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19. 如图，已知△ABC，AB=1，BC=3，AC=$\sqrt{10}$，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是。
答案
解：
∵ AB=1，BC=3，AC=√10，
∴ AB² + BC² = 1² + 3² = 10，AC² = (√10)² = 10，
∴ AB² + BC² = AC²，
∴ △ABC是直角三角形，∠ABC=90°。
由垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的长度最小。
此时△ABC的面积可表示为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AB · BC = \frac{1}{2} · AC · BP$
代入数值：
$\frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{1}{2} × \sqrt{10} × BP$
解得 $BP = \frac{3\sqrt{10}}{10}$。
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
∵ AB=1，BC=3，AC=√10，
∴ AB² + BC² = 1² + 3² = 10，AC² = (√10)² = 10，
∴ AB² + BC² = AC²，
∴ △ABC是直角三角形，∠ABC=90°。
由垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的长度最小。
此时△ABC的面积可表示为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AB · BC = \frac{1}{2} · AC · BP$
代入数值：
$\frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{1}{2} × \sqrt{10} × BP$
解得 $BP = \frac{3\sqrt{10}}{10}$。
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
20.如图,在四边形ABCD中,$∠ABC=90°$,$AB=3$,$BC=4$,$CD=5$,$DA=5\sqrt{2}$,则BD的长为.
答案
解：
连接AC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E。
∵ ∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴ 由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，即$AC=5$。
在△ACD中，$AC=5$，$CD=5$，$DA=5\sqrt{2}$，
∴ $AC^2 + CD^2 = 25 + 25 = 50$，$DA^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$，
∴ $AC^2 + CD^2 = DA^2$，
∴ △ACD是直角三角形，$∠ ACD=90°$。
∵ $∠ ACB + ∠ BAC = 90°$，$∠ ACB + ∠ DCE = 180° - ∠ ACD = 90°$，
∴ $∠ BAC = ∠ DCE$。
在△ABC和△CED中：
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ CED = 90° \\∠ BAC = ∠ DCE \\AC = CD\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △CED（AAS）。
∴ $CE = AB = 3$，$DE = BC = 4$。
∴ $BE = BC + CE = 4 + 3 = 7$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{BE^2 + DE^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65}$。
$\sqrt{65}$
连接AC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E。
∵ ∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴ 由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，即$AC=5$。
在△ACD中，$AC=5$，$CD=5$，$DA=5\sqrt{2}$，
∴ $AC^2 + CD^2 = 25 + 25 = 50$，$DA^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$，
∴ $AC^2 + CD^2 = DA^2$，
∴ △ACD是直角三角形，$∠ ACD=90°$。
∵ $∠ ACB + ∠ BAC = 90°$，$∠ ACB + ∠ DCE = 180° - ∠ ACD = 90°$，
∴ $∠ BAC = ∠ DCE$。
在△ABC和△CED中：
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ CED = 90° \\∠ BAC = ∠ DCE \\AC = CD\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △CED（AAS）。
∴ $CE = AB = 3$，$DE = BC = 4$。
∴ $BE = BC + CE = 4 + 3 = 7$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{BE^2 + DE^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65}$。
$\sqrt{65}$
21.已知$△ ABC$的三边长分别为$k^2 -1,2k,k^2 +1$，其中$k＞1$，求证：$△ ABC$是直角三角形.
