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9 在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最小值是
-3
.答案
9.-3
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确所有“任意两数相加”的组合，三个数两两相加共有3种不同的组合情况；其次按照有理数加法法则分别计算每种组合的和；最后对计算出的所有和进行大小比较，其中最小的数就是所求的最小值。
【解析】
第一步：列出所有两数相加的组合并计算结果：
① $1+(-1)=0$
② $1+(-2)=-1$
③ $(-1)+(-2)=-3$
第二步：比较三个和的大小：$0＞-1＞-3$
因此任意两数之和的最小值是-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
有理数加法运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是不要遗漏任意两数相加的组合，正确运用有理数加法法则计算后比较大小即可得到结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确所有“任意两数相加”的组合，三个数两两相加共有3种不同的组合情况；其次按照有理数加法法则分别计算每种组合的和；最后对计算出的所有和进行大小比较，其中最小的数就是所求的最小值。
【解析】
第一步：列出所有两数相加的组合并计算结果：
① $1+(-1)=0$
② $1+(-2)=-1$
③ $(-1)+(-2)=-3$
第二步：比较三个和的大小：$0＞-1＞-3$
因此任意两数之和的最小值是-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
有理数加法运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是不要遗漏任意两数相加的组合，正确运用有理数加法法则计算后比较大小即可得到结果。
【难度系数】
0.9
10 有下列判断:① 两个有理数相加,它们的和一定大于每一个加数;② 一个正数与一个负数相加一定得0;③ 两个负数的和的绝对值一定等于它们的绝对值的和;④ 两个正数的和一定是正数.其中,正确的是________(填序号).
答案
10.③④
解析
【分析】
本题考查有理数加法的相关性质，解题时可逐一分析每个判断：对错误的判断通过举反例即可快速验证，对正确的判断结合有理数加法法则和绝对值的性质推导即可，最终筛选出正确的序号。
【解析】
我们逐个分析4个判断：
1. 分析①：举反例，如$2+(-1)=1$，此时和$1$小于加数$2$，说明两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，故①错误；
2. 分析②：举反例，如$3+(-1)=2$，结果不是0，只有互为相反数的正数和负数相加才得0，故②错误；
3. 分析③：根据有理数加法法则，两个负数相加，取负号，再把绝对值相加，因此两个负数的和的绝对值等于两个负数的绝对值相加，例如$\vert -2+(-3)\vert=\vert-5\vert=5$，$\vert-2\vert+\vert-3\vert=2+3=5$，二者相等，故③正确；
4. 分析④：根据有理数加法法则，两个正数相加，取正号，再把绝对值相加，因此和一定是正数，故④正确。
综上，正确的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
有理数加法法则、绝对值的性质
【点评】
本题侧重考查对有理数加法基本规则的理解，判断错误命题时灵活使用举反例的方法可提高解题效率，掌握同号、异号有理数相加的运算规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数加法的相关性质，解题时可逐一分析每个判断：对错误的判断通过举反例即可快速验证，对正确的判断结合有理数加法法则和绝对值的性质推导即可，最终筛选出正确的序号。
【解析】
我们逐个分析4个判断：
1. 分析①：举反例，如$2+(-1)=1$，此时和$1$小于加数$2$，说明两个有理数相加，和不一定大于每一个加数，故①错误；
2. 分析②：举反例，如$3+(-1)=2$，结果不是0，只有互为相反数的正数和负数相加才得0，故②错误；
3. 分析③：根据有理数加法法则，两个负数相加，取负号，再把绝对值相加，因此两个负数的和的绝对值等于两个负数的绝对值相加，例如$\vert -2+(-3)\vert=\vert-5\vert=5$，$\vert-2\vert+\vert-3\vert=2+3=5$，二者相等，故③正确；
4. 分析④：根据有理数加法法则，两个正数相加，取正号，再把绝对值相加，因此和一定是正数，故④正确。
综上，正确的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
有理数加法法则、绝对值的性质
【点评】
本题侧重考查对有理数加法基本规则的理解，判断错误命题时灵活使用举反例的方法可提高解题效率，掌握同号、异号有理数相加的运算规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11（1）若某物先上升20 m，再上升－10 m，则一共上升了
10
m；答案
11.(1) 10
解析
【分析】
解题时首先要明确正负数的实际意义：本题中上升记为正，那么“上升-10m”实际表示下降10m。要求一共上升的高度，只需将两次上升的高度相加，再根据有理数的加法法则计算即可得到结果。
【解析】
根据题意，两次上升的高度分别为20m和-10m，求总上升高度可列算式：
$20 + (-10) = 10(\mathrm{m})$
因此一共上升了10m。
【答案】
10
