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3.如图,直线AD,BC交于点O,AB//EF//CD。若AO=2,OF=1,FD=2,则$\frac{OB}{OC}$的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
3.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题给出$AB// EF// CD$，直线AD、BC交于点O，要求$\frac{OB}{OC}$的值，可借助平行线相关的比例性质求解：首先确定直线AD上的线段长度，$OD=OF+FD=3$；再根据$AB// CD$可推出$△ AOB ∽ △ DOC$，利用相似三角形对应边成比例即可得到$\frac{OB}{OC}$与已知线段的关系，代入数值计算即可；也可分别通过$AB// EF$、$EF// CD$得到两组线段比例，联立推导结果。
【解析】
解：$\because AB// CD$
$\therefore ∠ OAB=∠ ODC$，$∠ OBA=∠ OCD$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore △ AOB ∽ △ DOC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{OB}{OC}=\frac{AO}{OD}$（相似三角形对应边成比例）
由题意得：$OD=OF+FD=1+2=3$，$AO=2$
代入得：$\frac{OB}{OC}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础的几何比例计算题，核心是利用平行条件推导相似三角形或线段比例关系，解题时要准确找到对应成比例的线段，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7
本题给出$AB// EF// CD$，直线AD、BC交于点O，要求$\frac{OB}{OC}$的值，可借助平行线相关的比例性质求解：首先确定直线AD上的线段长度，$OD=OF+FD=3$；再根据$AB// CD$可推出$△ AOB ∽ △ DOC$，利用相似三角形对应边成比例即可得到$\frac{OB}{OC}$与已知线段的关系，代入数值计算即可；也可分别通过$AB// EF$、$EF// CD$得到两组线段比例，联立推导结果。
【解析】
解：$\because AB// CD$
$\therefore ∠ OAB=∠ ODC$，$∠ OBA=∠ OCD$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore △ AOB ∽ △ DOC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{OB}{OC}=\frac{AO}{OD}$（相似三角形对应边成比例）
由题意得：$OD=OF+FD=1+2=3$，$AO=2$
代入得：$\frac{OB}{OC}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础的几何比例计算题，核心是利用平行条件推导相似三角形或线段比例关系，解题时要准确找到对应成比例的线段，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.7
4.如图，在$△ ABC$中，点$D,F$在边$AB$上，点$E$在边$AC$上，且$DE// BC$，$EF// CD$，$AF=3$，$AD=5$，$AE=4$。
(1)$CE$的长为________；
(2)$AB$的长为________。
(1)$CE$的长为________；
(2)$AB$的长为________。
答案
4.(1)$\frac{8}{3}$ (2)$\frac{25}{3}$
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理逐步求解：
(1) 首先由$EF// CD$，可知在$△ ADC$中，平行线截两边所得的对应线段成比例，即$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$，代入已知数值即可求出$AC$的长度，再用$CE=AC-AE$计算$CE$的长；
(2) 再由$DE// BC$，可知在$△ ABC$中对应线段成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，代入已知$AD$和已求出的$AC$、$AE$的数值，即可求出$AB$的长度。
【解析】
(1) 解：
∵$EF// CD$，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$
将$AF=3$，$AD=5$，$AE=4$代入上式：
$\frac{3}{5}=\frac{4}{AC}$
解得$AC=\frac{20}{3}$
∴$CE=AC-AE=\frac{20}{3}-4=\frac{20}{3}-\frac{12}{3}=\frac{8}{3}$
(2) 解：
∵$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
由(1)知$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$，$AD=5$，代入得：
$\frac{5}{AB}=\frac{3}{5}$
解得$AB=\frac{25}{3}$
【答案】
(1)$\frac{8}{3}$；(2)$\frac{25}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；线段和差计算
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是结合图形准确找到成比例的对应线段，列出比例式计算即可，计算时注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线分线段成比例定理逐步求解：
(1) 首先由$EF// CD$，可知在$△ ADC$中，平行线截两边所得的对应线段成比例，即$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$，代入已知数值即可求出$AC$的长度，再用$CE=AC-AE$计算$CE$的长；
(2) 再由$DE// BC$，可知在$△ ABC$中对应线段成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，代入已知$AD$和已求出的$AC$、$AE$的数值，即可求出$AB$的长度。
【解析】
(1) 解：
∵$EF// CD$，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$
将$AF=3$，$AD=5$，$AE=4$代入上式：
$\frac{3}{5}=\frac{4}{AC}$
解得$AC=\frac{20}{3}$
∴$CE=AC-AE=\frac{20}{3}-4=\frac{20}{3}-\frac{12}{3}=\frac{8}{3}$
(2) 解：
∵$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
由(1)知$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$，$AD=5$，代入得：
$\frac{5}{AB}=\frac{3}{5}$
解得$AB=\frac{25}{3}$
【答案】
(1)$\frac{8}{3}$；(2)$\frac{25}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；线段和差计算
