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1.如图29－1－2，在$\odot O$中，A，B是圆上的两点，已知$∠ AOB=40°$，直径$CD// AB$，连接AC，则$∠ BAC$的度数为（
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
A
）A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先从圆的半径相等入手，得到△OAB为等腰三角形，结合已知∠AOB的度数可算出底角∠OAB的度数；再利用CD//AB的平行线性质，求出圆心角∠AOC的度数；接着再次利用半径相等得到△OAC为等腰三角形，算出∠OAC的度数；最后用∠OAB减去∠OAC即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB
已知∠AOB=40°，在等腰△OAB中：
∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)÷2=(180°-40°)÷2=70°
∵直径CD//AB，OA为截线
∴∠AOC=∠OAB=70°（两直线平行，内错角相等）
又
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC
在等腰△OAC中：
∠OAC=(180°-∠AOC)÷2=(180°-70°)÷2=55°
∴∠BAC=∠OAB - ∠OAC=70°-55°=35°
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题的关键是灵活运用圆的半径相等得到等腰三角形，再结合平行线的性质逐步推导所求角度，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从圆的半径相等入手，得到△OAB为等腰三角形，结合已知∠AOB的度数可算出底角∠OAB的度数；再利用CD//AB的平行线性质，求出圆心角∠AOC的度数；接着再次利用半径相等得到△OAC为等腰三角形，算出∠OAC的度数；最后用∠OAB减去∠OAC即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB
已知∠AOB=40°，在等腰△OAB中：
∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)÷2=(180°-40°)÷2=70°
∵直径CD//AB，OA为截线
∴∠AOC=∠OAB=70°（两直线平行，内错角相等）
又
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC
在等腰△OAC中：
∠OAC=(180°-∠AOC)÷2=(180°-70°)÷2=55°
∴∠BAC=∠OAB - ∠OAC=70°-55°=35°
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题的关键是灵活运用圆的半径相等得到等腰三角形，再结合平行线的性质逐步推导所求角度，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图29－1－3，点A，N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，BC=a，MD=b，则a，b的关系为(
A.$a＞b$
B.$a=b$
C.$a＜b$
D.$a≤b$
B
)A.$a＞b$
B.$a=b$
C.$a＜b$
D.$a≤b$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断a、b的大小关系，可结合矩形与圆的性质推导：首先利用矩形对角线相等的性质，将a、b分别和对应矩形的另一条对角线关联，再结合圆上的点到圆心的距离等于半径，得到两条对角线都是圆的半径，即可推出a、b的关系。
【解析】
连接OA、ON。
1. 因为四边形ABOC是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得：$ BC = OA $，即$ a = OA $；
2. 因为四边形DNMO是矩形，同理可得：$ MD = ON $，即$ b = ON $；
3. 因为点A、N都在半圆O上，OA、ON都是半圆O的半径，所以$ OA = ON $；
4. 由等量代换可得$ a = b $。
综上，选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；同圆的半径相等
【点评】
本题是基础几何题，将矩形性质与圆的基础概念结合考查，解题的突破口是通过矩形对角线相等的性质，把待比较的线段转化为圆的半径，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断a、b的大小关系，可结合矩形与圆的性质推导：首先利用矩形对角线相等的性质，将a、b分别和对应矩形的另一条对角线关联，再结合圆上的点到圆心的距离等于半径，得到两条对角线都是圆的半径，即可推出a、b的关系。
【解析】
连接OA、ON。
1. 因为四边形ABOC是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得：$ BC = OA $，即$ a = OA $；
2. 因为四边形DNMO是矩形，同理可得：$ MD = ON $，即$ b = ON $；
3. 因为点A、N都在半圆O上，OA、ON都是半圆O的半径，所以$ OA = ON $；
4. 由等量代换可得$ a = b $。
综上，选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；同圆的半径相等
【点评】
