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1. 下列各式:①$-5＜2$;②$4x+7＞0$;③$x=5$;④$x^2 - xy + y^2$;⑤$x-4＞y+1$.其中是不等式的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
根据不等式的定义：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式，逐个判断：
①$-5＜2$，含不等号“$＜$”，是不等式；
②$4x+7＞0$，含不等号“$＞$”，是不等式；
③$x=5$是等式，不属于不等式；
④$x^2 - xy + y^2$是代数式，不属于不等式；
⑤$x-4＞y+1$，含不等号“$＞$”，是不等式。
综上，共有3个不等式。
①$-5＜2$，含不等号“$＜$”，是不等式；
②$4x+7＞0$，含不等号“$＞$”，是不等式；
③$x=5$是等式，不属于不等式；
④$x^2 - xy + y^2$是代数式，不属于不等式；
⑤$x-4＞y+1$，含不等号“$＞$”，是不等式。
综上，共有3个不等式。
2. 已知$a ＜ b$,则下列不等式中不正确的是 （）
A.$3a ＜ 3b$
B.$a + 3 ＜ b + 3$
C.$-3a ＜ -3b$
D.$a - 3 ＜ b - 3$
A.$3a ＜ 3b$
B.$a + 3 ＜ b + 3$
C.$-3a ＜ -3b$
D.$a - 3 ＜ b - 3$
答案
C
解析
根据不等式的性质逐一判断：
1. 性质2：不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边乘3得$3a＜3b$，A正确；
2. 性质1：不等式两边加同一个数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边加3得$a+3＜b+3$，B正确；
3. 性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，已知$a＜b$，两边乘$-3$得$-3a＞-3b$，因此$-3a＜-3b$不成立，C错误；
4. 性质1：不等式两边减同一个数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边减3得$a-3＜b-3$，D正确。
1. 性质2：不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边乘3得$3a＜3b$，A正确；
2. 性质1：不等式两边加同一个数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边加3得$a+3＜b+3$，B正确；
3. 性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，已知$a＜b$，两边乘$-3$得$-3a＞-3b$，因此$-3a＜-3b$不成立，C错误；
4. 性质1：不等式两边减同一个数，不等号方向不变，已知$a＜b$，两边减3得$a-3＜b-3$，D正确。
3. 下列不等式组:①$\begin{cases} x＞-2, \\ x＜3; \end{cases}$ ②$\begin{cases} x＞0, \\ x+2＞4; \end{cases}$ ③$\begin{cases} x+1＞0, \\ y-4＜0; \end{cases}$ ④$\begin{cases} x+3＞0, \\ x＜-7; \end{cases}$ ⑤$\begin{cases} x^2+1＜x, \\ x^2+2＞4. \end{cases}$
其中是一元一次不等式组的有 （）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
其中是一元一次不等式组的有 （）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
B
解析
根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一判断：
① 两个不等式都只含未知数x，且x的次数为1，是一元一次不等式组；
② 两个不等式都只含未知数x，且x的次数为1，是一元一次不等式组；
③ 不等式组含有x、y两个未知数，不是一元一次不等式组；
④ 两个不等式都只含未知数x，且x的次数为1，是一元一次不等式组；
⑤ 不等式中x的最高次数为2，不属于一元一次不等式，该组不是一元一次不等式组。
综上，符合条件的一元一次不等式组共3个。
