1. (2025 南通市如皋市期末)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到“割圆术”,其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积,以实现对$π$的近似估算.如图,$\odot O$的半径为 1,则圆的面积为$π$,若将其内接正十二边形的面积称为$\odot O$面积的近似值,据此可得$π$的估计值为 （）

A.$\sqrt{10}$
B.3.14
C.3.13
D.3

1. D 提示:如图,设 AB 是$\odot O$内接正十二边形的一边,过点 A 作 $AM ⊥ OB$,垂足为 M. 因为$∠ AOB=360°÷12=30°$,$OA=1$,所以 $AM=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}$,所以 $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB· AM=\frac{1}{4}$,所以正十二边形的面积为$\frac{1}{4}×12=3$,即$\odot O$面积的近似值为 3,此时 $π\approx3$.

【分析】
要估算π的值，需利用割圆术的核心思路：将圆内接正多边形的面积近似作为圆的面积。首先计算正十二边形的中心角，再通过拆分等腰三角形求出正十二边形的面积，该面积即为π的近似值。
【解析】
1. 计算正十二边形的中心角：圆的周角为360°，正十二边形的中心角∠AOB = 360°÷12 = 30°。
2. 求单个等腰三角形的面积：已知⊙O半径OA=OB=1，过点A作AM⊥OB于M，在Rt△AOM中，∠AOM=30°，因此AM = ½OA = ½×1 = ½。
则△AOB的面积S△AOB = ½×OB×AM = ½×1×½ = ¼。
3. 计算正十二边形的面积：正十二边形由12个与△AOB全等的三角形组成，故正十二边形的面积 = 12×S△AOB = 12×¼ = 3。
4. 得出π的估计值：题目中明确正十二边形的面积是⊙O面积（π）的近似值，因此π≈3。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，中心角
【点评】
本题结合割圆术考查正多边形的基础计算，核心是利用中心角拆分等腰三角形，通过面积求和得到正多边形面积，进而近似估算π，属于基础应用类题目，体现了古代数学思想的现代应用。
【难度系数】
0.6

2. 如图,A,B,C,D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心.若$∠ ADB=20^{\circ }$,则这个正多边形的边为（）

A.7
B.8
C.9
D.10

2. C

【分析】
要解决本题，需结合正多边形的外接圆性质与圆周角定理：正多边形的顶点都在其外接圆上，∠ADB是圆周角，它所对的弧为AB；根据圆周角定理可求出弧AB对应的圆心角，再利用正多边形中心角总和为360°的性质，即可计算出正多边形的边数。
【解析】
因为A、B、C、D是正多边形的顶点，O为正多边形的中心，所以A、B、C、D都在以O为圆心的同一个外接圆上。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知∠ADB=20°，它所对的弧是AB，因此弧AB对应的圆心角∠AOB=2×∠ADB=2×20°=40°。
正多边形的每个中心角（相邻顶点与中心连线的夹角）相等，且所有中心角的和为360°，设该正多边形的边数为n，则n=360°÷∠AOB=360°÷40°=9。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；正多边形中心角
【点评】
本题将正多边形性质与圆周角定理结合，核心是利用圆周角与圆心角的关系求出中心角，再计算边数，考查几何定理的应用能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

3. 如图,正六边形螺帽的边长是$a\ \mathrm{cm}$,这个扳手开口的距离是3 cm,$a$的值是 （）


A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
D.1

3. A

【分析】
要解决这个问题，需明确扳手开口的距离是正六边形两条平行对边之间的距离，再利用正六边形的性质建立边长与该距离的关系，进而求解边长$a$。
【解析】
正六边形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正六边形的性质，其对边之间的距离等于$\sqrt{3}a\ \mathrm{cm}$。
已知扳手开口的距离为$3\ \mathrm{cm}$，因此可列方程：
$\sqrt{3}a = 3$
两边同时除以$\sqrt{3}$，化简得：
$a = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
正六边形的性质、二次根式运算
【点评】
本题结合实际场景考查正六边形的几何性质，核心是掌握正六边形对边距离与边长的关系，属于基础几何应用题目，需学生熟悉正六边形的相关几何量计算。
【难度系数】
0.5

4. 我们知道,除三角形外,其他多边形都不具有稳定性. 如图,将正五边形$OABCD$的边$AB$固定,向右推动该正五边形,使得$O$为$AD$的中点,且点$A,B,C,D$在以点$O$为圆心的圆上,过点$C$作$\odot O$的切线$EF$,则$∠ BCF$的度数为（）


A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$54°$

4. B

【分析】
要解决该问题，需结合正五边形的边长相等性质、圆中弦与弧的对应关系、切线的性质来推导。首先，正五边形的边长相等，推动后A、B、C、D在以O为圆心的圆上，故弦AB=BC=CD，对应弧AB=弧BC=弧CD；又O是AD中点，AD为直径，弧AD为180°，由此可算出各弧的度数，得到圆心角∠BOC；再利用切线性质得OC⊥EF，最后通过角的和差计算∠BCF。
【解析】
1. 由正五边形的性质可知，AB=BC=CD；推动后A、B、C、D在⊙O上，同圆中相等的弦对应相等的弧，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
2. 因为O是AD的中点，所以AD是⊙O的直径，$\overset{\frown}{AD}=180°$，故$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\frac{180°}{3}=60°$，对应的圆心角$∠ BOC=60°$。
3. 由于OB=OC（均为⊙O的半径），所以△OBC是等边三角形，因此$∠ OCB=60°$。
4. EF是⊙O在点C处的切线，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，得OC⊥EF，即$∠ OCF=90°$。
5. 因此$∠ BCF=∠ OCF - ∠ OCB=90° - 60°=30°$。
【答案】
30°
【知识点】
正五边形性质、圆的切线性质、圆心角与弧的关系
【点评】
本题是几何综合题，结合正五边形与圆的性质，关键是通过弦相等推出弧相等，结合直径的度数得到圆心角，再利用切线的垂直关系求解目标角，需熟练掌握圆的相关性质。
【难度系数】
0.4