【知识点】
正负数的意义，有理数的加法运算
【点评】
本题属于基础题，核心是理解正负数可以表示相反意义的量，熟练掌握有理数加法运算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确正负数的实际意义：本题中上升记为正，那么“上升-10m”实际表示下降10m。要求一共上升的高度，只需将两次上升的高度相加，再根据有理数的加法法则计算即可得到结果。
【解析】
根据题意，两次上升的高度分别为20m和-10m，求总上升高度可列算式：
$20 + (-10) = 10(\mathrm{m})$
因此一共上升了10m。
【答案】
10
【知识点】
正负数的意义，有理数的加法运算
【点评】
本题属于基础题，核心是理解正负数可以表示相反意义的量，熟练掌握有理数加法运算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
(2)已知一个数为－5，另一个数比这个数的相反数大4，则这两个数的和为
4
.答案
11.(2) 4
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先明确已知的第一个数为-5；第二步先根据相反数的定义求出-5的相反数，再结合“另一个数比这个相反数大4”的条件算出另一个数；第三步将两个数相加，即可求出两数之和。
【解析】
1. 已知第一个数是$-5$，根据相反数的定义，$-5$的相反数为$5$；
2. 另一个数比$-5$的相反数大4，因此另一个数为：$5 + 4 = 9$；
3. 计算两个数的和：$-5 + 9 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
相反数的定义；有理数的加法运算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是先准确求出另一个数，计算过程中注意有理数加法的符号规则即可。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为三步：第一步先明确已知的第一个数为-5；第二步先根据相反数的定义求出-5的相反数，再结合“另一个数比这个相反数大4”的条件算出另一个数；第三步将两个数相加，即可求出两数之和。
【解析】
1. 已知第一个数是$-5$，根据相反数的定义，$-5$的相反数为$5$；
2. 另一个数比$-5$的相反数大4，因此另一个数为：$5 + 4 = 9$；
3. 计算两个数的和：$-5 + 9 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
相反数的定义；有理数的加法运算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是先准确求出另一个数，计算过程中注意有理数加法的符号规则即可。
【难度系数】
0.9
12 小颖同学做这样一道题“计算$|-5+△|$”，其中“$△$”是被墨水污染的一个数，她翻开答案，得知该题的计算结果是3，那么“$△$”表示的数是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
12.8或2
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质：若一个数的绝对值为正数，则这个数有两种可能，分别是该正数和它的相反数。本题中已知$|-5+△|=3$，我们可以把$-5+△$看作整体，它的值为3或者-3，再分别列方程求解即可，注意要分两种情况讨论，不要漏解。
【解析】
解：根据题意可得$|-5+△|=3$
由绝对值的性质可知，绝对值等于3的数为$3$或$-3$，分两种情况计算：
1. 当$-5+△=3$时，
移项得$△=3+5$，解得$△=8$；
2. 当$-5+△=-3$时，
移项得$△=-3+5$，解得$△=2$。
【答案】
8或2
【知识点】
绝对值的性质，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查绝对值的性质应用，解题时要注意分类讨论，避免只考虑一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆绝对值的性质：若一个数的绝对值为正数，则这个数有两种可能，分别是该正数和它的相反数。本题中已知$|-5+△|=3$，我们可以把$-5+△$看作整体，它的值为3或者-3，再分别列方程求解即可，注意要分两种情况讨论，不要漏解。
【解析】
解：根据题意可得$|-5+△|=3$
由绝对值的性质可知，绝对值等于3的数为$3$或$-3$，分两种情况计算：
1. 当$-5+△=3$时，
移项得$△=3+5$，解得$△=8$；
2. 当$-5+△=-3$时，
移项得$△=-3+5$，解得$△=2$。
【答案】
8或2
【知识点】
绝对值的性质，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查绝对值的性质应用，解题时要注意分类讨论，避免只考虑一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
13 计算：
(1) $(-1.8)+3.79$；
(2) $(-4\dfrac{2}{3})+(+3\dfrac{1}{6})$；
(3) $(-\dfrac{4}{5})+(-3\dfrac{3}{4})$；
(4) $\dfrac{2}{5}+(-\dfrac{1}{3})$；
(5) $-(-5)+(-6)$；
(6) $-(-\dfrac{2}{3})+(-20)$。
(1) $(-1.8)+3.79$；
(2) $(-4\dfrac{2}{3})+(+3\dfrac{1}{6})$；
(3) $(-\dfrac{4}{5})+(-3\dfrac{3}{4})$；
(4) $\dfrac{2}{5}+(-\dfrac{1}{3})$；