本题是基础几何题，将矩形性质与圆的基础概念结合考查，解题的突破口是通过矩形对角线相等的性质，把待比较的线段转化为圆的半径，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
3.如图29-1-4,CD是$\odot O$的直径,E是$\odot O$上一点,$∠ EOD=48°$,A为DC的延长线上一点,且$AB=OC$,则$∠ A$的度数是
$16°$
.答案
3.$16°$
解析
【分析】
首先利用圆的半径相等的性质，结合已知AB=OC，可得AB与⊙O的半径OB相等，因此考虑连接辅助线OB构造等腰三角形。先由AB=OB得到△ABO为等腰三角形，推出∠A与∠AOB的等量关系；再由OB=OE得到△OBE为等腰三角形，结合三角形外角的性质，得到∠OBE与∠A的关系，最后再利用外角性质建立∠EOD和∠A的等式，即可求解∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵OC、OB、OE均为⊙O的半径，且AB=OC，
∴AB=OB=OE，
∴∠A=∠AOB（等腰三角形两底角相等），∠OBE=∠OEB，
∵∠OBE是△ABO的外角，
∴∠OBE=∠A+∠AOB=2∠A，即∠OEB=2∠A，
∵∠EOD是△AOE的外角，
∴∠EOD=∠A+∠OEB=∠A+2∠A=3∠A，
又
∵∠EOD=48°，
∴3∠A=48°，解得∠A=16°。
【答案】
16°
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造等腰三角形，再结合圆的性质和三角形的相关角的性质建立角的等量关系即可求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先利用圆的半径相等的性质，结合已知AB=OC，可得AB与⊙O的半径OB相等，因此考虑连接辅助线OB构造等腰三角形。先由AB=OB得到△ABO为等腰三角形，推出∠A与∠AOB的等量关系；再由OB=OE得到△OBE为等腰三角形，结合三角形外角的性质，得到∠OBE与∠A的关系，最后再利用外角性质建立∠EOD和∠A的等式，即可求解∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵OC、OB、OE均为⊙O的半径，且AB=OC，
∴AB=OB=OE，
∴∠A=∠AOB（等腰三角形两底角相等），∠OBE=∠OEB，
∵∠OBE是△ABO的外角，
∴∠OBE=∠A+∠AOB=2∠A，即∠OEB=2∠A，
∵∠EOD是△AOE的外角，
∴∠EOD=∠A+∠OEB=∠A+2∠A=3∠A，
又
∵∠EOD=48°，
∴3∠A=48°，解得∠A=16°。
【答案】
16°
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造等腰三角形，再结合圆的性质和三角形的相关角的性质建立角的等量关系即可求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
4.如图29－1－5，点D，E分别在△ABC的边BC，AB上，过D，A，C三点的圆的圆心为E，过B，E，F三点的圆的圆心为D，若∠CAB＝63°，则∠ABC＝
18
°。答案
4.18
解析
【分析】
解题时需结合圆的基本性质和三角形相关定理求解，思路如下：1. 利用同圆半径相等的性质，得到多组相等线段，进而推出对应的等腰三角形；2. 先根据EA=EC，结合已知∠CAB的度数求出∠AEC的大小；3. 设∠ABC为x°，利用DB=DE得到等腰△BDE，用x表示出相关角的度数，再结合ED=EC得到等腰△EDC，最后根据平角定义和三角形内角和定理列方程求解即可。
【解析】
解：设∠ABC = x°
∵ E是过D、A、C三点的圆的圆心
∴ EA = EC = ED（同圆的半径相等）
∵ EA=EC，∠CAB=63°
∴ ∠ECA = ∠CAB = 63°
在△AEC中，由三角形内角和为180°得：
∠AEC = 180° - ∠CAB - ∠ECA = 180° - 63° - 63° = 54°
∵ D是过B、E两点的圆的圆心
∴ DB = DE（同圆的半径相等）
∴ ∠DEB = ∠ABC = x°
∵ ∠EDC是△BDE的外角
∴ ∠EDC = ∠DEB + ∠ABC = x° + x° = 2x°
又
∵ ED=EC
∴ ∠ECD = ∠EDC = 2x°
∵ 点E在AB上，∠AEB为平角
∴ ∠AEC + ∠CED + ∠DEB = 180°
则∠CED = 180° - 54° - x° = (126 - x)°
在△EDC中，由三角形内角和为180°得：
∠CED + ∠EDC + ∠ECD = 180°
代入得：(126 - x) + 2x + 2x = 180
解得x=18
【答案】
18
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的综合应用题，解题的核心是通过同圆半径相等挖掘出隐含的等腰三角形，结合方程思想求解角度，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时需结合圆的基本性质和三角形相关定理求解，思路如下：1. 利用同圆半径相等的性质，得到多组相等线段，进而推出对应的等腰三角形；2. 先根据EA=EC，结合已知∠CAB的度数求出∠AEC的大小；3. 设∠ABC为x°，利用DB=DE得到等腰△BDE，用x表示出相关角的度数，再结合ED=EC得到等腰△EDC，最后根据平角定义和三角形内角和定理列方程求解即可。
【解析】
解：设∠ABC = x°
∵ E是过D、A、C三点的圆的圆心
∴ EA = EC = ED（同圆的半径相等）
∵ EA=EC，∠CAB=63°
∴ ∠ECA = ∠CAB = 63°
在△AEC中，由三角形内角和为180°得：
∠AEC = 180° - ∠CAB - ∠ECA = 180° - 63° - 63° = 54°
