8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D为AB边的中点,$DE⊥ AB$,且$AD=2DE$。
(1)求$\sin B$的值。
(2)若$CD=\sqrt{5}$,求$CE$的长。

解：
(1) ∵ DE⊥AB，
∴ ∠ADE=90°。
在Rt△ADE中，设DE=a，则AD=2DE=2a，
由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5}a$，
∴ $\cos A = \frac{AD}{AE} = \frac{2a}{\sqrt{5}a} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
∴ $\sin B = \sin(90° - ∠ A) = \cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
(2) ∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，
∴ $CD = AD = \frac{1}{2}AB$，
∵ $CD=\sqrt{5}$，
∴ $AB=2\sqrt{5}$，$AD=\sqrt{5}$。
∵ $AD=2DE$，
∴ $DE = \frac{1}{2}AD = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
在Rt△ADE中，$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2} = \frac{5}{2}$。
又∵ 在Rt△ABC中，$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴ $AC = AB · \sin B = 2\sqrt{5} × \frac{2\sqrt{5}}{5} = 4$，
∴ $CE = AC - AE = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$。
综上，(1) $\sin B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；(2) $CE$的长为$\frac{3}{2}$。

【分析】
(1)要求$\sin B$的值，观察到$Rt△ ABC$中$∠ A+∠ B=90°$，根据互余两角的三角函数关系可知$\sin B=\cos A$，因此只需求出$∠ A$的余弦值即可。已知$DE⊥ AB$，$AD=2DE$，可设参数表示出$Rt△ ADE$的各边长度，利用余弦定义求出$\cos A$，进而得到$\sin B$。
(2)求$CE$的长，$CE=AC-AE$，因此只需分别求出$AC$和$AE$的长度即可。首先根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由$CD$的长度可求出$AB$、$AD$的长度，结合$AD=2DE$得到$DE$的长度，用勾股定理求出$AE$；再利用(1)中得到的$\sin B$的值，在$Rt△ ABC$中求出$AC$的长度，作差即可得到$CE$的长。
【解析】
(1) $\because DE⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADE=90°$。
在$Rt△ ADE$中，设$DE=a$，则$AD=2DE=2a$，
由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5}a$，
$\therefore \cos A = \frac{AD}{AE} = \frac{2a}{\sqrt{5}a} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$\because$在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，
$\therefore \sin B = \sin(90° - ∠ A) = \cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
(2) $\because$在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$是$AB$边的中点，
$\therefore CD = AD = \frac{1}{2}AB$，
$\because CD=\sqrt{5}$，
$\therefore AB=2\sqrt{5}$，$AD=\sqrt{5}$。
$\because AD=2DE$，
$\therefore DE = \frac{1}{2}AD = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
在$Rt△ ADE$中，$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2} = \frac{5}{2}$。
又$\because$在$Rt△ ABC$中，$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore AC = AB · \sin B = 2\sqrt{5} × \frac{2\sqrt{5}}{5} = 4$，
$\therefore CE = AC - AE = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\sin B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$；(2) $CE$的长为$\frac{3}{2}$
【知识点】
直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质与锐角三角函数的应用，解题的关键是利用互余两角的三角函数关系完成转化，结合勾股定理、直角三角形斜边中线的性质计算线段长度，能够很好地检验对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

9. 提升题 如图，某大楼顶部竖有一块广告牌CD。某人在山坡的坡脚点A处测得广告牌底部点D的仰角为60°；沿坡面AB向上走到点B处，测得广告牌顶部点C的仰角为45°。已知山坡AB的坡度$i=1:\sqrt{3}$，AB=10 m，AE=7$\sqrt{3}$ m，求广告牌CD的高度。

解：
过点B作BG⊥CE于点G，BH⊥HE于点H，
由题意得∠BHE=∠HEG=∠BGE=90°，
∴四边形BHEG是矩形，
∴BG=HE，BH=EG。
在Rt△ABH中，坡度$i=\frac{BH}{AH}=1:\sqrt{3}$，
∴$AH=\sqrt{3} BH$，
由勾股定理得：$BH^2 + AH^2 = AB^2$，
∵$AB=10\ \mathrm{m}$，
∴$BH^2 + (\sqrt{3} BH)^2 = 10^2$，
解得$BH=5\ \mathrm{m}$，$AH=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴$HE=AH + AE = 5\sqrt{3} +7\sqrt{3} =12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$BG=HE=12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCG中，∠CBG=45°，∠BGC=90°，
∴$CG=BG=12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$CE=CG + EG = CG + BH = 12\sqrt{3} +5\ \mathrm{m}$。
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，∠AED=90°，$AE=7\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$DE=AE·\tan60°=7\sqrt{3} ×\sqrt{3} =21\ \mathrm{m}$。
∴$CD=CE - DE = (12\sqrt{3} +5) -21 = 12\sqrt{3} -16\ (\mathrm{m})$。
答：广告牌CD的高度为$(12\sqrt{3}-16)\ \mathrm{m}$。

【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用类题目，解题思路如下：首先通过作辅助线构造矩形和直角三角形，把分散的已知条件整合到直角三角形中：第一步，过B作BG垂直CE、BH垂直地面HE，得到矩形BHEG，实现边的等量转化；第二步，利用坡面AB的坡度和AB的长度，结合勾股定理求出BH、AH的长度，进一步得到BG的长度；第三步，根据B处对C的仰角为45°，得到等腰直角三角形BCG，求出CG的长度，进而得到CE的总高度；第四步，利用A处对D的仰角为60°，通过三角函数求出DE的高度；最后用CE的高度减去DE的高度，即可得到广告牌CD的高度。
【解析】
过点B作BG⊥CE于点G，BH⊥HE于点H，
由题意得∠BHE=∠HEG=∠BGE=90°，
∴四边形BHEG是矩形，
∴BG=HE，BH=EG。
在Rt△ABH中，坡度$i=\frac{BH}{AH}=1:\sqrt{3}$，
∴$AH=\sqrt{3} BH$，
由勾股定理得：$BH^2 + AH^2 = AB^2$，
∵$AB=10\ \mathrm{m}$，
∴$BH^2 + (\sqrt{3} BH)^2 = 10^2$，
解得$BH=5\ \mathrm{m}$，$AH=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴$HE=AH + AE = 5\sqrt{3} +7\sqrt{3} =12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$BG=HE=12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCG中，∠CBG=45°，∠BGC=90°，
∴$CG=BG=12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$CE=CG + EG = CG + BH = 12\sqrt{3} +5\ \mathrm{m}$。
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，∠AED=90°，$AE=7\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$DE=AE·\tan60°=7\sqrt{3} ×\sqrt{3} =21\ \mathrm{m}$。
∴$CD=CE - DE = (12\sqrt{3} +5) -21 = 12\sqrt{3} -16\ (\mathrm{m})$。
【答案】
广告牌CD的高度为$(12\sqrt{3}-16)\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 坡度坡角问题
3. 仰角俯角问题
【点评】
本题是实际测量类的典型几何题，解题的核心是合理添加辅助线，将实际问题中的坡度、仰角等条件转化为直角三角形的边角关系，结合矩形的性质进行线段的转化计算，能够有效考察学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.6