登录
13. 如图，在$△ ABC$中，BD是边AC上的中线，E是BD的中点，连接AE，CE。若$△ ABC$的面积为18，则阴影部分的面积为（）
A.6
B.9
C.12
D.15
A.6
B.9
C.12
D.15
答案
B
解析
根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。
1. 因为BD是AC边上的中线，可得$AD=DC$，因此$S_{△ ABD}=S_{△ CBD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×18=9$。
2. 因为E是BD的中点，可得$BE=ED$，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{9}{2}$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ CBD}=\frac{9}{2}$。
3. 阴影部分面积为$S_{△ ABE}+S_{△ CDE}=\frac{9}{2}+\frac{9}{2}=9$。
1. 因为BD是AC边上的中线，可得$AD=DC$，因此$S_{△ ABD}=S_{△ CBD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×18=9$。
2. 因为E是BD的中点，可得$BE=ED$，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{9}{2}$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ CBD}=\frac{9}{2}$。
3. 阴影部分面积为$S_{△ ABE}+S_{△ CDE}=\frac{9}{2}+\frac{9}{2}=9$。
14.一副三角板按如图所示的位置放置,过点A作直线$HG// BC$,AE平分$∠ CAG$,AC,DE交于点F。已知$∠ D=60°,∠ DAE=90°,∠ ABC=90°,∠ BAC=45°$。则①$AB⊥ AG$;②$AD$平分$∠ CAH$;③$∠ CFE=52.5°$;④$∠ BCA=2∠ BAD$。其中结论正确的有（）
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
答案
D
解析
逐一判断各结论：
1. 判定①：因为$HG// BC$，$∠ ABC=90°$，由平行线同旁内角互补得$∠ ABC+∠ BAG=180°$，推出$∠ BAG=90°$，故$AB⊥ AG$，①正确。
2. 判定②：由$AB⊥ HG$得$∠ HAB=90°$，结合$∠ BAC=45°$，得$∠ CAH=∠ HAB+∠ BAC=135°$；由$HG// BC$，内错角相等得$∠ CAG=∠ BCA=45°$；$AE$平分$∠ CAG$，故$∠ CAE=22.5°$。由$∠ DAE=90°$，得$∠ BAD=90°-∠ BAC-∠ CAE=22.5°$，进而$∠ HAD=∠ HAB-∠ BAD=67.5°$，$∠ DAC=∠ CAH-∠ HAD=67.5°$，$∠ HAD=∠ DAC$，故$AD$平分$∠ CAH$，②正确。
3. 判定③：在$△ ADF$中，$∠ DAF=∠ DAC=67.5°$，$∠ D=60°$，由内角和得$∠ AFD=180°-60°-67.5°=52.5°$，由对顶角相等得$∠ CFE=∠ AFD=52.5°$，③正确。
4. 判定④：$Rt△ ABC$中$∠ BCA=45°$，$∠ BAD=22.5°$，故$∠ BCA=2∠ BAD$，④正确。
四个结论全部正确。
1. 判定①：因为$HG// BC$，$∠ ABC=90°$，由平行线同旁内角互补得$∠ ABC+∠ BAG=180°$，推出$∠ BAG=90°$，故$AB⊥ AG$，①正确。
2. 判定②：由$AB⊥ HG$得$∠ HAB=90°$，结合$∠ BAC=45°$，得$∠ CAH=∠ HAB+∠ BAC=135°$；由$HG// BC$，内错角相等得$∠ CAG=∠ BCA=45°$；$AE$平分$∠ CAG$，故$∠ CAE=22.5°$。由$∠ DAE=90°$，得$∠ BAD=90°-∠ BAC-∠ CAE=22.5°$，进而$∠ HAD=∠ HAB-∠ BAD=67.5°$，$∠ DAC=∠ CAH-∠ HAD=67.5°$，$∠ HAD=∠ DAC$，故$AD$平分$∠ CAH$，②正确。