∵ D是过B、E两点的圆的圆心
∴ DB = DE（同圆的半径相等）
∴ ∠DEB = ∠ABC = x°
∵ ∠EDC是△BDE的外角
∴ ∠EDC = ∠DEB + ∠ABC = x° + x° = 2x°
又
∵ ED=EC
∴ ∠ECD = ∠EDC = 2x°
∵ 点E在AB上，∠AEB为平角
∴ ∠AEC + ∠CED + ∠DEB = 180°
则∠CED = 180° - 54° - x° = (126 - x)°
在△EDC中，由三角形内角和为180°得：
∠CED + ∠EDC + ∠ECD = 180°
代入得：(126 - x) + 2x + 2x = 180
解得x=18
【答案】
18
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的综合应用题，解题的核心是通过同圆半径相等挖掘出隐含的等腰三角形，结合方程思想求解角度，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
1. 如图29－1－6，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AC＝4，以点A为圆心，r为半径作⊙A.
(1)要使点B在⊙A外，求r的取值范围；
(2)要使点B在⊙A内，点C在⊙A外，求r的取值范围.
(1)要使点B在⊙A外，求r的取值范围；
(2)要使点B在⊙A内，点C在⊙A外，求r的取值范围.
答案
1. 解:$\because ∠ A=90°, BC=5, AC=4$,
$\therefore AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=3$.
(1)要使点B在$\odot A$外,则$0＜r＜3$.
(2)要使点B在$\odot A$内,点C在$\odot A$外,则$3＜r＜4$.
$\therefore AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=3$.
(1)要使点B在$\odot A$外,则$0＜r＜3$.
(2)要使点B在$\odot A$内,点C在$\odot A$外,则$3＜r＜4$.
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先计算圆心A到B、C两点的距离，已知△ABC是直角三角形，∠A=90°，已知斜边BC和直角边AC，根据勾股定理可求出另一条直角边AB的长度，其中AC=4是点C到A的距离，AB是点B到A的距离；第二步结合点与圆的位置关系判定规则求解r的范围：点在圆外等价于点到圆心的距离大于半径，点在圆内等价于点到圆心的距离小于半径，同时半径r必须为正数，根据题目给出的位置条件列不等式即可得到r的取值范围。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$BC=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
(1) 若点B在$\odot A$外，则点B到圆心A的距离大于半径r，且$r＞0$，即$r＜AB=3$，因此$0＜r＜3$。
(2) 若点B在$\odot A$内，则$r＞AB=3$；若点C在$\odot A$外，则$r＜AC=4$，联立得$3＜r＜4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0 ＜ r ＜ 3}$；(2) $\boldsymbol{3 ＜ r ＜ 4}$
【知识点】
勾股定理，点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是点和圆位置关系的基础应用题型，解题核心是先求出各点到圆心的距离，再根据位置关系对应的数量关系列不等式求解，是对基础概念和性质的直接考察。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先计算圆心A到B、C两点的距离，已知△ABC是直角三角形，∠A=90°，已知斜边BC和直角边AC，根据勾股定理可求出另一条直角边AB的长度，其中AC=4是点C到A的距离，AB是点B到A的距离；第二步结合点与圆的位置关系判定规则求解r的范围：点在圆外等价于点到圆心的距离大于半径，点在圆内等价于点到圆心的距离小于半径，同时半径r必须为正数，根据题目给出的位置条件列不等式即可得到r的取值范围。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$BC=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
(1) 若点B在$\odot A$外，则点B到圆心A的距离大于半径r，且$r＞0$，即$r＜AB=3$，因此$0＜r＜3$。
(2) 若点B在$\odot A$内，则$r＞AB=3$；若点C在$\odot A$外，则$r＜AC=4$，联立得$3＜r＜4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0 ＜ r ＜ 3}$；(2) $\boldsymbol{3 ＜ r ＜ 4}$
【知识点】
勾股定理，点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是点和圆位置关系的基础应用题型，解题核心是先求出各点到圆心的距离，再根据位置关系对应的数量关系列不等式求解，是对基础概念和性质的直接考察。
【难度系数】
0.8
2.如图29－1－7，在正方形ABCD中，点E是AD上一点，点F是CD的中点，连接BE，AF交于点G，AF⊥BE，延长AF，BC交于点H，则B，D，G，H这四个点是否在同一个圆上？说明理由。
答案
2. 解:B,D,G,H这四个点在同一个圆上.
