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1. 下列式子从左边到右边的变形中是因式分解的是 （）
A.$x^2 - x - 2 = x(x - 1) - 2$
B.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
C.$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$
D.$x - 1 = x(1 - \dfrac{1}{x})$
A.$x^2 - x - 2 = x(x - 1) - 2$
B.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
C.$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$
D.$x - 1 = x(1 - \dfrac{1}{x})$
答案
C
解析
【分析】要判断式子的变形是否为因式分解，需依据因式分解的核心定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形才是因式分解，需同时满足两个关键条件：①结果是整式的积；②变形前后式子相等。接下来逐一分析选项：
选项A右边是“x(x-1)-2”，属于两个式子的差，不是整式的积，不符合；选项B是从整式的积（(a+b)(a-b)）变形为多项式（a² - b²），属于整式乘法，与因式分解的方向相反；选项C是把多项式x² -9转化为两个整式（x+3）和（x-3）的积，完全符合定义；选项D右边出现了分式（1/x），不是整式，不符合要求。
【解析】根据因式分解的定义，逐一判断各选项：
A选项：右边为差的形式，不是整式的积，不属于因式分解；
B选项：是整式乘法（从积到多项式），不是因式分解；
C选项：多项式x² -9变形为两个整式的积(x+3)(x-3)，符合因式分解的定义；
D选项：右边含有分式，不是整式，不属于因式分解。
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【点评】本题考查因式分解的基础概念，属于易区分的基础题，核心是明确因式分解与整式乘法的区别，以及结果必须为整式的积，是学生需掌握的核心基础知识点。
【难度系数】0.8
选项A右边是“x(x-1)-2”，属于两个式子的差，不是整式的积，不符合；选项B是从整式的积（(a+b)(a-b)）变形为多项式（a² - b²），属于整式乘法，与因式分解的方向相反；选项C是把多项式x² -9转化为两个整式（x+3）和（x-3）的积，完全符合定义；选项D右边出现了分式（1/x），不是整式，不符合要求。
【解析】根据因式分解的定义，逐一判断各选项：
A选项：右边为差的形式，不是整式的积，不属于因式分解；
B选项：是整式乘法（从积到多项式），不是因式分解；
C选项：多项式x² -9变形为两个整式的积(x+3)(x-3)，符合因式分解的定义；
D选项：右边含有分式，不是整式，不属于因式分解。
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【点评】本题考查因式分解的基础概念，属于易区分的基础题，核心是明确因式分解与整式乘法的区别，以及结果必须为整式的积，是学生需掌握的核心基础知识点。
【难度系数】0.8
2. 下列式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（）
A.$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
B.$(m + 1)(m - 1) = m^2 - 1$
C.$m^2 - 3m - 4 = m(m - 3) - 4$
D.$m - 1 = m(1 - \dfrac{1}{m})$
A.$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
B.$(m + 1)(m - 1) = m^2 - 1$
C.$m^2 - 3m - 4 = m(m - 3) - 4$
D.$m - 1 = m(1 - \dfrac{1}{m})$
答案
A
解析
【分析】
要判断式子的变形是否为因式分解，需依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需注意两个关键：一是变形方向是从多项式到整式的积；二是结果中的每个因式都必须是整式（分母不含字母）。接下来逐一分析选项：
选项A：左边是多项式$m^2 - n^2$，右边是两个整式的积，符合定义；
选项B：左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆过程，不符合；
选项C：右边是差的形式，不是几个整式的积，不符合；
选项D：右边的因式含分式$\frac{1}{m}$，不是整式，不符合要求。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一判断：
选项A：$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$，将多项式转化为两个整式的积，属于因式分解；
选项B：$(m + 1)(m - 1) = m^2 - 1$，是整式的乘法运算，不属于因式分解；
选项C：$m^2 - 3m - 4 = m(m - 3) - 4$，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解；
选项D：$m - 1 = m(1 - \frac{1}{m})$，右边的因式含分式，不是整式，不属于因式分解。
综上，只有选项A符合因式分解的定义。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的核心概念，属于基础题，易错点在于混淆因式分解与整式乘法，以及忽略“结果为整式的积”的要求，需准确把握定义的两个关键条件。
【难度系数】
0.7
要判断式子的变形是否为因式分解，需依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需注意两个关键：一是变形方向是从多项式到整式的积；二是结果中的每个因式都必须是整式（分母不含字母）。接下来逐一分析选项：
