8 [2025宿迁段考]一次函数$y=ax+b$和$y=bx+a$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

8. B

【分析】
要判断两个一次函数的图象是否匹配，需结合一次函数$y=kx+c$（$k≠0$）的图象性质：$k$的符号决定直线的倾斜方向（$k＞0$时直线过一、三象限，$k＜0$时直线过二、四象限），$c$的符号决定直线与$y$轴的交点位置（$c＞0$时交点在$y$轴正半轴，$c＜0$时交点在$y$轴负半轴）。我们可以对每个选项，先根据其中一条直线的图象推导$a$、$b$的符号，再验证另一条直线的图象是否符合推导出来的$a$、$b$符号，无矛盾的即为正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：观察其中斜率为正、与$y$轴交于正半轴的直线，若该直线为$y=ax+b$，则$a＞0$，$b＞0$。此时另一个函数$y=bx+a$的系数$b＞0$，斜率应为正（直线过一、三象限），但选项中另一条直线斜率为负，矛盾，故A错误。
2. 选项B：观察斜率为负、与$y$轴交于正半轴的直线，若该直线为$y=ax+b$，则$a＜0$，$b＞0$。此时另一个函数$y=bx+a$的系数$b＞0$，斜率应为正；系数$a＜0$，与$y$轴交点应在负半轴，恰好符合选项中另一条斜率为正、交$y$轴负半轴的直线特征，无矛盾，故B正确。
3. 选项C：观察斜率为正、与$y$轴交于正半轴的直线，若该直线为$y=ax+b$，则$a＞0$，$b＞0$，此时另一个函数$y=bx+a$的斜率也应为正，但选项中另一条直线斜率为负，矛盾，故C错误。
4. 选项D：两条直线斜率均为负，说明$a＜0$且$b＜0$，那么两个函数的截距$b$、$a$均小于0，即两条直线都应与$y$轴交于负半轴，但选项中有一条直线交$y$轴正半轴，矛盾，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数系数与图象的关系
【点评】
本题是一次函数图象的典型题型，解题核心是掌握一次函数中斜率、截距对应的系数符号规律，通过排除法或分类讨论即可快速得到答案，有助于强化对一次函数图象特征的理解。
【难度系数】
0.7

9 已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3),(-1,2)$,则$k^2 - b^2$的值为.

9. -6

【分析】
解题思路：首先，一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此可以将题中给出的两个点分别代入$y=kx+b$，得到关于$k$、$b$的两个等式。观察所求的代数式$k^2 - b^2$，既可以利用平方差公式因式分解为$(k+b)(k-b)$，从得到的等式中直接提取对应的值整体代入计算，简化步骤；也可以先解二元一次方程组求出$k$、$b$的具体值，再代入代数式计算，两种方法均符合学段要求。
【解析】
解法一（整体代入法）：
将点$(1, 3)$代入$y=kx+b$，得：$k + b = 3$ ①
将点$(-1, 2)$代入$y=kx+b$，得：$-k + b = 2$，变形可得$k - b = -2$ ②
根据平方差公式，$k^2 - b^2 = (k + b)(k - b)$
将①②的结果代入得：$k^2 - b^2 = 3 × (-2) = -6$
解法二（求解参数法）：
将点$(1, 3)$代入$y=kx+b$，得：$k + b = 3$ ①
将点$(-1, 2)$代入$y=kx+b$，得：$-k + b = 2$ ②
①+②得：$2b = 5$，解得$b = \frac{5}{2}$
把$b = \frac{5}{2}$代入①得：$k + \frac{5}{2} = 3$，解得$k = \frac{1}{2}$
将$k = \frac{1}{2}$、$b = \frac{5}{2}$代入$k^2 - b^2$得：
$k^2 - b^2 = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{25}{4} = -6$
【答案】
-6
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 平方差公式
3. 代数式求值
【点评】
本题是一次函数与代数式计算结合的基础题，两种解题思路都考查学生对基础知识点的运用能力，其中整体代入法可以减少计算量，避免分数计算出错，建议学生优先掌握这种简便方法。
【难度系数】
0.75

10 [2024广安]如图，直线$y=2x+2$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A$，$B$，将$△ AOB$绕点$A$按逆时针方向旋转$90°$得到$△ ACD$，则点$D$的坐标为。

10. (-3,1)