3. 判定③：在$△ ADF$中，$∠ DAF=∠ DAC=67.5°$，$∠ D=60°$，由内角和得$∠ AFD=180°-60°-67.5°=52.5°$，由对顶角相等得$∠ CFE=∠ AFD=52.5°$，③正确。
4. 判定④：$Rt△ ABC$中$∠ BCA=45°$，$∠ BAD=22.5°$，故$∠ BCA=2∠ BAD$，④正确。
四个结论全部正确。
15. 我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”。
若等腰三角形ABC的周长为20，其中一边长为6，则这个等腰三角形的“和谐比”为。
若等腰三角形ABC的周长为20，其中一边长为6，则这个等腰三角形的“和谐比”为。
答案
解：
分两种情况讨论：
① 当边长为6的边为等腰三角形的腰时，
底边长为 $20 - 6×2 = 8$，
三边长6、6、8满足三角形三边关系，
此时“和谐比”为 $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$；
② 当边长为6的边为等腰三角形的底边时，
腰长为 $\frac{20 - 6}{2} = 7$，
三边长7、7、6满足三角形三边关系，
此时“和谐比”为 $\frac{7}{6}$。
综上，这个等腰三角形的“和谐比”为 $\frac{3}{4}$ 或 $\frac{7}{6}$。
分两种情况讨论：
① 当边长为6的边为等腰三角形的腰时，
底边长为 $20 - 6×2 = 8$，
三边长6、6、8满足三角形三边关系，
此时“和谐比”为 $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$；
② 当边长为6的边为等腰三角形的底边时，
腰长为 $\frac{20 - 6}{2} = 7$，
三边长7、7、6满足三角形三边关系，
此时“和谐比”为 $\frac{7}{6}$。
综上，这个等腰三角形的“和谐比”为 $\frac{3}{4}$ 或 $\frac{7}{6}$。
16.在综合实践活动中，数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为k的三角形的个数m进行了探究，发现：当k=1时，只有{1,1,1}一种情况，即m=1；当k=2时，有{1,2,2}和{2,2,2}两种情况，即m=2；当k=3时，有{1,3,3}，{2,2,3}，{2,3,3}和{3,3,3}四种情况，即m=4；若k=6，则m的值为；若k=19，则m的值为。
答案
$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{100}$
解析
解：
设三角形除最大边k外，另外两边长为a,b，满足$1 ≤ a ≤ b ≤ k$，由三角形三边关系得$a+b＞k$。
当$k=6$时：
若$b=6$，$a$可取1,2,3,4,5,6，共6个符合条件的值；
若$b=5$，$a$可取2,3,4,5，共4个符合条件的值；
若$b=4$，$a$可取3,4，共2个符合条件的值；
当$b ≤ 3$时，$a+b ≤ 3+3=6$，不满足$a+b＞6$，无符合条件的三角形。
因此$m=6+4+2=12$。
当$k=19$时：
若$b=19$，$a$可取1,2,…,19，共19个符合条件的值；
若$b=18$，$a$可取2,3,…,18，共17个符合条件的值；
……
若$b=10$，$a$可取10，共1个符合条件的值；
当$b ≤ 9$时，$a+b ≤ 9+9=18＜19$，无符合条件的三角形。
因此$m=19+17+15+\dots+1=\frac{(1+19)×10}{2}=100$。
设三角形除最大边k外，另外两边长为a,b，满足$1 ≤ a ≤ b ≤ k$，由三角形三边关系得$a+b＞k$。
当$k=6$时：
若$b=6$，$a$可取1,2,3,4,5,6，共6个符合条件的值；
若$b=5$，$a$可取2,3,4,5，共4个符合条件的值；
若$b=4$，$a$可取3,4，共2个符合条件的值；
当$b ≤ 3$时，$a+b ≤ 3+3=6$，不满足$a+b＞6$，无符合条件的三角形。
因此$m=6+4+2=12$。
当$k=19$时：
若$b=19$，$a$可取1,2,…,19，共19个符合条件的值；
若$b=18$，$a$可取2,3,…,18，共17个符合条件的值；
……
若$b=10$，$a$可取10，共1个符合条件的值；
当$b ≤ 9$时，$a+b ≤ 9+9=18＜19$，无符合条件的三角形。
因此$m=19+17+15+\dots+1=\frac{(1+19)×10}{2}=100$。
