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1. 比较大小：$\sqrt[3]{9}$
＞
$\sqrt{3}$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
$(\sqrt[3]{9})^6 = [(\sqrt[3]{9})^3]^2 = 9^2 = 81,(\sqrt{3})^6 = [(\sqrt{3})^2]^3 = 3^3 = 27. \because 81 ＞ 27,\therefore \sqrt[3]{9} ＞ \sqrt{3}.$
解析
【分析】
对于根指数不同的两个正数比较大小，可利用幂的乘方性质，将它们的根指数化为相同（取两个根指数的最小公倍数），再通过比较幂的大小来确定原数的大小，因为正数的正整数次幂具有单调性，幂越大则原数越大。本题中3和2的最小公倍数是6，因此将两个数同时6次方后比较即可。
【解析】
要比较$\sqrt[3]{9}$和$\sqrt{3}$的大小，计算两者的6次方：
$(\sqrt[3]{9})^6 = [(9)^{\frac{1}{3}}]^6 = 9^{\frac{6}{3}} = 9^2 = 81$；
$(\sqrt{3})^6 = [(3)^{\frac{1}{2}}]^6 = 3^{\frac{6}{2}} = 3^3 = 27$；
因为$81＞27$，所以$\sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$。
【答案】
＞
【知识点】
根式大小比较、幂的乘方运算
【点评】
本题是根式大小比较的基础题，核心方法是统一根指数后转化为整数比较，需掌握幂的乘方的运算规则，难度不大，适合巩固根式比较的基本技巧。
【难度系数】
0.7
对于根指数不同的两个正数比较大小，可利用幂的乘方性质，将它们的根指数化为相同（取两个根指数的最小公倍数），再通过比较幂的大小来确定原数的大小，因为正数的正整数次幂具有单调性，幂越大则原数越大。本题中3和2的最小公倍数是6，因此将两个数同时6次方后比较即可。
【解析】
要比较$\sqrt[3]{9}$和$\sqrt{3}$的大小，计算两者的6次方：
$(\sqrt[3]{9})^6 = [(9)^{\frac{1}{3}}]^6 = 9^{\frac{6}{3}} = 9^2 = 81$；
$(\sqrt{3})^6 = [(3)^{\frac{1}{2}}]^6 = 3^{\frac{6}{2}} = 3^3 = 27$；
因为$81＞27$，所以$\sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$。
【答案】
＞
【知识点】
根式大小比较、幂的乘方运算
【点评】
本题是根式大小比较的基础题，核心方法是统一根指数后转化为整数比较，需掌握幂的乘方的运算规则，难度不大，适合巩固根式比较的基本技巧。
【难度系数】
0.7
2. 比较$\frac{5}{8}$与$\frac{\sqrt{6}}{4}$的大小.
答案
解:$(\frac{5}{8})^2 = \frac{25}{64},(\frac{\sqrt{6}}{4})^2 = \frac{6}{16} = \frac{24}{64}$,
$\because \frac{25}{64}＞\frac{24}{64},\frac{5}{8}＞0,\frac{\sqrt{6}}{4}＞0,\therefore \frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{6}}{4}.$
$\because \frac{25}{64}＞\frac{24}{64},\frac{5}{8}＞0,\frac{\sqrt{6}}{4}＞0,\therefore \frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{6}}{4}.$
解析
【分析】要比较两个正数的大小，可利用“正数的平方越大，其本身越大”的性质简化计算：先分别计算两个数的平方，将含根号的数转化为分数形式，再比较平方的大小，最后根据正数的性质推导原数的大小关系。
【解析】解：计算两个数的平方：
$(\frac{5}{8})^2 = \frac{5^2}{8^2} = \frac{25}{64}$，
$(\frac{\sqrt{6}}{4})^2 = \frac{(\sqrt{6})^2}{4^2} = \frac{6}{16} = \frac{24}{64}$，
因为$\frac{25}{64}＞\frac{24}{64}$，且$\frac{5}{8}＞0$，$\frac{\sqrt{6}}{4}＞0$，所以$\frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{6}}{4}$。
【答案】$\frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{6}}{4}$
【知识点】实数大小比较、根式运算
【点评】本题是实数大小比较的基础题型，利用平方法将含根号的数转化为分数，降低了比较难度，是学生需掌握的基础解题技巧。
【难度系数】0.8
【解析】解：计算两个数的平方：
$(\frac{5}{8})^2 = \frac{5^2}{8^2} = \frac{25}{64}$，
$(\frac{\sqrt{6}}{4})^2 = \frac{(\sqrt{6})^2}{4^2} = \frac{6}{16} = \frac{24}{64}$，
因为$\frac{25}{64}＞\frac{24}{64}$，且$\frac{5}{8}＞0$，$\frac{\sqrt{6}}{4}＞0$，所以$\frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{6}}{4}$。
【答案】$\frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{6}}{4}$
【知识点】实数大小比较、根式运算
【点评】本题是实数大小比较的基础题型，利用平方法将含根号的数转化为分数，降低了比较难度，是学生需掌握的基础解题技巧。
【难度系数】0.8
3. 比较 $3\frac{1}{3}$ 与 $\sqrt{11}$ 的大小.
