3. 如图①,$\odot O$ 为 $△ ABC$ 的外接圆,半径为 6,$AB=AC,∠ BAC=120°,D$ 为优弧 $BC$ 上异于$B,C$ 的一动点,连接 $DA,DB,DC$.
(1)求证:$DA$ 平分 $∠ BDC$.
(2)如图②,$CM$ 平分 $∠ BCD$,且与 $AD$ 交于点 $M$.
花花同学认为:无论点 $D$ 运动到哪里,始终有$AM=AC$;
都都同学认为:$AM$ 的长会随着点 $D$ 的运动而变化.
你赞同谁的观点,请说明理由.

3.(1)
∵ AB=AC,
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,
∴ ∠ADB=∠ADC,
∴ DA 平分∠BDC.
3.(2) 我赞同花花的观点.理由如下:由(1)可知∠ADB=∠ADC,
∵ CM 平分∠BCD,
∴ ∠BCM=∠DCM.
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,
∴ ∠ADB=∠ACB,
∴ ∠ACB=∠ADC,
∴ ∠AMC=∠ADC+∠DCM=∠ACB+∠BCM=∠ACM,
∴ AC=AM,
∴ 无论点 D 运动到哪里,始终有 AM=AC.

【分析】
第(1)问要证明DA平分∠BDC，需证∠ADB=∠ADC。利用同圆中相等的弦对应相等的弧，相等的弧对应相等的圆周角，结合AB=AC的条件即可推导。第(2)问要判断AM与AC的关系，需通过角平分线性质、圆周角定理推导角相等，再用等腰三角形“等角对等边”的性质证明，进而得出AM=AC与点D位置无关。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB=AC，
∴ 在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，
∴ ∠ADB=∠ADC，
∴ DA平分∠BDC。
(2) 赞同花花的观点，理由如下：
由(1)知∠ADB=∠ADC，
∵ CM平分∠BCD，
∴ ∠BCM=∠DCM。
根据圆周角定理，同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角相等，
∴ ∠ADB=∠ACB，
∴ ∠ADC=∠ACB。
∵ ∠AMC是△DCM的外角，
∴ ∠AMC=∠ADC + ∠DCM，
同理，∠ACM=∠ACB + ∠BCM，
∴ ∠AMC=∠ACM，
根据等腰三角形的判定：等角对等边，
∴ AC=AM，
即无论点D运动到哪里，始终有AM=AC。
【答案】
(1) DA平分∠BDC，证明见解析；(2) 赞同花花的观点，理由见解析。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，角平分线性质
【点评】
本题为圆的综合题，综合考查圆周角定理、等腰三角形判定与角平分线性质，解题核心是利用圆中弧、弦、圆周角的关系推导角相等，结合外角性质完成几何推理，需具备较强的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.5

4. 如图,已知等腰直角三角形$ BCD$,$∠ BCD=$$90°$,$B$,$D$在$\odot O$上,延长$ BC $交$\odot O$于点$ F$,过点$ B $作$BE⊥ BC$,交$\odot O$于点$ E$,连接$ DE$,$EF$,$DF$,$I$是$△ FBE$的内心.
(1)如图①,求证:$∠ DEF=∠ DFE$;
(2)如图②,连接$ BI $并延长交$\odot O$于点$ A$,求证:$AI=AF$;
(3)如图③,过点$ I $作$ EF $的垂线,垂足为$ M$,当$CD=2$时,求$FM-EM$的长度.

4.(1)
∵ BE ⊥ BF,
∴ ∠EBF=90°,
∴ EF 是⊙O 的直径,
∴ ∠EDF=90°.
∵ △BCD 是等腰直角三角形,
∴ ∠CBD=∠CDB=45°,
∴ ∠DEF=∠DBC=45°,
∴ ∠DEF=∠DFE=45°.