选项A：左边是多项式$m^2 - n^2$，右边是两个整式的积，符合定义；
选项B：左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆过程，不符合；
选项C：右边是差的形式，不是几个整式的积，不符合；
选项D：右边的因式含分式$\frac{1}{m}$，不是整式，不符合要求。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一判断：
选项A：$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$，将多项式转化为两个整式的积，属于因式分解；
选项B：$(m + 1)(m - 1) = m^2 - 1$，是整式的乘法运算，不属于因式分解；
选项C：$m^2 - 3m - 4 = m(m - 3) - 4$，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解；
选项D：$m - 1 = m(1 - \frac{1}{m})$，右边的因式含分式，不是整式，不属于因式分解。
综上，只有选项A符合因式分解的定义。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的核心概念，属于基础题，易错点在于混淆因式分解与整式乘法，以及忽略“结果为整式的积”的要求，需准确把握定义的两个关键条件。
【难度系数】
0.7
3. 下列式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（）
A.$x^2 - 1 = x · x - 1$
B.$x^2 + 2xy + 1 = x(x + 2y) + 1$
C.$a^2b + ab^3 = ab(a + b^2)$
D.$x(x + y) = x^2 + xy$
A.$x^2 - 1 = x · x - 1$
B.$x^2 + 2xy + 1 = x(x + 2y) + 1$
C.$a^2b + ab^3 = ab(a + b^2)$
D.$x(x + y) = x^2 + xy$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个变形是否为因式分解，需依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需满足两个核心条件：①变形后结果是几个整式的乘积形式；②是从多项式向乘积的转化（区别于整式乘法）。接下来逐一分析选项：
选项A：右边是$x·x -1$，属于两个项的差，不是整式的乘积，不符合要求；
选项B：右边是$x(x + 2y) +1$，属于两个项的和，不是整式的乘积，不符合要求；
选项C：右边是$ab(a + b^2)$，是整式$ab$与$(a + b^2)$的乘积，且左边多项式提取公因式$ab$后恰好等于右边，符合因式分解定义；
选项D：是从整式的乘积$x(x + y)$转化为多项式$x^2 + xy$，属于整式乘法，不是因式分解。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一判断：
1. 选项A：$x^2 -1 = x·x -1$，右边为差的形式，不是整式的积，不是因式分解；
2. 选项B：$x^2 + 2xy +1 = x(x + 2y) +1$，右边为和的形式，不是整式的积，不是因式分解；
3. 选项C：$a^2b + ab^3 = ab(a + b^2)$，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解定义，是因式分解；
4. 选项D：$x(x + y) = x^2 + xy$，属于整式乘法运算，不是因式分解。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的概念
【点评】
本题考查因式分解的核心定义，关键是区分因式分解（多项式→整式乘积）与整式乘法（整式乘积→多项式），属于基础概念题，需准确把握定义的两个特征。
【难度系数】
0.6
要判断一个变形是否为因式分解，需依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需满足两个核心条件：①变形后结果是几个整式的乘积形式；②是从多项式向乘积的转化（区别于整式乘法）。接下来逐一分析选项：
选项A：右边是$x·x -1$，属于两个项的差，不是整式的乘积，不符合要求；
选项B：右边是$x(x + 2y) +1$，属于两个项的和，不是整式的乘积，不符合要求；
选项C：右边是$ab(a + b^2)$，是整式$ab$与$(a + b^2)$的乘积，且左边多项式提取公因式$ab$后恰好等于右边，符合因式分解定义；
选项D：是从整式的乘积$x(x + y)$转化为多项式$x^2 + xy$，属于整式乘法，不是因式分解。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一判断：
1. 选项A：$x^2 -1 = x·x -1$，右边为差的形式，不是整式的积，不是因式分解；
2. 选项B：$x^2 + 2xy +1 = x(x + 2y) +1$，右边为和的形式，不是整式的积，不是因式分解；
3. 选项C：$a^2b + ab^3 = ab(a + b^2)$，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解定义，是因式分解；
4. 选项D：$x(x + y) = x^2 + xy$，属于整式乘法运算，不是因式分解。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的概念
【点评】
本题考查因式分解的核心定义，关键是区分因式分解（多项式→整式乘积）与整式乘法（整式乘积→多项式），属于基础概念题，需准确把握定义的两个特征。
【难度系数】
0.6
4. 若$x^2 + mx + n = (x + 5)^2$，则$m + n$的值为________.
