1.如下三图，AB//CD，求∠AEC的度数.(平行凸凹型)
∠AEC=

∠AEC=

1.80° 50° 120°

【分析】
本题属于平行线间的拐点角度计算问题，通用解题思路为：过拐点E作平行于AB（或CD）的辅助线，根据平行公理的推论可得辅助线也平行于另一条直线，再利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，将∠AEC拆分为两个角的和或差，结合已知角度计算即可。
【解析】
1. 左图：过点E作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，$\therefore EF// CD$。
根据两直线平行，内错角相等，得：
$∠ AEF=∠ A=50°$，$∠ CEF=∠ C=30°$，
$\therefore ∠ AEC=∠ AEF+∠ CEF=50°+30°=80°$。
2. 中图：过点E作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，$\therefore EF// CD$。
根据两直线平行，同旁内角互补，得：
$∠ BAE+∠ AEF=180°$，$∠ DCE+∠ CEF=180°$，
$\therefore ∠ AEF=180°-125°=55°$，$∠ CEF=180°-75°=105°$，
$\therefore ∠ AEC=∠ CEF-∠ AEF=105°-55°=50°$。
3. 右图：过点E作$EF// AB$。
$\because AB// CD$，$\therefore EF// CD$。
根据两直线平行，同旁内角互补，得：
$∠ BAE+∠ AEF=180°$，$∠ DCE+∠ CEF=180°$，
$\therefore ∠ AEF=180°-130°=50°$，$∠ CEF=180°-110°=70°$，
$\therefore ∠ AEC=∠ AEF+∠ CEF=50°+70°=120°$。
【答案】
$80°$；$50°$；$120°$
【知识点】
平行线的性质；辅助线构造；角的和差计算
【点评】
本题是平行线拐点问题的经典题型，核心方法是过拐点作平行线，将分散的角建立联系，通过平行线性质转化角的关系求解，掌握该辅助线技巧可解决同类所有拐点角度问题。
【难度系数】
0.7

2.如图，$∠ B=42°$，则$∠ C+∠ D+∠ E+∠ A$的度数为。

222°

【分析】
本题可通过构造三角形，结合三角形内角和定理与对顶角相等的性质求解。首先找到AB与CE、BD与CE的交点，得到含已知∠B的小三角形，先计算该三角形其余两个内角的和；再利用对顶角相等，将这两个内角分别转化到含∠A、∠E和含∠C、∠D的三角形中，用内角和表示出两组角的和，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
设AB与CE交于点F，BD与CE交于点G。
在$△ BFG$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ B + ∠ BFG + ∠ BGF = 180°$
已知$∠ B=42°$，代入得：
$∠ BFG + ∠ BGF = 180° - 42° = 138°$
因为$∠ AFE$与$∠ BFG$是对顶角，所以$∠ AFE=∠ BFG$。
在$△ AEF$中，$∠ A + ∠ E + ∠ AFE = 180°$，因此：
$∠ A + ∠ E = 180° - ∠ AFE = 180° - ∠ BFG$
同理，$∠ DGC$与$∠ BGF$是对顶角，所以$∠ DGC=∠ BGF$。
在$△ DCG$中，$∠ C + ∠ D + ∠ DGC = 180°$，因此：
$∠ C + ∠ D = 180° - ∠ DGC = 180° - ∠ BGF$
将上述两式相加，可得：
$∠ A + ∠ E + ∠ C + ∠ D = (180° - ∠ BFG) + (180° - ∠ BGF) = 360° - (∠ BFG + ∠ BGF)$
把$∠ BFG + ∠ BGF=138°$代入，得：
$∠ A + ∠ E + ∠ C + ∠ D = 360° - 138° = 222°$
【答案】
$222°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角的和差计算
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题核心是通过交点构造关联三角形，将分散的未知角和已知角建立联系，只要熟练掌握三角形内角和与对顶角的性质，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

3.如图，点C在点A的南偏东$35°$方向上，点C在点B的北偏东$75°$方向上，则$∠ ACB$的度数为。

70°

【分析】
解题时先明确方向角的定义，且不同位置的正北/正南方向线互相平行。我们可以先利用平行线的性质，找到△ABC中∠BAC与∠ABC的和，再结合三角形内角和为180°，即可求出∠ACB的度数。解题时可以设两个平行线被AB所截得的内错角为未知数，计算过程中未知数会抵消，可简化运算。
【解析】
∵ 点A、点B的正北方向线互相平行，AB为截线
∴ 点B看A的北偏东角度 = 点A看B的南偏西角度，设该角度为$α$
由题意得：
$∠ BAC = α + 35°$
$∠ ABC = 75° - α$
∴ $∠ BAC + ∠ ABC = α + 35° + 75° - α = 110°$
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - (∠ BAC + ∠ ABC) = 180° - 110° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
方向角识别，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角与三角形内角和结合的基础题型，解题的关键是利用平行线的性质消去未知的夹角，熟练掌握方向角的含义和三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4.如图，$AE⊥ BE$，$∠ C=55°$，$∠ A=15°$，求$∠ B$的度数.