4.(2) 如图①,连接 IF.
∵ I 是△BEF 的内心,
∴ ∠IBF=∠IBE,∠IFB=∠IFE.
∵ ∠AIF=∠IBF+∠IFB,∠AFI=∠AFE+∠IFE,∠AFE=∠IBE,
∴ ∠AIF=∠AFI,
∴ AI=AF.
4.(3) 如图②,过点 D 作 DJ⊥EB,交 EB 的延长线于点 J,作△BEF 的内切圆⊙I,切点分别为 P,Q,M.
∵ ∠CBJ=∠J=∠DCB=90°,
∴ 四边形 BJDC 是矩形.
∵ CB=CD,
∴ 四边形 BJDC 是正方形,
∴ CD=DJ=BJ=BC.
∵ ∠DEF=∠DFE=45°,
∴ DE=DF,
∴ Rt△DCF≌Rt△DJE(HL),
∴ FC=EJ.
∵ ⊙I 与△BEF 内切于点 P,Q,M,
∴ EM=EP,BP=BQ,FQ=FM,
∴ FM-EM=FQ-PE=BF-BE=BC+CF-(EJ-BJ)=2BC=2CD=4.

【分析】
本题为几何综合题，分三小问，解题思路如下：
(1) 先由BE⊥BF推出∠EBF=90°，根据“90°圆周角所对弦是直径”得EF为⊙O直径，进而得∠EDF=90°；再结合等腰直角△BCD的∠CBD=45°，利用同弧所对圆周角相等得∠DEF=∠DBC=45°，最后在Rt△DEF中推出∠DFE=45°，完成证明。
(2) 利用三角形内心的角平分线性质，结合外角性质与圆周角相等关系，推导∠AIF=∠AFI，根据等角对等边得AI=AF。
(3) 通过作辅助线构造正方形BJDC，结合HL全等得FC=EJ；再利用内切圆切线长相等，将FM-EM转化为BF-BE，进一步转化为2CD，代入CD=2计算得结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ BE⊥BF，
∴ ∠EBF=90°，
∴ EF是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ ∠EDF=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ △BCD是等腰直角三角形，∠BCD=90°，
∴ ∠CBD=∠CDB=45°，
又
∵ ∠DEF=∠DBC（同弧DF所对的圆周角相等），
∴ ∠DEF=45°，
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴ ∠DFE=90°-45°=45°，
∴ ∠DEF=∠DFE。
(2) 证明：
连接IF，
∵ I是△FBE的内心，
∴ BI平分∠EBF，FI平分∠EFB，即∠IBF=∠IBE，∠IFB=∠IFE。
∵ ∠AIF是△IBF的外角，
∴ ∠AIF=∠IBF+∠IFB，
又
∵ ∠AFI=∠AFE+∠IFE，且∠AFE=∠IBE（同弧AE所对的圆周角相等），
∴ ∠AFE=∠IBF，
∴ ∠AFI=∠IBF + ∠IFE = ∠AIF，
∴ AI=AF（等角对等边）。
(3) 解：
过点D作DJ⊥EB，交EB的延长线于点J，作△BEF的内切圆⊙I，切点分别为P、Q、M。
∵ ∠CBJ=∠J=∠DCB=90°，
∴ 四边形BJDC是矩形，
又
∵ CB=CD，
∴ 四边形BJDC是正方形，
∴ CD=DJ=BJ=BC=2。
∵ ∠DEF=∠DFE=45°，
∴ DE=DF，
在Rt△DCF和Rt△DJE中，
$\{\begin{array}{l} DF=DE \\ CD=DJ \end{array} $，
∴ Rt△DCF≌Rt△DJE（HL），
∴ FC=EJ。
∵ ⊙I是△BEF的内切圆，切点为P、Q、M，
∴ EM=EP，BP=BQ，FQ=FM，
∴ FM - EM = FQ - EP，
又
∵ FQ=BF - BQ，EP=BE - BP，且BQ=BP，
∴ FM - EM = (BF - BQ) - (BE - BP) = BF - BE。
而BF=BC + CF，BE=EJ - BJ，且CF=EJ，BJ=BC，
∴ BF - BE = (BC + CF) - (EJ - BJ) = BC + CF - CF + BC = 2BC = 2CD = 2×2=4。
【答案】
4.(1) 证明成立；(2) 证明成立；(3) FM-EM=4

【知识点】
圆的基本性质、三角形内心、全等三角形
【点评】
本题融合圆、三角形内心、正方形、全等三角形等知识点，考查几何逻辑推理与辅助线构造能力，需逐步推导边、角关系完成证明与计算。
【难度系数】
0.4