(5) $-(-5)+(-6)$；
(6) $-(-\dfrac{2}{3})+(-20)$。
答案
13.(1) 1.99 (2) $-\dfrac{3}{2}$ (3) $-\dfrac{91}{20}$ (4) $\dfrac{1}{15}$ (5) -1 (6) $-19\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
这组题目是有理数加法的基础运算题，解题核心是先明确有理数加法法则，遇到带括号的先根据去括号规则化简符号，再分情况计算：①同号两数相加，取相同的符号，再把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值；遇到分数运算时先通分化为同分母分数再计算，带分数可根据情况转化为假分数或拆分整数、分数部分计算，每一步都要先确定符号再算数值，避免符号错误。
【解析】
(1) 异号两数相加，3.79绝对值更大，结果取正，用较大绝对值减较小绝对值：
$(-1.8)+3.79 = 3.79 - 1.8 = 1.99$
(2) 异号两数相加，先将带分数化为假分数再通分计算：
$(-4\dfrac{2}{3})+(+3\dfrac{1}{6}) = -\dfrac{14}{3} + \dfrac{19}{6} = -\dfrac{28}{6} + \dfrac{19}{6} = -\dfrac{9}{6} = -\dfrac{3}{2}$
(3) 同号两数相加，结果取负，再将绝对值相加，先通分：
$(-\dfrac{4}{5})+(-3\dfrac{3}{4}) = -(\dfrac{4}{5} + \dfrac{15}{4}) = -(\dfrac{16}{20} + \dfrac{75}{20}) = -\dfrac{91}{20}$
(4) 异号两数相加，通分后计算：
$\dfrac{2}{5}+(-\dfrac{1}{3}) = \dfrac{6}{15} - \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{15}$
(5) 先按去括号规则化简符号，再计算异号加法：
$-(-5)+(-6) = 5 - 6 = -1$
(6) 先去括号化简符号，再拆分整数计算：
$-(-\dfrac{2}{3})+(-20) = \dfrac{2}{3} - 20 = -19\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $1.99$；(2) $-\dfrac{3}{2}$；(3) $-\dfrac{91}{20}$；(4) $\dfrac{1}{15}$；(5) $-1$；(6) $-19\dfrac{1}{3}$
【知识点】
有理数加法法则，去括号法则，分数通分运算
【点评】
本题是有理数加法的常规基础题，重点考察运算过程中的符号判断能力和分数、小数的运算准确性，熟练掌握运算法则，养成先定符号再算数值的习惯，就能有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
这组题目是有理数加法的基础运算题，解题核心是先明确有理数加法法则，遇到带括号的先根据去括号规则化简符号，再分情况计算：①同号两数相加，取相同的符号，再把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值；遇到分数运算时先通分化为同分母分数再计算，带分数可根据情况转化为假分数或拆分整数、分数部分计算，每一步都要先确定符号再算数值，避免符号错误。
【解析】
(1) 异号两数相加，3.79绝对值更大，结果取正，用较大绝对值减较小绝对值：
$(-1.8)+3.79 = 3.79 - 1.8 = 1.99$
(2) 异号两数相加，先将带分数化为假分数再通分计算：
$(-4\dfrac{2}{3})+(+3\dfrac{1}{6}) = -\dfrac{14}{3} + \dfrac{19}{6} = -\dfrac{28}{6} + \dfrac{19}{6} = -\dfrac{9}{6} = -\dfrac{3}{2}$
(3) 同号两数相加，结果取负，再将绝对值相加，先通分：
$(-\dfrac{4}{5})+(-3\dfrac{3}{4}) = -(\dfrac{4}{5} + \dfrac{15}{4}) = -(\dfrac{16}{20} + \dfrac{75}{20}) = -\dfrac{91}{20}$
(4) 异号两数相加，通分后计算：
$\dfrac{2}{5}+(-\dfrac{1}{3}) = \dfrac{6}{15} - \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{15}$
(5) 先按去括号规则化简符号，再计算异号加法：
$-(-5)+(-6) = 5 - 6 = -1$
(6) 先去括号化简符号，再拆分整数计算：
$-(-\dfrac{2}{3})+(-20) = \dfrac{2}{3} - 20 = -19\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $1.99$；(2) $-\dfrac{3}{2}$；(3) $-\dfrac{91}{20}$；(4) $\dfrac{1}{15}$；(5) $-1$；(6) $-19\dfrac{1}{3}$
【知识点】
有理数加法法则，去括号法则，分数通分运算
【点评】
本题是有理数加法的常规基础题，重点考察运算过程中的符号判断能力和分数、小数的运算准确性，熟练掌握运算法则，养成先定符号再算数值的习惯，就能有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
14 分类讨论思想 已知$|a|=10$，$|b|=6$，求$a+b$的值.