答案
35
解析
【分析】本题可先利用完全平方公式将等式右边展开，再根据多项式相等时对应项的系数相等，求出m、n的值，最后计算m+n的结果。
【解析】解：将等式右边的完全平方展开：$(x + 5)^2 = x^2 + 2×5× x + 5^2 = x^2 + 10x + 25$。
因为$x^2 + mx + n = x^2 + 10x + 25$，根据多项式对应项系数相等，可得$m = 10$，$n = 25$。
所以$m + n = 10 + 25 = 35$。
【答案】35
【知识点】完全平方公式；多项式系数对应
【点评】本题考查完全平方公式的应用，属于基础代数运算题，只要熟练掌握完全平方公式的展开形式，利用对应项系数相等即可快速求解，是常见的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】解：将等式右边的完全平方展开：$(x + 5)^2 = x^2 + 2×5× x + 5^2 = x^2 + 10x + 25$。
因为$x^2 + mx + n = x^2 + 10x + 25$，根据多项式对应项系数相等，可得$m = 10$，$n = 25$。
所以$m + n = 10 + 25 = 35$。
【答案】35
【知识点】完全平方公式；多项式系数对应
【点评】本题考查完全平方公式的应用，属于基础代数运算题，只要熟练掌握完全平方公式的展开形式，利用对应项系数相等即可快速求解，是常见的基础题型。
【难度系数】0.8
5. 有下列从左到右的变形:① $x^3 + 3x + 1 = x(x + 3 + \dfrac{1}{x})$;② $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$;③ $15x^2y = 3x · 5xy$;④ $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.其中是因式分解的________.
(填序号)
(填序号)
答案
④
解析
【分析】首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需满足三个核心条件：①变形对象是多项式；②结果是几个整式的积；③结果中不能出现分式等非整式形式，且需与原多项式恒等。接下来逐个分析题目中的变形是否符合定义。
【解析】根据因式分解的定义逐一判断：
①：右边含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式，不符合因式分解的结果要求，不是因式分解；
②：是多项式乘多项式的整式乘法运算（从积到多项式），属于整式乘法，不是因式分解；
③：左边是单项式，而因式分解的对象必须是多项式，不符合要求，不是因式分解；
④：将多项式$a^2 - 2a + 1$化为整式$(a-1)$的平方（整式的积），完全符合因式分解的定义，是因式分解。
【答案】④
【知识点】因式分解的定义
【点评】本题考查对因式分解核心概念的理解，关键是准确把握“多项式转化为几个整式的积”这一本质特征，需注意区分整式乘法与因式分解的方向，以及变形对象和结果的形式要求，属于基础概念类题目。
【难度系数】0.6
【解析】根据因式分解的定义逐一判断：
①：右边含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式，不符合因式分解的结果要求，不是因式分解；
②：是多项式乘多项式的整式乘法运算（从积到多项式），属于整式乘法，不是因式分解；
③：左边是单项式，而因式分解的对象必须是多项式，不符合要求，不是因式分解；
④：将多项式$a^2 - 2a + 1$化为整式$(a-1)$的平方（整式的积），完全符合因式分解的定义，是因式分解。
【答案】④
【知识点】因式分解的定义
【点评】本题考查对因式分解核心概念的理解，关键是准确把握“多项式转化为几个整式的积”这一本质特征，需注意区分整式乘法与因式分解的方向，以及变形对象和结果的形式要求，属于基础概念类题目。
【难度系数】0.6
三、解答题
6. 填式游戏:在“□”内填入适当的单项式，使多项式$2x^2 - □$能因式分解.