答案
解:$3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\sqrt{11\frac{1}{9}}$,
$\because 11\frac{1}{9}＞11,\therefore \sqrt{11\frac{1}{9}}＞\sqrt{11},即3\frac{1}{3}＞\sqrt{11}.$
$\because 11\frac{1}{9}＞11,\therefore \sqrt{11\frac{1}{9}}＞\sqrt{11},即3\frac{1}{3}＞\sqrt{11}.$
解析
【分析】要比较带分数 $3\frac{1}{3}$ 和无理数 $\sqrt{11}$ 的大小，可利用二次根式的性质，将带分数转化为二次根式形式，再根据“被开方数越大，二次根式的值越大”的规律，把不同形式的数转化为同形式的根式进行比较。
【解析】先将带分数 $3\frac{1}{3}$ 化为假分数：$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$；再将其转化为二次根式形式：$\frac{10}{3} = \sqrt{(\frac{10}{3})^2} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \sqrt{11\frac{1}{9}}$；因为二次根式的被开方数越大，根式的值越大，且 $11\frac{1}{9} ＞ 11$，所以 $\sqrt{11\frac{1}{9}} ＞ \sqrt{11}$，即 $3\frac{1}{3} ＞ \sqrt{11}$。
【答案】$3\frac{1}{3} ＞ \sqrt{11}$
【知识点】实数大小比较；二次根式的性质
【点评】本题运用转化思想，将带分数转化为二次根式，利用二次根式的单调性比较大小，是实数大小比较的常用方法，体现了数的形式转化的解题技巧。
【难度系数】0.6
【解析】先将带分数 $3\frac{1}{3}$ 化为假分数：$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$；再将其转化为二次根式形式：$\frac{10}{3} = \sqrt{(\frac{10}{3})^2} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \sqrt{11\frac{1}{9}}$；因为二次根式的被开方数越大，根式的值越大，且 $11\frac{1}{9} ＞ 11$，所以 $\sqrt{11\frac{1}{9}} ＞ \sqrt{11}$，即 $3\frac{1}{3} ＞ \sqrt{11}$。
【答案】$3\frac{1}{3} ＞ \sqrt{11}$
【知识点】实数大小比较；二次根式的性质
【点评】本题运用转化思想，将带分数转化为二次根式，利用二次根式的单调性比较大小，是实数大小比较的常用方法，体现了数的形式转化的解题技巧。
【难度系数】0.6
4. 通过估算，比较两个数的大小.
(1)$\sqrt{2}$和$\frac{3}{2}$； (2)$\frac{\sqrt{11} - 3}{7}$和$\frac{1}{7}$.
(1)$\sqrt{2}$和$\frac{3}{2}$； (2)$\frac{\sqrt{11} - 3}{7}$和$\frac{1}{7}$.