5. 如图,A,B,C,D,E 是$\odot O$上的五等分点，该图形绕点O至少旋转$°$后与自身重合.

5. 72

【分析】
要确定图形绕点O至少旋转多少度后与自身重合，需利用圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，将圆n等分后，相邻等分点对应的圆心角为周角360°除以n，该角度就是使图形与自身重合的最小旋转角。本题中A、B、C、D、E是⊙O的五等分点，即n=5，只需计算相邻等分点对应的圆心角即可得到最小旋转角。
【解析】
因为A、B、C、D、E是⊙O的五等分点，相邻两点间对应的圆心角为周角的$\frac{1}{5}$，所以最小旋转角为：$360° ÷ 5 = 72°$。根据旋转对称图形的性质，绕旋转中心旋转72°后，各等分点会与相邻等分点重合，图形与自身完全重合，因此该图形绕点O至少旋转72°后与自身重合。
【答案】
72
【知识点】
旋转对称图形、圆的等分
【点评】
本题考查旋转对称图形的最小旋转角计算，核心是利用圆的周角与等分点的关系，属于基础题型，侧重对旋转对称概念的理解应用。
【难度系数】
0.6

6. 如图,正九边形的对角线 AF,CH 相交于点 P,则$∠ CPF=$$°$.

6. 100 提示:因为正九边形每个内角的度数均为$180°-360°÷9=140°$,所以$∠ I=140°$.由圆内接正多边形的相关性质可知$∠ IAP=∠ IHC=3×\frac{1}{2}×\frac{1}{9}×360°=60°$,所以$∠ CPF=∠ APH=360°-(∠ IAP+∠ I+∠ IHC)=100°$.

【分析】要计算∠CPF的度数，首先利用正多边形内角公式求出正九边形的内角，再结合圆内接正多边形的弧对应的圆周角性质得到相关角的度数，最后通过四边形内角和与对顶角相等的性质推导结果。
【解析】1. 计算正九边形的内角：根据正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$，当$n=9$时，每个内角为$\frac{(9-2)×180°}{9}=140°$，故$∠ I=140°$。
2. 正九边形内接于圆，每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{9}=40°$，弧AH对应的圆心角为$3×40°=120°$，对应的圆周角为$\frac{120°}{2}=60°$，即$∠ IAP=∠ IHC=60°$。
3. 在四边形AIHP中，内角和为$360°$，因此$∠ APH=360° - ∠ IAP - ∠ I - ∠ IHC=360° -60° -140° -60°=100°$。
4. 因为∠CPF与∠APH是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ CPF=∠ APH=100°$。
【答案】100
【知识点】正多边形内角、圆内接正多边形、对顶角性质
【点评】本题综合考查正多边形的内角计算、圆内接正多边形的角度性质以及多边形内角和与对顶角的应用，需要熟练掌握相关公式和性质，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5

7. 如图,在正方形网格中,每一个小正方形的边长都为1,点O,A都在格点上,以点O为圆心,OA 的长为半径作圆.请按要求,只用无刻度的直尺完成以下画图.
(1) 在图 1 中画$\odot O$ 的一个内接正四边形
$ABCD,S_{\mathrm{正四边形}ABCD}=$;
(2) 在图 2 中画$\odot O$ 的一个内接正六边形
$ABCDEF,S_{\mathrm{正六边形}ABCDEF}=$.

7. 解:(1) 如图 1 所示. 32
(2) 如图 2 所示. $24\sqrt{3}$

【分析】
首先确定⊙O的半径：由网格可知，点O到点A的水平距离为4，故OA=4，即⊙O的半径r=4。
(1) 内接正四边形的对角线是圆的直径，直径长度为8，根据正四边形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积；
(2) 内接正六边形的边长等于圆的半径，将正六边形分成6个边长为4的等边三角形，计算单个等边三角形面积后乘以6得到总面积。
【解析】
(1) 由网格得⊙O半径OA=4，直径AC=BD=8。
正四边形ABCD的面积 = $\frac{1}{2}×AC×BD = \frac{1}{2}×8×8 = 32$；
(2) 内接正六边形的边长等于半径，即边长为4。
单个等边三角形面积 = $\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2 = 4\sqrt{3}$，
正六边形面积 = $6×4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 32；(2) $24\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆，面积计算，网格作图
【点评】
本题结合网格考查正多边形与圆的性质，需掌握正四边形、正六边形的面积计算方法，利用网格确定圆的半径是解题关键，属于中等难度的几何计算与作图题。
【难度系数】
0.5