$，
所以$∠AOC=\frac{1}{2}∠AOM=\frac{1}{2}×90°=45°$。
因为$∠AOC+∠AOD=180°$，
所以$∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°$。
(2) 因为$∠BOC=4∠BON$，
所以设$∠BON=x$，则$∠BOC=4x$，
所以$∠CON=∠COB-∠BON=4x-x=3x$。
因为OM平分$∠CON$，
所以$∠COM=∠MON=\frac{1}{2}∠CON=\frac{3}{2}x$。
因为$∠AOM=90°$，所以$∠BOM=90°$，
所以$∠BOM=∠MON+∠BON=\frac{3}{2}x+x=90°$，
解得$x=36°$，所以$∠MON=\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×36°=54°$。
(3) 因为$∠BOC=4∠BON$，
所以设$∠BON=x$，则$∠BOC=4x$，
由(2)可知$∠COM=∠MON=\frac{1}{2}∠CON=\frac{3}{2}x$。
因为$∠AOM=α$，
所以$∠BOM=∠MON+∠BON=\frac{3}{2}x+x=180°-α$，
解得$x=\frac{360°-2α}{5}$，
所以$∠MON=\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×\frac{360°-2α}{5}=\frac{540°-3α}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{135°}$；(2) $\boldsymbol{54°}$；(3) $\boldsymbol{\frac{540°-3α}{5}}$
【知识点】
1. 邻补角性质 2. 角平分线定义 3. 角度计算
【点评】
本题分层设置问题，难度逐步提升，核心考查角平分线的性质、邻补角的数量关系，同时渗透了方程思想在角度计算中的应用，是相交线相关角度计算的典型题型，有助于掌握角度问题的通用解题方法。
【难度系数】
0.6