① 两个不等式都只含未知数x，且x的次数为1，是一元一次不等式组；
② 两个不等式都只含未知数x，且x的次数为1，是一元一次不等式组；
③ 不等式组含有x、y两个未知数，不是一元一次不等式组；
④ 两个不等式都只含未知数x，且x的次数为1，是一元一次不等式组；
⑤ 不等式中x的最高次数为2，不属于一元一次不等式，该组不是一元一次不等式组。
综上，符合条件的一元一次不等式组共3个。
4. 不等式$2x＞4$的解集在数轴上表示正确的是（）
答案
B
解析
解：
对不等式$2x＞4$系数化为1，得$x＞2$。
在数轴上表示$x＞2$时，数字2对应的位置取空心圆圈，方向向右，符合该特征的是选项B。
对不等式$2x＞4$系数化为1，得$x＞2$。
在数轴上表示$x＞2$时，数字2对应的位置取空心圆圈，方向向右，符合该特征的是选项B。
5.若关于$x$的方程$\frac{1}{2}x + k = \frac{2x - k}{3} + 2$的解是非负数，则$k$的取值范围是（）
A.$k ＜ -\frac{2}{3}$
B.$k ≤ -\frac{2}{3}$
C.$k ＞ \frac{3}{2}$
D.$k ≥ \frac{3}{2}$
A.$k ＜ -\frac{2}{3}$
B.$k ≤ -\frac{2}{3}$
C.$k ＞ \frac{3}{2}$
D.$k ≥ \frac{3}{2}$
答案
D
解析
先求解关于x的方程：
1. 去分母，两边同乘6：$3x + 6k = 2(2x - k) + 12$
2. 去括号：$3x + 6k = 4x - 2k + 12$
3. 移项、合并同类项：$-x = 12 - 8k$
4. 系数化为1：$x = 8k - 12$
由方程的解是非负数，得$x≥0$，即$8k - 12≥0$，解得$k≥\frac{3}{2}$。
1. 去分母，两边同乘6：$3x + 6k = 2(2x - k) + 12$
2. 去括号：$3x + 6k = 4x - 2k + 12$
3. 移项、合并同类项：$-x = 12 - 8k$
4. 系数化为1：$x = 8k - 12$
由方程的解是非负数，得$x≥0$，即$8k - 12≥0$，解得$k≥\frac{3}{2}$。
6.某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，答错或不答一题，则扣3分.
要使总分不低于70分，则至少答对的题数为 （）
A.15道
B.14道
C.13道
D.12道
要使总分不低于70分，则至少答对的题数为 （）
A.15道
B.14道
C.13道
D.12道
答案
C
解析
设答对的题数为x道，则答错或不答的题数为(30-x)道，根据题意列不等式：
10x - 3(30 - x) ≥ 70
展开整理得：13x ≥ 160
解得：x≥160/13≈12.3
由于x是正整数，因此x的最小取值为13，即至少答对13道题。
10x - 3(30 - x) ≥ 70
展开整理得：13x ≥ 160
解得：x≥160/13≈12.3
由于x是正整数，因此x的最小取值为13，即至少答对13道题。
7.实数a使得关于x的不等式组$\begin{cases}6-2x＞0,\\2(x+a)≥ x+3\end{cases}$至少有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A.$a≥2$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a＜2$
A.$a≥2$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a＜2$
答案
A
解析
先分别解两个不等式：
1. 解不等式$6-2x＞0$，移项得$-2x＞-6$，两边同除以$-2$（不等号方向改变），得$x＜3$。
2. 解不等式$2(x+a)≥ x+3$，展开得$2x+2a≥ x+3$，移项化简得$x≥ 3-2a$。
因此不等式组的解集为$3-2a≤ x＜3$。
要使不等式组至少有4个整数解，小于3的整数从大到小依次为2、1、0、-1，共4个，需满足$3-2a≤ -1$，解得$a≥ 2$。
1. 解不等式$6-2x＞0$，移项得$-2x＞-6$，两边同除以$-2$（不等号方向改变），得$x＜3$。
2. 解不等式$2(x+a)≥ x+3$，展开得$2x+2a≥ x+3$，移项化简得$x≥ 3-2a$。
因此不等式组的解集为$3-2a≤ x＜3$。
要使不等式组至少有4个整数解，小于3的整数从大到小依次为2、1、0、-1，共4个，需满足$3-2a≤ -1$，解得$a≥ 2$。