（1）若在“□”内填入$2x$，因式分解:$2x^2 - □$.
（2）若在“□”内填入不超过10的整数，使$2x^2 - □$能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式.
6. 填式游戏:在“□”内填入适当的单项式，使多项式$2x^2 - □$能因式分解.
（1）若在“□”内填入$2x$，因式分解:$2x^2 - □$.
（2）若在“□”内填入不超过10的整数，使$2x^2 - □$能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式.
答案
（1）$2x^2 - 2x = 2x(x-1)$
（2）共有3种填法，示例：填入2时，$2x^2 - 2 = 2(x+1)(x-1)$（其他合理分解也可）
（2）共有3种填法，示例：填入2时，$2x^2 - 2 = 2(x+1)(x-1)$（其他合理分解也可）
解析
【分析】
第（1）问中，多项式$2x^2 - 2x$的两项存在公因式，提取公因式即可完成因式分解；第（2）问需结合因式分解的常用方法（提取公因式法、平方差公式），在“□”内填不超过10的整数，使$2x^2 - □$能在有理数范围内因式分解，需分析符合条件的整数取值，再选择一种分解。
【解析】
（1）对$2x^2 - 2x$提取公因式$2x$：
$2x^2 - 2x = 2x · x - 2x · 1 = 2x(x - 1)$；
（2）要使$2x^2 - k$（$k$为不超过10的整数）在有理数范围内因式分解，分析$k$的可能取值：
$k=0$时，$2x^2 - 0 = 2x^2 = 2x · x$，可分解；
$k=2$时，$2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x+1)(x-1)$，符合平方差公式；
$k=8$时，$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)$，符合平方差公式；
其余整数无法满足分解要求，因此共有3种填法。选择填入2时，分解结果为$2(x+1)(x-1)$。
【答案】
（1）$2x(x-1)$；（2）共有3种填法，示例：填入2时，$2x^2 - 2 = 2(x+1)(x-1)$（合理即可）
【知识点】
因式分解、平方差公式、提取公因式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，需熟练掌握提取公因式法和平方差公式，解题时要注意“有理数范围内因式分解”的要求，准确找出符合条件的整数，难度适中，适合初中学生练习。
【难度系数】
0.5
第（1）问中，多项式$2x^2 - 2x$的两项存在公因式，提取公因式即可完成因式分解；第（2）问需结合因式分解的常用方法（提取公因式法、平方差公式），在“□”内填不超过10的整数，使$2x^2 - □$能在有理数范围内因式分解，需分析符合条件的整数取值，再选择一种分解。
【解析】
（1）对$2x^2 - 2x$提取公因式$2x$：
$2x^2 - 2x = 2x · x - 2x · 1 = 2x(x - 1)$；
（2）要使$2x^2 - k$（$k$为不超过10的整数）在有理数范围内因式分解，分析$k$的可能取值：
$k=0$时，$2x^2 - 0 = 2x^2 = 2x · x$，可分解；
$k=2$时，$2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x+1)(x-1)$，符合平方差公式；
$k=8$时，$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)$，符合平方差公式；
其余整数无法满足分解要求，因此共有3种填法。选择填入2时，分解结果为$2(x+1)(x-1)$。
【答案】
（1）$2x(x-1)$；（2）共有3种填法，示例：填入2时，$2x^2 - 2 = 2(x+1)(x-1)$（合理即可）
【知识点】
因式分解、平方差公式、提取公因式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，需熟练掌握提取公因式法和平方差公式，解题时要注意“有理数范围内因式分解”的要求，准确找出符合条件的整数，难度适中，适合初中学生练习。
【难度系数】
0.5
7. 仔细阅读下列例题，解答问题：
例题:已知二次三项式$x^2 - 4x + m$有一个因式是$(x+3)$，求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$(x+n)$，得$x^2 - 4x + m=(x+3)(x+n)=x^2 + (n+3)x + 3n$，$\therefore\begin{cases}n+3=-4,\\m=3n,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=-7,\\m=-21,\end{cases}$$\therefore$另一个因式为$(x-7),m=-21$.