答案
解: (1)$\because \sqrt{2}\approx1.414,\frac{3}{2}=1.5,1.414＜1.5,\therefore \sqrt{2}＜\frac{3}{2}.$
(2)$\because \sqrt{11}＜4,\therefore \sqrt{11}-3＜1,\therefore \frac{\sqrt{11}-3}{7}＜\frac{1}{7}.$
(2)$\because \sqrt{11}＜4,\therefore \sqrt{11}-3＜1,\therefore \frac{\sqrt{11}-3}{7}＜\frac{1}{7}.$
解析
【分析】
要比较两个正数的大小，可通过计算平方（或估算无理数近似值）判断，正数的大小关系与平方的大小关系一致；分母相同的分数，分子小的分数值更小。第(1)问计算两数平方比较；第(2)问比较分子大小，通过估算√11的范围判断分子关系。
【解析】
(1) 因为√2和$\frac{3}{2}$都是正数，正数比较大小时，平方大的数更大。计算得：$(\sqrt{2})^2 = 2$，$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$，由于$2 ＜ 2.25$，所以$\sqrt{2} ＜ \frac{3}{2}$。
(2) 两个分数分母均为7，只需比较分子大小。因为$11 ＜ 16$，所以$\sqrt{11} ＜ \sqrt{16} = 4$，因此$\sqrt{11} - 3 ＜ 4 - 3 = 1$，故$\frac{\sqrt{11} - 3}{7} ＜ \frac{1}{7}$。
【答案】
解: (1)$\because \sqrt{2}\approx1.414,\frac{3}{2}=1.5,1.414＜1.5,\therefore \sqrt{2}＜\frac{3}{2}.$
(2)$\because \sqrt{11}＜4,\therefore \sqrt{11}-3＜1,\therefore \frac{\sqrt{11}-3}{7}＜\frac{1}{7}.$
【知识点】
实数的大小比较；无理数的估算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题，考查无理数估算和正数比较大小的方法，解题思路清晰，步骤简单，用于巩固实数基础知识。
【难度系数】
0.7
要比较两个正数的大小，可通过计算平方（或估算无理数近似值）判断，正数的大小关系与平方的大小关系一致；分母相同的分数，分子小的分数值更小。第(1)问计算两数平方比较；第(2)问比较分子大小，通过估算√11的范围判断分子关系。
【解析】
(1) 因为√2和$\frac{3}{2}$都是正数，正数比较大小时，平方大的数更大。计算得：$(\sqrt{2})^2 = 2$，$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$，由于$2 ＜ 2.25$，所以$\sqrt{2} ＜ \frac{3}{2}$。
(2) 两个分数分母均为7，只需比较分子大小。因为$11 ＜ 16$，所以$\sqrt{11} ＜ \sqrt{16} = 4$，因此$\sqrt{11} - 3 ＜ 4 - 3 = 1$，故$\frac{\sqrt{11} - 3}{7} ＜ \frac{1}{7}$。
【答案】
解: (1)$\because \sqrt{2}\approx1.414,\frac{3}{2}=1.5,1.414＜1.5,\therefore \sqrt{2}＜\frac{3}{2}.$
(2)$\because \sqrt{11}＜4,\therefore \sqrt{11}-3＜1,\therefore \frac{\sqrt{11}-3}{7}＜\frac{1}{7}.$
【知识点】
实数的大小比较；无理数的估算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题，考查无理数估算和正数比较大小的方法，解题思路清晰，步骤简单，用于巩固实数基础知识。
【难度系数】
0.7
5. ▶一题多解 比较$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$和$\frac{5}{8}$的大小.
答案
解:✅通解 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{5}{8}=\frac{4\sqrt{5}-4-5}{8}=\frac{4\sqrt{5}-9}{8}$,
因为$4\sqrt{5}＜9$,所以$\frac{4\sqrt{5}-9}{8}＜0$,所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜\frac{5}{8}$.
✅另解 因为$\sqrt{5}\approx2.236$,所以$\sqrt{5}-1\approx1.236$,所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{1.236}{2}$. 又因为$\frac{5}{8}=\frac{1.25}{2}$,所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜\frac{5}{8}.$
因为$4\sqrt{5}＜9$,所以$\frac{4\sqrt{5}-9}{8}＜0$,所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜\frac{5}{8}$.