答案
14. 因为$|a|=10,|b|=6$,所以$a=\pm10,b=\pm6$.分四种情况讨论:① 当$a=10,b=6$时,$a+b=10+6=16$;② 当$a=10,b=-6$时,$a+b=10+(-6)=4$;③ 当$a=-10,b=6$时,$a+b=(-10)+6=-4$;④ 当$a=-10,b=-6$时,$a+b=(-10)+(-6)=-16$.综上所述,$a+b$的值为$\pm16$或$\pm4$
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质：绝对值等于一个正数的数有2个，且互为相反数，因此可以先确定a、b所有可能的取值；接下来a和b的取值共有4种不同的组合，我们需要分类讨论每一种组合，分别计算对应的a+b的值，最后汇总所有结果即可，注意不要遗漏任意一种组合。
【解析】
因为$|a|=10$，$|b|=6$，所以$a=\pm10$，$b=\pm6$，分四种情况讨论：
① 当$a=10$，$b=6$时，$a+b=10+6=16$；
② 当$a=10$，$b=-6$时，$a+b=10+(-6)=4$；
③ 当$a=-10$，$b=6$时，$a+b=(-10)+6=-4$；
④ 当$a=-10$，$b=-6$时，$a+b=(-10)+(-6)=-16$。
综上所述，$a+b$的值为$\pm16$或$\pm4$。
【答案】
$\pm16$或$\pm4$
【知识点】
绝对值的性质，有理数加法运算，分类讨论思想
【点评】
本题是绝对值与有理数加法结合的基础题型，解题关键是牢记绝对值对应两个互为相反数的取值，通过有序分类讨论覆盖所有情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆绝对值的性质：绝对值等于一个正数的数有2个，且互为相反数，因此可以先确定a、b所有可能的取值；接下来a和b的取值共有4种不同的组合，我们需要分类讨论每一种组合，分别计算对应的a+b的值，最后汇总所有结果即可，注意不要遗漏任意一种组合。
【解析】
因为$|a|=10$，$|b|=6$，所以$a=\pm10$，$b=\pm6$，分四种情况讨论：
① 当$a=10$，$b=6$时，$a+b=10+6=16$；
② 当$a=10$，$b=-6$时，$a+b=10+(-6)=4$；
③ 当$a=-10$，$b=6$时，$a+b=(-10)+6=-4$；
④ 当$a=-10$，$b=-6$时，$a+b=(-10)+(-6)=-16$。
综上所述，$a+b$的值为$\pm16$或$\pm4$。
【答案】
$\pm16$或$\pm4$
【知识点】
绝对值的性质，有理数加法运算，分类讨论思想
【点评】
本题是绝对值与有理数加法结合的基础题型，解题关键是牢记绝对值对应两个互为相反数的取值，通过有序分类讨论覆盖所有情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
15 新考向 探究题
（1）比较大小（填“＞”“＜”或“=”）.
① $|+2|+|-3|$ ______ $|(+2)+(-3)|$；
② $|-2|+|-3|$ ______ $|(-2)+(-3)|$；
③ $|0|+|-3|$ ______ $|0+(-3)|$.
（2）在（1）的基础上，璨璨又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整：
① 当$a,b$ ______时，$|a|+|b|＞|a+b|$（填“同号”或“异号”）；
② 当$a,b$ ______时，$|a|+|b|=|a+b|$（填“同号”或“异号”）；
③ 当$a,b$中至少有一个为0时，$|a|+|b|$ ______ $|a+b|$（填“＞”“＜”或“=”）.
（3）根据（2）中的结论，当$|x|+2026=|x-2026|$时，$x$的取值范围是 ______.
（1）比较大小（填“＞”“＜”或“=”）.
① $|+2|+|-3|$ ______ $|(+2)+(-3)|$；
② $|-2|+|-3|$ ______ $|(-2)+(-3)|$；
③ $|0|+|-3|$ ______ $|0+(-3)|$.
