1. 如图,在直角三角形材料ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,现用此材料裁出一个面积最大的半圆形模板,则该半圆形模板的半径是 ()

A.2
B.3
C.$\frac{24}{7}$
D.$\frac{7}{2}$

1. C

【分析】
首先利用勾股定理计算出直角三角形另一条直角边BC的长度。要得到面积最大的半圆，需要对比半圆直径落在三条边的不同放置方案：当直径落在直角边时，可求得最大半径为3，小于直径落在斜边的情况，因此最优方案是半圆直径落在斜边AB上，且半圆与两条直角边都相切。此时可以将大三角形面积拆分为两个以半圆半径为高的小三角形面积之和，列方程即可求出半径。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10$，$AC=6$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
当半圆直径落在斜边$AB$上，且半圆与$AC$、$BC$均相切时，半圆面积最大，设此时半径为$r$，圆心为$O$，连接$OC$。
由切线性质可知，点$O$到$AC$、$BC$的距离均等于半径$r$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$，
且$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× AC× r=3r$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× BC× r=4r$，
$\therefore 3r+4r=24$，
解得$r=\frac{24}{7}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，切线的性质，面积法求值
【点评】
本题属于几何最值类常规题型，解题核心是先确定最大半圆的放置位置，再结合几何性质列式求解，解题时要注意对比不同放置方案的结果，避免直接按直径落在直角边计算导致出错。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在四边形材料ABCD中,$∠ABC=∠DCB$,$AD⊥CD$,过点A作$AN⊥BC$于点N,$AB=26\ \mathrm{cm}$,$BC=30\ \mathrm{cm}$,$AN=24\ \mathrm{cm}$,现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径为 ()

A.$10\ \mathrm{cm}$
B.$12\ \mathrm{cm}$
C.$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
D.$13\ \mathrm{cm}$

2. A

【分析】要在四边形中截出面积最大的圆形模板，该圆需完全在四边形内部，优先考虑与AB、BC、CD三边相切的圆（此为能达到的最大边界情况）。首先利用勾股定理计算BN的长度，再结合∠ABC=∠DCB，利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，可知该圆圆心同时在∠B和∠C的角平分线上，且圆心到BC的距离等于圆半径r，联立关系即可求出r，最后验证该圆与AD边无交点，确认r为最大半径。
【解析】
1. 在$Rt△ ABN$中，$AB=26\ \mathrm{cm}$，$AN=24\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BN=\sqrt{AB^2-AN^2}=\sqrt{26^2-24^2}=10\ \mathrm{cm}$。
2. 已知$∠ ABC=∠ DCB$，计算$∠ B$的半角正切值：$\sin∠ B=\frac{AN}{AB}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$，$\cos∠ B=\frac{BN}{AB}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$，可得$\tan\frac{∠ B}{2}=\frac{\sin∠ B}{1+\cos∠ B}=\frac{2}{3}$。
3. 设与AB、BC、CD三边相切的圆半径为r，由于圆与BC相切，故圆心到BC的距离等于r。
圆心在$∠ B$的角平分线上，因此圆心到点B的水平距离为$\frac{r}{\tan\frac{∠ B}{2}}=\frac{3r}{2}$，即圆心横坐标为$-10+\frac{3r}{2}$；
同理，圆心在$∠ C$的角平分线上，到点C的水平距离为$\frac{3r}{2}$，即圆心横坐标为$20-\frac{3r}{2}$。
4. 联立坐标关系得：$-10+\frac{3r}{2}=20-\frac{3r}{2}$，解得$3r=30$，即$r=10\ \mathrm{cm}$。
5. 验证：计算圆心到AD边的距离大于10cm，说明该圆完全在四边形内部，因此10cm为最大半径。
【答案】A
【知识点】勾股定理；角平分线的性质；直线与圆的位置关系
【点评】本题的核心是确定最大圆的边界：与三边相切且不触碰第四边，结合角平分线的性质建立方程求解，最后验证位置关系即可，需要对几何图形的最值边界有清晰的判断。
【难度系数】0.6

3. 学校要举办运动会,九(1)班同学正在准备各种道具,小聪同学现有一块三角形的纸片,要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具,要求截下的圆与三角形的三条边都相切.小聪用A,B,C表示三角形纸片的三个顶点(如图①).请你按要求完成:
(1)尺规作图:在图①中找出圆心点O(要求:保留作图痕迹,标明字母,不写作法);
(2)若纸片三边长分别是$BC=8,AC=6,AB=10,\odot O$与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F(如图②),求小聪截得的圆形道具的面积.

3. (1)如图所示,点O即为所求.

(2)连结OD,OE,OF,在△ABC中,BC=8,AC=6,AB=10.
∵ AB² = BC²+AC²,
∴ △ABC 是直角三角形,且∠C = 90°,
∴ ⊙O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,
∴ OD ⊥ AB,OE ⊥ BC,OF ⊥ AC,BD = BE,AD=AF,CE=CF .
∵ ∠C = ∠CEO = ∠CFO = 90°,OE = OF,
∴ 四边形OFCE 为正方形,
∴ 设 CE = CF = OE = r,
∴ BE = BD = 8-r,AF = AD = 6-r,
∴ 8-r+6-r = 10,解得 r = 2,
∴ S圆 = πr² = 4π,
∴ 小聪截得的圆形道具的面积是4π.

【分析】
(1) 与三角形三边都相切的圆是三角形的内切圆，其圆心是三角形的内心，即三角形内角角平分线的交点，因此只需作出任意两个内角的角平分线，两条线的交点即为所求圆心O。
(2) 首先根据三角形三边长，用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形；再结合内切圆的性质：切线垂直于过切点的半径、切线长相等，推导半径与三边长的关系，列方程求出半径后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作∠A和∠B的角平分线，两条角平分线的交点即为点O，保留作图痕迹即可。
(2) 连结OD,OE,OF，在△ABC中，BC=8,AC=6,AB=10。
∵ $AB^2=10^2=100$，$BC^2+AC^2=8^2+6^2=64+36=100$，
∴ $AB^2=BC^2+AC^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。
∵ $\odot O$是△ABC的内切圆，切点为D,E,F，
∴ $OD⊥ AB$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，且$BD=BE$，$AD=AF$，$CE=CF$。
∵ $∠ C=∠ CEO=∠ CFO=90°$，且$OE=OF$，
∴ 四边形OFCE为正方形。
设$CE=CF=OE=r$，则$BE=BD=8-r$，$AF=AD=6-r$。
∵ $AD+BD=AB=10$，
∴ $(6-r)+(8-r)=10$，解得$r=2$。
∴ 圆形道具的面积$S=π r^2=π×2^2=4π$。
【答案】
(1) ，点O即为所求；
(2) 4π
【知识点】
1. 三角形内心尺规作图
2. 勾股定理逆定理
3. 切线长定理
【点评】
本题结合尺规作图与几何计算，既考查了基础作图能力，又考查了三角形内切圆相关性质的应用，是三角形与圆结合的典型基础题型，要求熟练掌握内心定义、切线长定理等核心知识。
【难度系数】
0.7