✅另解 因为$\sqrt{5}\approx2.236$,所以$\sqrt{5}-1\approx1.236$,所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{1.236}{2}$. 又因为$\frac{5}{8}=\frac{1.25}{2}$,所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜\frac{5}{8}.$
解析
【分析】
比较两个实数的大小，常用作差法、近似值法等。本题可通过作差法计算两数的差，根据差的正负判断大小；也可将无理数近似为小数，转化为小数比较大小，两种方法均可得出结论。
【解析】
通解（作差法）：计算两数的差，$\frac{\sqrt{5}-1}{2} - \frac{5}{8} = \frac{4(\sqrt{5}-1) - 5}{8} = \frac{4\sqrt{5} - 9}{8}$。因为$4\sqrt{5} = \sqrt{16×5} = \sqrt{80}$，$9 = \sqrt{81}$，所以$\sqrt{80} ＜ \sqrt{81}$，即$4\sqrt{5} ＜ 9$，因此$\frac{4\sqrt{5}-9}{8} ＜ 0$，故$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{5}{8}$。
另解（近似值法）：取$\sqrt{5}≈2.236$，则$\sqrt{5}-1≈1.236$，所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈\frac{1.236}{2}=0.618$；而$\frac{5}{8}=0.625$，因为$0.618 ＜ 0.625$，所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{5}{8}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{5}{8}$
【知识点】
实数大小比较、二次根式运算
【点评】
本题采用一题多解形式，既可以通过作差法严谨推导，也可以通过近似值法直观比较，有助于拓展解题思路，巩固实数大小比较的常用方法。
【难度系数】
0.6
比较两个实数的大小，常用作差法、近似值法等。本题可通过作差法计算两数的差，根据差的正负判断大小；也可将无理数近似为小数，转化为小数比较大小，两种方法均可得出结论。
【解析】
通解（作差法）：计算两数的差，$\frac{\sqrt{5}-1}{2} - \frac{5}{8} = \frac{4(\sqrt{5}-1) - 5}{8} = \frac{4\sqrt{5} - 9}{8}$。因为$4\sqrt{5} = \sqrt{16×5} = \sqrt{80}$，$9 = \sqrt{81}$，所以$\sqrt{80} ＜ \sqrt{81}$，即$4\sqrt{5} ＜ 9$，因此$\frac{4\sqrt{5}-9}{8} ＜ 0$，故$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{5}{8}$。
另解（近似值法）：取$\sqrt{5}≈2.236$，则$\sqrt{5}-1≈1.236$，所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈\frac{1.236}{2}=0.618$；而$\frac{5}{8}=0.625$，因为$0.618 ＜ 0.625$，所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{5}{8}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{5}{8}$
【知识点】
实数大小比较、二次根式运算
【点评】
本题采用一题多解形式，既可以通过作差法严谨推导，也可以通过近似值法直观比较，有助于拓展解题思路，巩固实数大小比较的常用方法。
【难度系数】
0.6
6. 比较$\frac{3×\sqrt{3}}{4}$和$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2}$的大小. ($\sqrt{2}\approx1.4$)
答案
解:$\because \frac{3×\sqrt{3}}{4} ÷ \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2×\sqrt{2}} \approx \frac{3}{2.8} ＞1,\therefore \frac{3×\sqrt{3}}{4} ＞ \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2}.$
解析
【分析】要比较两个正数的大小，作商法是常用方法：若a、b均为正数，当a÷b＞1时，a＞b；当a÷b＜1时，a＜b；当a÷b=1时，a=b。本题中两个式子都是正数，所以选择作商法，先计算它们的商，化简后代入√2的近似值计算，再与1比较，即可得出大小关系。
【解析】解：因为$\frac{3×\sqrt{3}}{4}$和$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2}$都是正数，所以用作商法比较：
