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6. 如图28－1－18，把$\mathrm{Rt}△ ABC$放置在平面直角坐标系中，$∠ C=90°$，已知点A是x轴上的定点，点B的坐标为$(0,2)$，将$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点A逆时针旋转$60°$，旋转后点C恰好与点O重合，则旋转前点C的坐标是
$(\sqrt{3},3)$
.答案
6.$(\sqrt{3},3)$
解析
【分析】
首先根据旋转的性质可知，旋转前后对应边长度相等，旋转角为60°，可得AC=AO，∠CAO=60°，由此可判定△AOC是等边三角形。我们设点A的坐标为(a,0)（a＞0），就可以用含a的式子表示出点C的坐标；再结合Rt△ABC中∠C=90°，利用勾股定理列出关于a的方程，求解得到a的值后代入C点坐标表达式，即可得到答案。
【解析】
1. 由旋转的性质可得：$AC=AO$，旋转角$∠ CAO=60°$，因此$△ AOC$是等边三角形，即$AC=AO=OC$。
2. 设点$A$的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），则$AO=a$，即$AC=a$。
3. 等边$△ AOC$中，$OA$在x轴上，因此点$C$的横坐标为$\frac{a}{2}$，纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，即$C(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2})$。
4. 已知$B(0,2)$，$∠ ACB=90°$，在$Rt△ ABC$中由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
5. 分别计算各边的平方：
$AC^2=a^2$；
$BC^2=(\frac{a}{2}-0)^2+(\frac{\sqrt{3}a}{2}-2)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-2\sqrt{3}a+4=a^2-2\sqrt{3}a+4$；
$AB^2=(a-0)^2+(0-2)^2=a^2+4$。
6. 代入勾股定理公式化简：
$a^2 + (a^2 - 2\sqrt{3}a + 4) = a^2 + 4$
整理得$a^2 - 2\sqrt{3}a=0$，提取公因式得$a(a-2\sqrt{3})=0$。
由于$a＞0$，因此$a=2\sqrt{3}$。
7. 将$a=2\sqrt{3}$代入$C$点坐标表达式，得横坐标$\frac{a}{2}=\sqrt{3}$，纵坐标$\frac{\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{2}=3$，即点$C$坐标为$(\sqrt{3},3)$。
【答案】
$(\sqrt{3},3)$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何与坐标系结合的综合题，解题的突破口是利用旋转性质推导出△AOC为等边三角形，再结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，很好地体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.65
首先根据旋转的性质可知，旋转前后对应边长度相等，旋转角为60°，可得AC=AO，∠CAO=60°，由此可判定△AOC是等边三角形。我们设点A的坐标为(a,0)（a＞0），就可以用含a的式子表示出点C的坐标；再结合Rt△ABC中∠C=90°，利用勾股定理列出关于a的方程，求解得到a的值后代入C点坐标表达式，即可得到答案。
【解析】
1. 由旋转的性质可得：$AC=AO$，旋转角$∠ CAO=60°$，因此$△ AOC$是等边三角形，即$AC=AO=OC$。
2. 设点$A$的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），则$AO=a$，即$AC=a$。
3. 等边$△ AOC$中，$OA$在x轴上，因此点$C$的横坐标为$\frac{a}{2}$，纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，即$C(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2})$。
4. 已知$B(0,2)$，$∠ ACB=90°$，在$Rt△ ABC$中由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
5. 分别计算各边的平方：
$AC^2=a^2$；
$BC^2=(\frac{a}{2}-0)^2+(\frac{\sqrt{3}a}{2}-2)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-2\sqrt{3}a+4=a^2-2\sqrt{3}a+4$；