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是结合图形准确找到成比例的对应线段，列出比例式计算即可，计算时注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
5.如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A₁B₁C₁相似的是(
A
B
C
D
B
)。A
B
C
D
答案
5.B
解析
【分析】要判断哪个阴影三角形与△A₁B₁C₁相似，首先利用勾股定理求出△A₁B₁C₁的三边长，得到三边的比值；再依次计算每个选项中阴影三角形的三边长，求出三边比值，看是否与△A₁B₁C₁的三边比值对应相等，比值相等的即为相似三角形。也可以先观察△A₁B₁C₁的135°特殊钝角，先排除没有该角度的选项，再验证边是否成比例，简化计算。
【解析】已知每个小正方形边长为1，首先计算△A₁B₁C₁的三边长：
$A_1B_1 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$
$B_1C_1 = 2$
$A_1C_1 = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$
因此△A₁B₁C₁的三边长度比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10} = 1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，且有一个135°的钝角。
依次分析各选项：
A选项：阴影三角形三边长为1、$\sqrt{5}$、$2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似；
B选项：阴影三角形三边长为1、$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△A₁B₁C₁的三边比对应相等，符合相似三角形判定条件，相似；
C选项：阴影三角形三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、3，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似；
D选项：阴影三角形三边长为2、$\sqrt{5}$、$\sqrt{13}$，三边比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似。
【答案】B
【知识点】勾股定理、相似三角形的判定
【点评】本题结合网格背景考查相似三角形的判定，解题的关键是利用勾股定理准确计算各三角形的三边长，通过三边对应成比例判断相似，也可结合特殊角快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】0.7
【解析】已知每个小正方形边长为1，首先计算△A₁B₁C₁的三边长：
$A_1B_1 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$
$B_1C_1 = 2$
$A_1C_1 = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$
因此△A₁B₁C₁的三边长度比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10} = 1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，且有一个135°的钝角。
依次分析各选项：
A选项：阴影三角形三边长为1、$\sqrt{5}$、$2\sqrt{2}$，三边比为$1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似；
B选项：阴影三角形三边长为1、$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△A₁B₁C₁的三边比对应相等，符合相似三角形判定条件，相似；
C选项：阴影三角形三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、3，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似；
D选项：阴影三角形三边长为2、$\sqrt{5}$、$\sqrt{13}$，三边比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{13}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，不相似。
【答案】B
【知识点】勾股定理、相似三角形的判定
【点评】本题结合网格背景考查相似三角形的判定，解题的关键是利用勾股定理准确计算各三角形的三边长，通过三边对应成比例判断相似，也可结合特殊角快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】0.7
6.如图，在$□ ABCD$中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，$EF=1$，$EC=3$，则GF的长为（
A.4
B.6
C.8
D.10
C
）。A.4
B.6
C.8
D.10
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形对边平行的性质，先通过AD//BC得到△FED和△CEB相似，求出DE与BE的比值；再通过AB//CD得到△GEB和△CED相似，根据相似比求出GE的长度，最后用GE的长度减去EF的长度即可得到GF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD。
1. 由AD//BC可得：∠FDE=∠CBE，∠DFE=∠BCE，
∴△FED∽△CEB，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{DE}{BE}$，
将EF=1，EC=3代入得：$\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，即$\frac{BE}{DE}=3$。
2. 由AB//CD可得：∠G=∠DCE，∠GBE=∠CDE，
∴△GEB∽△CED，
∴$\frac{GE}{CE}=\frac{BE}{DE}=3$，
∴$GE=3× CE=3×3=9$。
3.
∵$GE=GF+EF$，
∴$GF=GE-EF=9-1=8$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题需要结合平行线的性质找到两组相似三角形，通过相似比建立线段之间的数量关系，即可逐步求解未知线段的长度，属于相似三角形的典型应用类题目。
【难度系数】
0.65
解题时首先结合平行四边形对边平行的性质，先通过AD//BC得到△FED和△CEB相似，求出DE与BE的比值；再通过AB//CD得到△GEB和△CED相似，根据相似比求出GE的长度，最后用GE的长度减去EF的长度即可得到GF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD。
1. 由AD//BC可得：∠FDE=∠CBE，∠DFE=∠BCE，
∴△FED∽△CEB，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{DE}{BE}$，
将EF=1，EC=3代入得：$\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，即$\frac{BE}{DE}=3$。
2. 由AB//CD可得：∠G=∠DCE，∠GBE=∠CDE，
∴△GEB∽△CED，
∴$\frac{GE}{CE}=\frac{BE}{DE}=3$，
∴$GE=3× CE=3×3=9$。
3.
