三、解答题
10. 如图,平面上有四个点 A,B,C,D.
(1)根据下列语句画图:
①画射线 AB;
②画直线 CD 交射线 AB 于点 E;
③在线段 BC 的延长线上取一点 F,使 $CF=CD$,连接 AD,AF.
(2)图中以 A 为顶点的角中,小于平角的角有哪几个?

10.解:(1)如答图.
(2)以 A 为顶点的角中,小于平角的角有$∠DAB,∠DAF,∠BAF$,共3个.

【分析】
(1) 画图时需紧扣几何图形的定义：射线AB以A为端点，向B方向无限延伸；直线CD可向两端无限延伸，画出后找到它与射线AB的交点标记为E；BC的延长线是沿B到C的方向延伸，在延长线上取点F使CF=CD，最后连接AD、AF即可完成作图。
(2) 求解第二问时，首先明确平角为180°，先找出所有以A为端点的射线，按顺序两两组合，筛选出角度小于180°的角，按顺序计数可避免漏数或多数。
【解析】
(1) ① 以A为端点，过点B向AB方向延伸，画出射线AB；
② 过C、D两点画直线，直线与射线AB的交点记作E；
③ 沿B到C的方向延长线段BC，在延长线上截取CF=CD，再依次连接AD、AF，完成作图，结果如答图所示。
(2) 平角是度数为180°的角，观察图形可知，以A为端点的射线有AB、AD、AF三条，两两组成的小于平角的角为$∠DAB$、$∠DAF$、$∠BAF$，共3个。
【答案】
(1)如答图。
(2)以 A 为顶点的角中,小于平角的角有$∠DAB,∠DAF,∠BAF$,共3个。
【知识点】
几何基本作图；角的计数；平角定义
【点评】
本题属于几何入门基础题，既考查了射线、直线、线段的作图规范，又考查了角的分类和计数方法，作图时要符合各类线的定义，计数角时按顺序列举即可避免错误。
【难度系数】
0.85

11. 已知 C 是线段 AB 上一点，D 是线段 AB 的中点，若 $ AB=10\ \mathrm{cm} $，$ BC=3\ \mathrm{cm} $。
(1)求线段 CD 的长；
(2)若 E 是直线 AB 上一点，且 $ BE=2\ \mathrm{cm} $，F 是 BE 的中点，求线段 DF 的长。

11.解:(1)因为 D 是线段AB 的中点,AB=10 cm,
所以 $BD=\frac{1}{2}AB=5$ cm.
因为 BC=3 cm,所以 $CD=BD-BC=2$ cm.
(2)当点 E 在线段 AB 的延长线上时,如答图①,
因为 BE=2 cm,F 是 BE 的中点,
所以 $BF=\frac{1}{2}BE=1$ cm,
所以 $DF=BD+BF=5+1=6$(cm);
当点 E 在线段 AB 上时,如答图②,
因为 BE=2 cm,F 是 BE 的中点,
所以 $BF=\frac{1}{2}BE=1$ cm,
所以 $DF=BD-BF=5-1=4$(cm).
综上所述,线段 DF 的长为 6 cm 或 4 cm.

【分析】
(1) 求解线段CD的长度，首先根据D是AB中点的条件，先求出BD的长度，再结合已知BC的长度，利用线段的差的关系即可求出CD。
(2) 由于E是直线AB上的点，位置不唯一，需分两种情况讨论：①E在线段AB的延长线上；②E在线段AB上。两种情况都先利用F是BE中点的性质求出BF的长度，再根据线段的和差关系分别计算DF的长度即可。
【解析】
(1) 因为D是线段AB的中点，$AB=10\ \mathrm{cm}$，
所以 $BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，
又已知 $BC=3\ \mathrm{cm}$，
所以 $CD=BD-BC=5-3=2\ \mathrm{cm}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点E在线段AB的延长线上时，如答图①：
因为 $BE=2\ \mathrm{cm}$，F是BE的中点，
所以 $BF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$，
因此 $DF=BD+BF=5+1=6\ \mathrm{cm}$；
② 当点E在线段AB上时，如答图②：
因为 $BE=2\ \mathrm{cm}$，F是BE的中点，
所以 $BF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$，
因此 $DF=BD-BF=5-1=4\ \mathrm{cm}$。
综上，线段DF的长度为6 cm或4 cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$，对应位置参考：答图①、答图②。
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论
【点评】
本题是线段计算的常规题型，核心考查线段中点的性质和线段和差的运算，易错点是第二问忽略直线上点的位置的多样性，漏算其中一种情况，解题时要注意审题，明确“线段”和“直线”的区别。
【难度系数】
0.7