理由如下:连接CG,
$\because$ 四边形ABCD是正方形,
$\therefore AD=BC=CD, ∠ D=∠ FCH=90°$.
$\because$ 点F是CD的中点,$\therefore DF=CF$.
又$\because ∠ AFD=∠ HFC$,
$\therefore △ ADF ≌ △ HCF, \therefore AD=CH$.
又$\because AD=BC, \therefore BC=CH=\frac{1}{2}BH$.
$\because AF ⊥ BE, \therefore ∠ BGH=90°$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BGH$中,$GC=\frac{1}{2}BH$,
$\therefore CB=CG=CD=CH$,
$\therefore B,G,D,H$这四个点在以点C为圆心,BC为半径的圆上.
理由如下:连接CG,
$\because$ 四边形ABCD是正方形,
$\therefore AD=BC=CD, ∠ D=∠ FCH=90°$.
$\because$ 点F是CD的中点,$\therefore DF=CF$.
又$\because ∠ AFD=∠ HFC$,
$\therefore △ ADF ≌ △ HCF, \therefore AD=CH$.
又$\because AD=BC, \therefore BC=CH=\frac{1}{2}BH$.
$\because AF ⊥ BE, \therefore ∠ BGH=90°$.
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BGH$中,$GC=\frac{1}{2}BH$,
$\therefore CB=CG=CD=CH$,
$\therefore B,G,D,H$这四个点在以点C为圆心,BC为半径的圆上.
解析
【分析】要判断B、D、G、H四点是否共圆，可采用“若四个点到同一个定点的距离相等，则这四个点共圆”的判定思路。首先结合正方形性质和F是CD中点的条件，证明△ADF与△HCF全等，推导出CH=AD，可得C是BH的中点；再利用AF⊥BE得到△BGH是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，推出CG=BC，结合正方形边长相等的性质，即可得B、D、G、H四点到点C的距离都等于BC，从而判定四点共圆。
【解析】
解：B,D,G,H这四个点在同一个圆上，理由如下：
连接CG，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=BC=CD$，$∠D=∠FCH=90°$。
∵ 点F是CD的中点，$\therefore DF=CF$。
又$\because ∠AFD=∠HFC$，
$\therefore △ADF ≌ △HCF$，$\therefore AD=CH$。
又$\because AD=BC$，$\therefore BC=CH=\frac{1}{2}BH$。
$\because AF ⊥ BE$，$\therefore ∠BGH=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△BGH$中，$GC=\frac{1}{2}BH$，
$\therefore CB=CG=CD=CH$，
即B、G、D、H四点到点C的距离相等，
$\therefore B,G,D,H$这四个点在以点C为圆心，BC为半径的圆上。
【答案】
B，D，G，H这四个点在同一个圆上。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定
【点评】
本题综合考查了常见几何图形的基础性质，解题的关键是通过三角形全等推导得到BH的中点，再结合直角三角形斜边中线的性质得到四点到同一定点的距离相等，能较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
【解析】
解：B,D,G,H这四个点在同一个圆上，理由如下：
连接CG，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=BC=CD$，$∠D=∠FCH=90°$。
∵ 点F是CD的中点，$\therefore DF=CF$。
又$\because ∠AFD=∠HFC$，
$\therefore △ADF ≌ △HCF$，$\therefore AD=CH$。
又$\because AD=BC$，$\therefore BC=CH=\frac{1}{2}BH$。
$\because AF ⊥ BE$，$\therefore ∠BGH=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△BGH$中，$GC=\frac{1}{2}BH$，
$\therefore CB=CG=CD=CH$，
即B、G、D、H四点到点C的距离相等，
$\therefore B,G,D,H$这四个点在以点C为圆心，BC为半径的圆上。
【答案】
B，D，G，H这四个点在同一个圆上。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定
【点评】
本题综合考查了常见几何图形的基础性质，解题的关键是通过三角形全等推导得到BH的中点，再结合直角三角形斜边中线的性质得到四点到同一定点的距离相等，能较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