$AB^2=(a-0)^2+(0-2)^2=a^2+4$。
6. 代入勾股定理公式化简：
$a^2 + (a^2 - 2\sqrt{3}a + 4) = a^2 + 4$
整理得$a^2 - 2\sqrt{3}a=0$，提取公因式得$a(a-2\sqrt{3})=0$。
由于$a＞0$，因此$a=2\sqrt{3}$。
7. 将$a=2\sqrt{3}$代入$C$点坐标表达式，得横坐标$\frac{a}{2}=\sqrt{3}$，纵坐标$\frac{\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{2}=3$，即点$C$坐标为$(\sqrt{3},3)$。
【答案】
$(\sqrt{3},3)$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何与坐标系结合的综合题，解题的突破口是利用旋转性质推导出△AOC为等边三角形，再结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，很好地体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.65
1. 如图28－1－19，已知$△ ABC$的顶点分别在网格的格点上，点$A'$，$C'$分别是点$A$，$C$绕某一点$O$旋转同样的角度后的对应点。
(1)请作出旋转中心$O$的位置；
(2)点$A'$是点$A$绕点$O$旋转
(3)画出$△ ABC$绕点$O$旋转后的$△ A'B'C'$。
(1)请作出旋转中心$O$的位置；
(2)点$A'$是点$A$绕点$O$旋转
90
°形成的；(3)画出$△ ABC$绕点$O$旋转后的$△ A'B'C'$。
答案
1.解:(1)如答图28－1－5.
(2)90
(3)$△ A'B'C'$如答图28－1－4所示.
解析
【分析】
解题需结合旋转的性质逐步推进：1. 确定旋转中心：旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点，我们选取已知的对应点A和A'、C和C'，作两组连线的垂直平分线，交点即为旋转中心O；2. 求旋转角度：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，连接OA、OA'，结合网格的垂直特征即可判断夹角大小；3. 作旋转后图形：先将OB按相同的旋转方向、旋转角度旋转得到B的对应点B'，再顺次连接三个对应点即可得到旋转后的三角形。
【解析】
(1) ①分别连接对应点的线段$AA'$、$CC'$；②分别作$AA'$和$CC'$的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求旋转中心O。
(2) 连接$OA$、$OA'$，结合网格可观察到$OA$与$OA'$互相垂直，因此旋转角度为90°。
(3) ①连接$OB$，将$OB$绕点O按与A、C相同的旋转方向旋转90°，得到点B的对应点$B'$；②顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，所得$△ A'B'C'$就是$△ ABC$绕点O旋转后的图形。
【答案】
(1)如答图28－1－5.
(2)90
(3)$△ A'B'C'$如答图28－1－4所示.
【知识点】
旋转的性质，旋转中心确定，旋转作图
【点评】
本题是旋转相关的基础作图题，重点考查对旋转性质的理解和应用，熟练掌握旋转中心、旋转角的确定方法，是解决这类作图问题的核心。
【难度系数】
0.7
解题需结合旋转的性质逐步推进：1. 确定旋转中心：旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点，我们选取已知的对应点A和A'、C和C'，作两组连线的垂直平分线，交点即为旋转中心O；2. 求旋转角度：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，连接OA、OA'，结合网格的垂直特征即可判断夹角大小；3. 作旋转后图形：先将OB按相同的旋转方向、旋转角度旋转得到B的对应点B'，再顺次连接三个对应点即可得到旋转后的三角形。
【解析】
(1) ①分别连接对应点的线段$AA'$、$CC'$；②分别作$AA'$和$CC'$的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求旋转中心O。
(2) 连接$OA$、$OA'$，结合网格可观察到$OA$与$OA'$互相垂直，因此旋转角度为90°。
(3) ①连接$OB$，将$OB$绕点O按与A、C相同的旋转方向旋转90°，得到点B的对应点$B'$；②顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，所得$△ A'B'C'$就是$△ ABC$绕点O旋转后的图形。
【答案】
(1)如答图28－1－5.
(2)90
(3)$△ A'B'C'$如答图28－1－4所示.