12.已知O为直线AB上一点,射线OD,OC,OE位于直线AB上方,OD在OE的左侧,∠AOC=120°,∠DOE=80°.
(1)如图①,当OD平分∠AOC时,求∠EOB的度数;
(2)点F在射线OB上,若射线OF绕点O逆时针旋转$n°(0＜n＜180$且$n≠60),∠FOA=3∠AOD$.当∠DOE在∠AOC内部(如图②)和∠DOE的两边在射线OC的两侧(如图③)时,求∠EOF和∠EOC的数量关系.

12.解:(1)因为 OD 平分$∠AOC,∠AOC=120°$,
所以$∠AOD=∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=60°$.
因为$∠DOE=80°$,
所以$∠AOE=∠AOD+∠DOE=60°+80°=140°$,
所以$∠EOB=180°-∠AOE=180°-140°=40°$.
(2)当$∠DOE$在$∠AOC$内部时,
令$∠AOD = x°$,则$∠FOA = 3x°$,$\therefore ∠DOF = 2x°$,
$∠EOF=80°-2x°$,
所以$∠EOC=120°-(x°+2x°+80°-2x°)=40°-x°$,
所以$∠EOF=2∠EOC$.
当$∠DOE$的两边在射线 OC 的两侧时,令$∠AOD=x°$,
则$∠FOA=3x°$,$\therefore ∠DOF=2x°$,$∠DOC=120°-x°$,
$∠EOF=2x°-80°$,
所以$∠EOC=80°-(120°-x°)=x°-40°$,
所以$∠EOF=2∠EOC$.
综上,$∠EOF$ 和$∠EOC$ 的数量关系为$∠EOF = 2∠EOC$.

【分析】
(1) 第一问解题思路：先利用角平分线的定义，结合已知的∠AOC度数求出∠AOD的度数，再通过角的和差关系计算出∠AOE的度数，最后根据平角为180°，即可求出∠EOB的度数。
(2) 第二问解题思路：分两种情况讨论，两种情况均先设∠AOD为x°，根据∠FOA=3∠AOD推出∠DOF的度数，再结合已知的∠AOC、∠DOE的度数，分别用含x的式子表示出∠EOF和∠EOC，整理后即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 因为 OD 平分$∠AOC,∠AOC=120°$,
所以$∠AOD=∠COD=\frac{1}{2}∠AOC=60°$.
因为$∠DOE=80°$,
所以$∠AOE=∠AOD+∠DOE=60°+80°=140°$,
所以$∠EOB=180°-∠AOE=180°-140°=40°$.
(2) 当$∠DOE$在$∠AOC$内部时,
令$∠AOD = x°$,则$∠FOA = 3x°$,$\therefore ∠DOF = 3x°-x°=2x°$,
$∠EOF=∠DOE-∠DOF=80°-2x°$,
$∠EOC=∠AOC-∠AOE=120°-(x°+80°)=40°-x°$,
所以$∠EOF=2∠EOC$.
当$∠DOE$的两边在射线 OC 的两侧时,令$∠AOD=x°$,
则$∠FOA=3x°$,$\therefore ∠DOF=3x°-x°=2x°$,$∠DOC=∠AOC-∠AOD=120°-x°$,
$∠EOF=∠DOF-∠DOE=2x°-80°$,
$∠EOC=∠DOE-∠DOC=80°-(120°-x°)=x°-40°$,
所以$∠EOF=2∠EOC$.
综上，两种情况下$∠EOF$和$∠EOC$的数量关系一致。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$；(2) $\boldsymbol{∠EOF=2∠EOC}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题第一问属于基础题，直接运用角平分线和平角的性质即可求解；第二问需要结合角的位置分类讨论，通过设参数表示各角的度数推导角的数量关系，重点考查识图能力和逻辑推导能力，解题时要注意理清各角之间的位置和和差关系。
【难度系数】
0.65