仿照以上方法，解答下列问题:
已知二次三项式$2x^2 + 3x - k$有一个因式是$(2x-5)$，求另一个因式以及$k$的值.
例题:已知二次三项式$x^2 - 4x + m$有一个因式是$(x+3)$，求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$(x+n)$，得$x^2 - 4x + m=(x+3)(x+n)=x^2 + (n+3)x + 3n$，$\therefore\begin{cases}n+3=-4,\\m=3n,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=-7,\\m=-21,\end{cases}$$\therefore$另一个因式为$(x-7),m=-21$.
仿照以上方法，解答下列问题:
已知二次三项式$2x^2 + 3x - k$有一个因式是$(2x-5)$，求另一个因式以及$k$的值.
答案
另一个因式为$x+4$，$k=20$
解析
【分析】
本题仿照例题的待定系数法解题，思路为：设二次三项式的另一个因式为一次式，利用多项式乘法法则展开两个因式的乘积，根据对应项系数相等列出方程组，解方程组求出未知系数，进而得到另一个因式和k的值。
【解析】
解：设另一个因式为$(x+a)$，根据题意得：
$2x^2 + 3x - k=(2x - 5)(x + a)$
将右边展开：$(2x -5)(x+a)=2x^2 + (2a -5)x -5a$
根据对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2a -5 = 3 \\ -k = -5a \end{cases}$
解第一个方程：$2a -5=3$，移项得$2a=8$，解得$a=4$
将$a=4$代入第二个方程：$-k=-5×4$，即$-k=-20$，解得$k=20$
所以另一个因式为$(x +4)$，$k=20$。
【答案】
另一个因式为$x+4$，$k=20$
【知识点】
因式分解、多项式乘法、二元一次方程组
【点评】
本题通过仿照例题的待定系数法求解，重点考查学生对多项式乘法和对应系数相等的理解与应用，属于基础题型，掌握例题方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
本题仿照例题的待定系数法解题，思路为：设二次三项式的另一个因式为一次式，利用多项式乘法法则展开两个因式的乘积，根据对应项系数相等列出方程组，解方程组求出未知系数，进而得到另一个因式和k的值。
【解析】
解：设另一个因式为$(x+a)$，根据题意得：
$2x^2 + 3x - k=(2x - 5)(x + a)$
将右边展开：$(2x -5)(x+a)=2x^2 + (2a -5)x -5a$
根据对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2a -5 = 3 \\ -k = -5a \end{cases}$
解第一个方程：$2a -5=3$，移项得$2a=8$，解得$a=4$
将$a=4$代入第二个方程：$-k=-5×4$，即$-k=-20$，解得$k=20$
所以另一个因式为$(x +4)$，$k=20$。
【答案】
另一个因式为$x+4$，$k=20$
【知识点】
因式分解、多项式乘法、二元一次方程组
【点评】
本题通过仿照例题的待定系数法求解，重点考查学生对多项式乘法和对应系数相等的理解与应用，属于基础题型，掌握例题方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
