17.将连续的正整数1,2,3,…排成如图所示的数表,并从中框出某些数字,例如中用2×4的方框框出了8个数字。现在用如图所示的2×n的方框在中也框出一些数字,设第一行两数为a,b,最后一行两数为c,d,且bc−ad=2025,则n的值为（）

A.405
B.406
C.407
D.410

B

由数表可知，每行有5个连续正整数，因此：
1. 相邻两数满足：$b=a+1$，$d=c+1$；
2. 同一列中，下一行数比上一行大5，从第一行到第$n$行，间隔$(n-1)$行，因此$c=a+5(n-1)$。
将上述关系代入$bc-ad=2025$：
$\begin{aligned}bc-ad&=(a+1)· c - a· (c+1)\\&=ac + c - ac -a\\&=c - a\\&=5(n-1)\end{aligned}$
即$5(n-1)=2025$，解得$n-1=405$，$n=406$。

18.已知长方形ABCD，AD＞AB，AD=8，将两张边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为$S_1$，图2中阴影部分的面积为$S_2$。当$S_1 - S_2 = 2b$时，AB=。

$\boldsymbol{6}$

解：设AB=x，
由图形可得：
$S_1 = 8x - a^2 - b(x - a)$
$S_2 = 8x - a^2 - b(8 - a)$
则$S_1 - S_2$
$= [8x - a^2 - b(x - a)] - [8x - a^2 - b(8 - a)]$
$= 8x - a^2 - bx + ab - 8x + a^2 + 8b - ab$
$= 8b - bx$
已知$S_1 - S_2 = 2b$，代入得：
$8b - bx = 2b$
因为$b＞0$，等式两边同时除以$b$：
$8 - x = 2$
解得$x=6$
即$AB=6$。

19. 观察下列各式及其展开式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
……
请你猜想$(2x-1)^6$的展开式中含$x^2$项的系数是。

解：根据已知展开式的系数规律，可得：
$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6$
将$a=2x$，$b=-1$代入，要得到含$x^2$的项，取展开式中$a$的次数为2的对应项：
$15· a^2· b^4 = 15· (2x)^2· (-1)^4$
计算得：
$15× 4x^2 × 1 = 60x^2$
因此含$x^2$项的系数是$\boldsymbol{60}$。

20.【问题提出】
计算：$1+3+3(1+3)+3(1+3)^2+3(1+3)^3+3(1+3)^4+3(1+3)^5+3(1+3)^6$。
【问题探究】
为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：

解：
将算式中的3替换为a，原算式化为：
$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3+a(1+a)^4+a(1+a)^5+a(1+a)^6$
逐步提取公因式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{一般式}&=(1+a) + a(1+a) + a(1+a)^2 + a(1+a)^3 + a(1+a)^4 + a(1+a)^5 + a(1+a)^6\\&=(1+a)(1+a) + a(1+a)^2 + a(1+a)^3 + a(1+a)^4 + a(1+a)^5 + a(1+a)^6\\&=(1+a)^2 + a(1+a)^2 + a(1+a)^3 + a(1+a)^4 + a(1+a)^5 + a(1+a)^6\\&=(1+a)^2(1+a) + a(1+a)^3 + a(1+a)^4 + a(1+a)^5 + a(1+a)^6\\&=(1+a)^3 + a(1+a)^3 + a(1+a)^4 + a(1+a)^5 + a(1+a)^6\\&\dots\\&=(1+a)^6 + a(1+a)^6\\&=(1+a)^7\end{aligned}$
代入$a=3$，得$1+a=4$：
原算式$=4^7=16384$
答：计算结果为16384。