【知识点】
旋转的性质，旋转中心确定，旋转作图
【点评】
本题是旋转相关的基础作图题，重点考查对旋转性质的理解和应用，熟练掌握旋转中心、旋转角的确定方法，是解决这类作图问题的核心。
【难度系数】
0.7
2.【规律探究题】如图28－1－20，在等腰三角形ABC中，BA＝BC.第1次操作：取AC的中点O₁，将O₁B绕点O₁分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O₁C₁和O₁A₁；第2次操作：取A₁C₁的中点O₂，将O₂O₁绕点O₂分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O₂C₂和O₂A₂；……按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段O₃₀C₃₀和O₃₀A₃₀，若用点C在点A的正南方向表示初始位置，则点C₃₀在点A₃₀的(
A.正东方向
B.正南方向
C.正西方向
D.正北方向
图28－1－20
D
)A.正东方向
B.正南方向
C.正西方向
D.正北方向
图28－1－20
答案
2.D
解析
【分析】
首先明确初始相对方向：点C在点A正南，说明线段AC沿南北方向。接下来我们先分析第一次操作后线段A₁C₁的方向变化，找到每次操作后线段方向的旋转规律，再计算30次操作后的总旋转角度，即可判断最终C₃₀相对于A₃₀的方向。
【解析】
1. 初始状态：已知点C在点A正南，因此线段AC为南北走向，从A指向C为正南方向。
2. 分析方向变化规律：等腰△ABC中，BA=BC，O₁是AC中点，因此BO₁⊥AC，AC为南北向，故BO₁为东西向，O₁B指向正西。将O₁B逆时针旋转180°得O₁A₁（指向正东），逆时针旋转120°得O₁C₁，可得O₁A₁=O₁C₁，∠A₁O₁C₁=180°-120°=60°，△A₁O₁C₁为等边三角形。对比A₁C₁与AC的方向，可知每次操作后，线段AₙCₙ的方向相对前一次顺时针旋转30°。
3. 计算总旋转角度：30次操作后总旋转角度为30×30°=900°，900°÷360°=2……180°，即相当于顺时针旋转了180°，方向与初始方向完全相反。
4. 初始C在A正南，方向相反后C₃₀在A₃₀的正北方向。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，规律探究，方向与位置
【点评】
本题将旋转操作和规律探究结合，解题时需要先从第一次操作入手，准确找到每次操作后线段方向的变化规律，再通过角度的周期计算得到最终方向，很好地考查了动手分析和归纳推理的能力。
【难度系数】
0.6
首先明确初始相对方向：点C在点A正南，说明线段AC沿南北方向。接下来我们先分析第一次操作后线段A₁C₁的方向变化，找到每次操作后线段方向的旋转规律，再计算30次操作后的总旋转角度，即可判断最终C₃₀相对于A₃₀的方向。
【解析】
1. 初始状态：已知点C在点A正南，因此线段AC为南北走向，从A指向C为正南方向。
2. 分析方向变化规律：等腰△ABC中，BA=BC，O₁是AC中点，因此BO₁⊥AC，AC为南北向，故BO₁为东西向，O₁B指向正西。将O₁B逆时针旋转180°得O₁A₁（指向正东），逆时针旋转120°得O₁C₁，可得O₁A₁=O₁C₁，∠A₁O₁C₁=180°-120°=60°，△A₁O₁C₁为等边三角形。对比A₁C₁与AC的方向，可知每次操作后，线段AₙCₙ的方向相对前一次顺时针旋转30°。
3. 计算总旋转角度：30次操作后总旋转角度为30×30°=900°，900°÷360°=2……180°，即相当于顺时针旋转了180°，方向与初始方向完全相反。
4. 初始C在A正南，方向相反后C₃₀在A₃₀的正北方向。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，规律探究，方向与位置
【点评】
本题将旋转操作和规律探究结合，解题时需要先从第一次操作入手，准确找到每次操作后线段方向的变化规律，再通过角度的周期计算得到最终方向，很好地考查了动手分析和归纳推理的能力。
【难度系数】
0.6