解:延长 BE 交 AC 于点 M，
∴∠AME=75°，
又
∵∠AME=∠B+∠C，
∴∠B=20°。

【分析】
要求∠B的度数，已知条件给出了AE⊥BE、∠A和∠C的度数，当前两个三角形无直接的角的关联，因此考虑作辅助线构造三角形外角，建立已知角和未知角的联系。我们可以延长BE交AC于点M，首先在Rt△AEM中利用三角形内角和求出∠AME的度数，再利用三角形外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，得到∠AME与∠C、∠B的等量关系，代入数值即可求出∠B。
【解析】
解：延长BE交AC于点M，
∵AE⊥BE，
∴∠AEM=90°（垂直的定义），
在△AEM中，根据三角形内角和为180°可得：
∠A+∠AEM+∠AME=180°，
将∠A=15°代入得：15°+90°+∠AME=180°，
解得∠AME=75°，
又
∵∠AME是△CMB的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠AME=∠C+∠B，
将∠C=55°代入得：75°=55°+∠B，
∴∠B=75°-55°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是通过作辅助线构造三角形外角，将分散的已知角和未知角建立联系，结合三角形内角和与外角的性质即可快速求解，考查了学生作辅助线转化问题的能力。
【难度系数】
0.7

5.(教材P12例1改编)如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°，求∠B和∠C的度数.

解:
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠B=40°,
在△ABC 中,∠C=180°-40°-70°=70°。

【分析】
解题时首先观察到∠ADC是△ABD的外角，可先利用三角形外角的性质，结合已知∠B=∠BAD、∠ADC=80°的条件求出∠B的度数；再根据三角形内角和为180°，在△ABC中代入已知的∠BAC和求出的∠B的度数，即可计算出∠C的度数。
【解析】
∵∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又
∵∠B=∠BAD，∠ADC=80°，
∴2∠B=80°，解得∠B=40°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°，
已知∠BAC=70°，∠B=40°，代入得：
∠C=180°-40°-70°=70°。
【答案】
∠B=40°，∠C=70°
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是准确判断外角对应的不相邻内角，结合已知条件分步推导即可，熟练掌握三角形外角性质和内角和定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.9

6.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ CAB$,$∠ CBA$的平分线相交于点$D$,$BD$的延长线交$AC$于$E$,求$∠ ADE$的度数.

解:设∠ABE=α,∠BAD=β,
∵AD,BD 为∠BAC,∠CBA 平分线,
∴∠BAC=2β,∠ABC=2α,
在△ABC 中,2α+2β=90°,
∴α+β=45°,
∴∠ADE=α+β=45°。

【分析】
要求∠ADE的度数，首先观察∠ADE的位置：它是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此∠ADE=∠BAD+∠ABD。再结合已知条件，AD、BD分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，所以∠BAD是∠CAB的一半，∠ABD是∠CBA的一半。又因为△ABC是直角三角形，∠C=90°，根据三角形内角和可得∠CAB+∠CBA=90°，由此可算出∠BAD+∠ABD的度数，即可得到∠ADE的度数。
【解析】
解：设∠ABE=α，∠BAD=β，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠CBA，
∴∠BAC=2∠BAD=2β，∠ABC=2∠ABE=2α，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，即2α+2β=90°，
化简得α+β=45°，
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠ADE=∠ABE+∠BAD=α+β=45°。
【答案】
∠ADE=45°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质，解题时无需单独求出每个未知角的度数，通过整体代换即可快速得到结果，是三角形角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7

7.(1)如图1，CD平分∠ACB交∠ABC的外角平分线于D.求证：∠A＝2∠D；
(2)如图2，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.求证：∠BAC＝∠B＋2∠E.

7.证明:(1)设∠BCD=α,∠ABD=β,
∴∠D=β-α,又
∵2β-2α=∠A,
∴∠A=2∠D。
(2)设∠ACE=∠DCE=α,α=∠B+∠E,
2α=∠B+∠BAC,
∴∠BAC=∠B+2∠E。

【分析】
(1)要推导∠A和∠D的数量关系，可先借助角平分线的定义，将∠ACB、∠ABC的外角分别表示为平分后小角的2倍，再利用三角形外角的性质，分别用所设的小角表示∠A和∠D，即可推出二者的倍数关系。
(2)要证明∠BAC=∠B+2∠E，首先根据角平分线定义得到∠ACD和∠DCE的倍量关系，再两次使用三角形外角的性质，分别建立∠DCE与∠B、∠E的关系，以及∠ACD与∠B、∠BAC的关系，通过代入消去公共角即可得到待证结论。
【解析】
(1)证明：设∠BCD=α，∠ABD=β。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2α；
∵BD平分∠ABC的外角，
∴这个外角的度数为2β。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ABC的外角=∠A+∠ACB，即2β=∠A+2α，整理得∠A=2β-2α。
再观察△BCD，∠ABD是△BCD的外角，因此∠ABD=∠D+∠BCD，即β=∠D+α，整理得∠D=β-α。
代入∠A的表达式可得∠A=2(β-α)=2∠D，结论得证。
(2)证明：设∠ACE=∠DCE=α。
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2α。
根据三角形外角性质，∠DCE是△BCE的外角，因此∠DCE=∠B+∠E，即α=∠B+∠E ①；
又∠ACD是△ABC的外角，因此∠ACD=∠B+∠BAC，即2α=∠B+∠BAC ②。
将①代入②，得2(∠B+∠E)=∠B+∠BAC，化简后可得∠BAC=∠B+2∠E，结论得证。
【答案】
证明:(1)设∠BCD=α,∠ABD=β,
∴∠D=β-α,又
∵2β-2α=∠A,
∴∠A=2∠D。
(2)设∠ACE=∠DCE=α,α=∠B+∠E,
2α=∠B+∠BAC,
∴∠BAC=∠B+2∠E。
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；等量代换
【点评】
本题是三角形角度关系证明的常规题型，解题的关键是熟练运用角平分线定义和三角形外角的性质，通过设参数表示角的方式可以更直观地梳理角之间的数量关系，降低推导难度，这类题型有助于强化学生对三角形外角性质的理解和运用能力。
【难度系数】
0.7