$\frac{3×\sqrt{3}}{4} ÷ \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2} = \frac{3×\sqrt{3}}{4} × \frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}} = \frac{3}{2×\sqrt{2}}$
代入$\sqrt{2}≈1.4$，得$\frac{3}{2×1.4} = \frac{3}{2.8} ≈1.07＞1$
因为两个正数相除的商大于1，所以$\frac{3×\sqrt{3}}{4} ＞ \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2}$。
【答案】$\frac{3×\sqrt{3}}{4} ＞ \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2}$
【知识点】二次根式的运算、实数大小比较
【点评】本题通过作商法比较两个二次根式的大小，关键在于正确化简二次根式的商，再结合近似值计算判断商与1的大小，是初中实数大小比较的基础题型，考查学生对二次根式运算和比较大小方法的掌握。
【难度系数】0.7
【解析】解：因为$\frac{3×\sqrt{3}}{4}$和$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2}$都是正数，所以用作商法比较：
$\frac{3×\sqrt{3}}{4} ÷ \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2} = \frac{3×\sqrt{3}}{4} × \frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}} = \frac{3}{2×\sqrt{2}}$
代入$\sqrt{2}≈1.4$，得$\frac{3}{2×1.4} = \frac{3}{2.8} ≈1.07＞1$
因为两个正数相除的商大于1，所以$\frac{3×\sqrt{3}}{4} ＞ \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2}$。
【答案】$\frac{3×\sqrt{3}}{4} ＞ \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2}$
【知识点】二次根式的运算、实数大小比较
【点评】本题通过作商法比较两个二次根式的大小，关键在于正确化简二次根式的商，再结合近似值计算判断商与1的大小，是初中实数大小比较的基础题型，考查学生对二次根式运算和比较大小方法的掌握。
【难度系数】0.7
7. 比较$\sqrt[3]{21} + 1$与$\sqrt{26} - 1$的大小.
答案
解:$\because \sqrt[3]{21}+1 ＜ \sqrt[3]{27}+1 = 3+1 =4$,
$\sqrt{26}-1 ＞ \sqrt{25}-1 =5-1=4$,
$\therefore \sqrt[3]{21}+1 ＜ \sqrt{26}-1.$
$\sqrt{26}-1 ＞ \sqrt{25}-1 =5-1=4$,
$\therefore \sqrt[3]{21}+1 ＜ \sqrt{26}-1.$
解析
【分析】要比较$\sqrt[3]{21} + 1$与$\sqrt{26} - 1$的大小，可采用放缩法，通过估算两个无理数的范围，找到它们与整数4的关系来间接比较。先分别对两个数进行放缩：对于$\sqrt[3]{21} +1$，利用立方根的性质，因为21＜27，所以$\sqrt[3]{21}＜\sqrt[3]{27}=3$，进而得到$\sqrt[3]{21}+1＜4$；对于$\sqrt{26}-1$，利用平方根的性质，因为26＞25，所以$\sqrt{26}＞\sqrt{25}=5$，进而得到$\sqrt{26}-1＞4$，由此可判断两个数的大小。
【解析】解:$\because \sqrt[3]{21} ＜ \sqrt[3]{27} = 3$,
$\therefore \sqrt[3]{21} +1 ＜ 3 +1 =4$;
又$\because \sqrt{26} ＞ \sqrt{25} =5$,
$\therefore \sqrt{26} -1 ＞5 -1 =4$;
$\therefore \sqrt[3]{21} +1 ＜ \sqrt{26} -1$.
【答案】$\sqrt[3]{21} +1 ＜ \sqrt{26} -1$
【知识点】实数大小比较；无理数的估值
【点评】本题采用放缩法比较两个无理数的大小，通过选取合适的整数对无理数进行放缩，将复杂的无理数比较转化为简单的整数比较，方法简洁巧妙，是实数大小比较的常用技巧。
【难度系数】0.5
【解析】解:$\because \sqrt[3]{21} ＜ \sqrt[3]{27} = 3$,
$\therefore \sqrt[3]{21} +1 ＜ 3 +1 =4$;
又$\because \sqrt{26} ＞ \sqrt{25} =5$,
$\therefore \sqrt{26} -1 ＞5 -1 =4$;
$\therefore \sqrt[3]{21} +1 ＜ \sqrt{26} -1$.
【答案】$\sqrt[3]{21} +1 ＜ \sqrt{26} -1$
【知识点】实数大小比较；无理数的估值
【点评】本题采用放缩法比较两个无理数的大小，通过选取合适的整数对无理数进行放缩，将复杂的无理数比较转化为简单的整数比较，方法简洁巧妙，是实数大小比较的常用技巧。
【难度系数】0.5