答案
证明：
∵ $k＞1$，
∴ $k^2+1 ＞ 2k$，且$k^2+1 ＞ k^2-1$，即$k^2+1$是$△ ABC$的最长边。
计算两较短边的平方和：
$\begin{aligned}(k^2-1)^2 + (2k)^2&=k^4 - 2k^2 + 1 + 4k^2\\&=k^4 + 2k^2 + 1\\&=(k^2+1)^2\end{aligned}$
可得$(k^2-1)^2 + (2k)^2 = (k^2+1)^2$，符合勾股定理的逆定理。
∴ $△ ABC$是直角三角形。
∵ $k＞1$，
∴ $k^2+1 ＞ 2k$，且$k^2+1 ＞ k^2-1$，即$k^2+1$是$△ ABC$的最长边。
计算两较短边的平方和：
$\begin{aligned}(k^2-1)^2 + (2k)^2&=k^4 - 2k^2 + 1 + 4k^2\\&=k^4 + 2k^2 + 1\\&=(k^2+1)^2\end{aligned}$
可得$(k^2-1)^2 + (2k)^2 = (k^2+1)^2$，符合勾股定理的逆定理。
∴ $△ ABC$是直角三角形。
22.“在$△ ABC$中，$AB$，$BC$，$AC$三边的长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，求这个三角形的面积.”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1），再在网格中画出格点$△ ABC$（即$△ ABC$三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求$△ ABC$的高，借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求$△ ABC$面积的方法叫作构图法.
(1)图1中$△ ABC$的面积是；
(2)若$△ MNP$的边长分别为$\sqrt{m^2 + 16n^2}$，$\sqrt{9m^2 + 4n^2}$，$\sqrt{4m^2 + 4n^2}$（$m＞0$，$n＞0$，且$m≠n$），试运用构图法在图2中画出相应的$△ MNP$，并求出$△ MNP$的面积.
(1)图1中$△ ABC$的面积是；
(2)若$△ MNP$的边长分别为$\sqrt{m^2 + 16n^2}$，$\sqrt{9m^2 + 4n^2}$，$\sqrt{4m^2 + 4n^2}$（$m＞0$，$n＞0$，且$m≠n$），试运用构图法在图2中画出相应的$△ MNP$，并求出$△ MNP$的面积.
答案
解：
(1) 利用割补法计算：
$S_{△ ABC} = 3×3 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×2×3 = 9 - 1 - \frac{3}{2} - 3 = \frac{7}{2}$
故答案为：$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$。
(2) 构图：将图2中每个小格的横向边长设为$m$，纵向边长设为$n$，构造格点$△ MNP$，使三边分别对应：
$\sqrt{m^2+(4n)^2}=\sqrt{m^2+16n^2}$，$\sqrt{(3m)^2+(2n)^2}=\sqrt{9m^2+4n^2}$，$\sqrt{(2m)^2+(2n)^2}=\sqrt{4m^2+4n^2}$，所得三角形即为符合要求的$△ MNP$。
利用割补法计算面积：
$\begin{aligned}S_{△ MNP} &= 3m · 4n - \frac{1}{2} · m · 4n - \frac{1}{2} · 3m · 2n - \frac{1}{2} · 2m · 2n \\&= 12mn - 2mn - 3mn - 2mn \\&= 5mn\end{aligned}$
答：$△ MNP$的面积为$5mn$。
(1) 利用割补法计算：
$S_{△ ABC} = 3×3 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×2×3 = 9 - 1 - \frac{3}{2} - 3 = \frac{7}{2}$
故答案为：$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$。
(2) 构图：将图2中每个小格的横向边长设为$m$，纵向边长设为$n$，构造格点$△ MNP$，使三边分别对应：
$\sqrt{m^2+(4n)^2}=\sqrt{m^2+16n^2}$，$\sqrt{(3m)^2+(2n)^2}=\sqrt{9m^2+4n^2}$，$\sqrt{(2m)^2+(2n)^2}=\sqrt{4m^2+4n^2}$，所得三角形即为符合要求的$△ MNP$。
利用割补法计算面积：
$\begin{aligned}S_{△ MNP} &= 3m · 4n - \frac{1}{2} · m · 4n - \frac{1}{2} · 3m · 2n - \frac{1}{2} · 2m · 2n \\&= 12mn - 2mn - 3mn - 2mn \\&= 5mn\end{aligned}$
答：$△ MNP$的面积为$5mn$。