（2）在（1）的基础上，璨璨又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整：
① 当$a,b$ ______时，$|a|+|b|＞|a+b|$（填“同号”或“异号”）；
② 当$a,b$ ______时，$|a|+|b|=|a+b|$（填“同号”或“异号”）；
③ 当$a,b$中至少有一个为0时，$|a|+|b|$ ______ $|a+b|$（填“＞”“＜”或“=”）.
（3）根据（2）中的结论，当$|x|+2026=|x-2026|$时，$x$的取值范围是 ______.
答案
15.(1) ① ＞ ② = ③ = (2) ① 异号 ② 同号 ③ = (3) $x≤0$
解析
【分析】
本题围绕绝对值与有理数加法的关系展开考查，解题思路分为三步：第一步先分别计算（1）中每个小问左右两边式子的结果，再比较大小；第二步根据（1）的计算结果，结合a、b的符号特征归纳总结出|a|+|b|与|a+b|的大小规律；第三步将（3）中的式子变形为符合总结规律的形式，直接套用规律得出x的取值范围即可。
【解析】
（1）① 左边：$|+2|+|-3|=2+3=5$，右边：$|(+2)+(-3)|=|-1|=1$，$\because 5＞1$，$\therefore$ 填$＞$；
② 左边：$|-2|+|-3|=2+3=5$，右边：$|(-2)+(-3)|=|-5|=5$，$\because 5=5$，$\therefore$ 填$=$；
③ 左边：$|0|+|-3|=0+3=3$，右边：$|0+(-3)|=|-3|=3$，$\because 3=3$，$\therefore$ 填$=$。
（2）① 观察（1）中①的两个数+2、-3为异号，此时$|a|+|b|＞|a+b|$，故填异号；
② 观察（1）中②的两个数-2、-3为同号，此时$|a|+|b|=|a+b|$，故填同号；
③ 观察（1）中③有一个数为0，此时两边相等，故填$=$。
（3）将$|x|+2026$变形为$|x|+|-2026|$，原式即$|x|+|-2026|=|x+(-2026)|$，根据（2）的规律可知，x与-2026同号或x=0，$\because -2026$是负数，$\therefore x≤0$。
【答案】
(1) ① $＞$ ② $=$ ③ $=$ (2) ① 异号 ② 同号 ③ $=$ (3) $x≤0$
【知识点】
绝对值的运算；有理数加法；规律探究
【点评】
本题属于探究类题型，从具体数值计算入手，引导学生归纳通用规律，再迁移应用规律解题，既考查了基础运算能力，也考查了归纳总结和知识应用能力，掌握绝对值的性质和有理数加法法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
本题围绕绝对值与有理数加法的关系展开考查，解题思路分为三步：第一步先分别计算（1）中每个小问左右两边式子的结果，再比较大小；第二步根据（1）的计算结果，结合a、b的符号特征归纳总结出|a|+|b|与|a+b|的大小规律；第三步将（3）中的式子变形为符合总结规律的形式，直接套用规律得出x的取值范围即可。
【解析】
（1）① 左边：$|+2|+|-3|=2+3=5$，右边：$|(+2)+(-3)|=|-1|=1$，$\because 5＞1$，$\therefore$ 填$＞$；
② 左边：$|-2|+|-3|=2+3=5$，右边：$|(-2)+(-3)|=|-5|=5$，$\because 5=5$，$\therefore$ 填$=$；
③ 左边：$|0|+|-3|=0+3=3$，右边：$|0+(-3)|=|-3|=3$，$\because 3=3$，$\therefore$ 填$=$。
（2）① 观察（1）中①的两个数+2、-3为异号，此时$|a|+|b|＞|a+b|$，故填异号；
② 观察（1）中②的两个数-2、-3为同号，此时$|a|+|b|=|a+b|$，故填同号；
③ 观察（1）中③有一个数为0，此时两边相等，故填$=$。
（3）将$|x|+2026$变形为$|x|+|-2026|$，原式即$|x|+|-2026|=|x+(-2026)|$，根据（2）的规律可知，x与-2026同号或x=0，$\because -2026$是负数，$\therefore x≤0$。
【答案】
(1) ① $＞$ ② $=$ ③ $=$ (2) ① 异号 ② 同号 ③ $=$ (3) $x≤0$
【知识点】
绝对值的运算；有理数加法；规律探究
【点评】
本题属于探究类题型，从具体数值计算入手，引导学生归纳通用规律，再迁移应用规律解题，既考查了基础运算能力，也考查了归纳总结和知识应用能力，掌握绝对值的性质和有理数加法法则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