∵$GE=GF+EF$，
∴$GF=GE-EF=9-1=8$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题需要结合平行线的性质找到两组相似三角形，通过相似比建立线段之间的数量关系，即可逐步求解未知线段的长度，属于相似三角形的典型应用类题目。
【难度系数】
0.65
7. 如图，在$△ ABC$中，$DE // BC$，$DE=2$，$BC=5$，则$S_{△ ADE}: S_{△ ABC}$的值是（
A.$\dfrac{3}{25}$
B.$\dfrac{4}{25}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{3}{5}$
B
）。A.$\dfrac{3}{25}$
B.$\dfrac{4}{25}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{3}{5}$
答案
7.B
解析
【分析】
首先观察图形条件，已知DE平行于BC，可根据相似三角形的判定定理推出△ADE与△ABC相似。要求两个三角形的面积比，需用到相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。先计算两三角形的相似比（即对应边DE与BC的比值），再对相似比求平方即可得到最终的面积比值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore$ 两三角形的相似比 $k=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，
$\because$ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
$\therefore S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形的判定及面积比与相似比的关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先观察图形条件，已知DE平行于BC，可根据相似三角形的判定定理推出△ADE与△ABC相似。要求两个三角形的面积比，需用到相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。先计算两三角形的相似比（即对应边DE与BC的比值），再对相似比求平方即可得到最终的面积比值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore$ 两三角形的相似比 $k=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，
$\because$ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
$\therefore S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形的判定及面积比与相似比的关系，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,B,C,E$在同一条直线上,且$∠ D=∠ CAE$。
(1)求证:$△ ABD ∽ △ ECA$；
(2)若$AC=6$,$CE=4$,求$BD$的长度。
(1)求证:$△ ABD ∽ △ ECA$；
(2)若$AC=6$,$CE=4$,求$BD$的长度。
答案
8.(1)证明:$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE$。
$\because ∠ D=∠ CAE$,
$\therefore △ ABD∽△ ECA$。
(2)解:$\because AB=AC,AC=6$,
$\therefore AB=6$。
$\because △ ABD∽△ ECA$,
$\therefore \frac{BD}{CA}=\frac{AB}{EC}$。
$\because CE=4$,
$\therefore \frac{BD}{6}=\frac{6}{4}$,
$\therefore BD=9$。
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE$。
$\because ∠ D=∠ CAE$,
$\therefore △ ABD∽△ ECA$。
(2)解:$\because AB=AC,AC=6$,
$\therefore AB=6$。
$\because △ ABD∽△ ECA$,
$\therefore \frac{BD}{CA}=\frac{AB}{EC}$。
$\because CE=4$,
$\therefore \frac{BD}{6}=\frac{6}{4}$,
$\therefore BD=9$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABD∽△ECA，可通过“两角对应相等的两个三角形相似”判定。首先由AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠ABC=∠ACB，再根据等角的补角相等推出∠ABD=∠ACE，结合题目给出的∠D=∠CAE，满足两角对应相等的相似判定条件，即可得证。
(2) 求BD的长度，可利用相似三角形对应边成比例的性质求解：先根据AB=AC得到AB的长度，再找准两个相似三角形的对应边列出比例式，代入已知数值计算即可得到BD的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ABC=∠ACB$，
$\because ∠ABD+∠ABC=180°$，$∠ACE+∠ACB=180°$，
$\therefore ∠ABD=∠ACE$，
又$\because ∠D=∠CAE$，
$\therefore △ABD ∽ △ECA$。
(2) 解：
$\because AB=AC$，$AC=6$，
$\therefore AB=6$，
$\because △ABD ∽ △ECA$，
$\therefore \frac{BD}{CA}=\frac{AB}{EC}$，
将$AC=6$，$AB=6$，$CE=4$代入上式得：
$\frac{BD}{6}=\frac{6}{4}$，
解得$BD=9$。
【答案】
(1) 已证△ABD∽△ECA；(2) $BD=9$
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定、性质，要注意准确匹配相似三角形的对应边，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABD∽△ECA，可通过“两角对应相等的两个三角形相似”判定。首先由AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠ABC=∠ACB，再根据等角的补角相等推出∠ABD=∠ACE，结合题目给出的∠D=∠CAE，满足两角对应相等的相似判定条件，即可得证。
(2) 求BD的长度，可利用相似三角形对应边成比例的性质求解：先根据AB=AC得到AB的长度，再找准两个相似三角形的对应边列出比例式，代入已知数值计算即可得到BD的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ABC=∠ACB$，
$\because ∠ABD+∠ABC=180°$，$∠ACE+∠ACB=180°$，
$\therefore ∠ABD=∠ACE$，
又$\because ∠D=∠CAE$，
$\therefore △ABD ∽ △ECA$。
(2) 解：
$\because AB=AC$，$AC=6$，
$\therefore AB=6$，
$\because △ABD ∽ △ECA$，
$\therefore \frac{BD}{CA}=\frac{AB}{EC}$，
将$AC=6$，$AB=6$，$CE=4$代入上式得：
$\frac{BD}{6}=\frac{6}{4}$，
解得$BD=9$。
【答案】
(1) 已证△ABD∽△ECA；(2) $BD=9$
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定、性质，要注意准确匹配相似三角形的对应边，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