【分析】
解题第一步先求直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标：一次函数与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，代入解析式即可求出A、B坐标，得到OA、OB的长度。第二步结合旋转的性质分析：旋转前后三角形全等，对应边相等、对应角相等，可知△AOB≌△ACD，得到AC=OA，CD=OB，∠ACD=∠AOB=90°，由此判断AC垂直于x轴，CD平行于x轴，最后结合A点坐标推导D点坐标即可。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
对于直线$y=2x+2$，
令$y=0$，则$2x+2=0$，解得$x=-1$，
∴点A的坐标为$(-1,0)$，$OA=1$；
令$x=0$，则$y=2$，
∴点B的坐标为$(0,2)$，$OB=2$。
2. 利用旋转性质推导坐标：
∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，
∴△AOB≌△ACD，$∠ OAC=90°$，
∴$AC=OA=1$，$CD=OB=2$，$∠ ACD=∠ AOB=90°$。
∵$∠ OAC=90°$，OA在x轴上，
∴AC垂直于x轴，即AC为竖直线段，
∴点C的横坐标与A相同，纵坐标为$0+1=1$，即$C(-1,1)$。
又
∵$∠ ACD=90°$，AC竖直，
∴CD为水平线段，且旋转方向为逆时针，CD向左延伸，
∴点D的纵坐标与C相同，横坐标为$-1-2=-3$，即$D(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，旋转的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查了一次函数图象的性质、图形旋转的性质以及平面直角坐标系中点的坐标推导，解题的关键是先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用旋转前后对应边相等、对应角为直角的特点，逐步推导所求点的坐标。
【难度系数】
0.6

11 已知第一象限内的点$P$在直线$y=-x+5$上，点$A$的坐标为$(4,0)$，设$△ AOP$的面积为$S$。
（1）当点$P$的横坐标为2时，求$△ AOP$的面积；
（2）当$S=4$时，求点$P$的坐标；
（3）求$S$关于$x$的函数表达式，写出$x$的取值范围，并画出函数图象。

11. (1) 把$x=2$代入$y=-x+5$,得$y=-2+5=3$,
∴ 点$P$的坐标为$(2,3)$.
∵ 点$A$的坐标为$(4,0)$,
∴ $OA=4$,
∴ $S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA · y_P=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$
(2) 当$S=4$时,$\frac{1}{2}OA · |y_P|=4$.
∵ 点$P$在第一象限内,$A(4,0)$,
∴ $OA=4$,$y_P＞0$,
∴ $y_P=2$.在$y=-x+5$中,令$y=2$,得$x=3$,
∴ 点$P$的坐标为$(3,2)$
(3) 设$P(x,-x+5)$.根据题意,得 $S=\frac{1}{2}OA · |y_P|=\frac{1}{2} × 4 · y_P=2(-x+5)=-2x+10$.
∵ 点$P$在第一象限,
∴ $\begin{cases}x＞0,\\-x+5＞0,\end{cases}$ 解得$0＜x＜5$,
∴ $S$关于$x$的函数表达式为$S=-2x+10(0＜x＜5)$,函数图象见

【分析】
本题结合一次函数与三角形面积考查一次函数的应用，解题思路如下：
(1) 求△AOP的面积需先确定点P坐标：已知P在直线$y=-x+5$上，代入横坐标$x=2$即可求出纵坐标；△AOP的底为OA，即点A到原点的距离，高为点P的纵坐标（OA在x轴上，点P的纵坐标就是P到x轴的距离，即对应高），代入三角形面积公式计算即可。
(2) 已知面积反求P的坐标：先根据面积公式推导点P的纵坐标，结合P在第一象限的条件，确定纵坐标为正，再将纵坐标代入一次函数解析式求出横坐标，即可得到P的坐标。
(3) 求S关于x的函数表达式：将P点纵坐标用含x的式子$-x+5$代入面积公式，化简得到函数式；再根据P在第一象限横纵坐标均大于0的条件，解不等式组得到x的取值范围；画图象时注意x的取值范围是$0＜x＜5$，因此图象是连接$(0,10)$和$(5,0)$的线段，两端点为空心。
【解析】
(1) 把$x=2$代入$y=-x+5$，得$y=-2+5=3$，
∴ 点$P$的坐标为$(2,3)$。
∵ 点$A$的坐标为$(4,0)$，
∴ $OA=4$，
∴ $S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA · y_P=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$。
(2) 当$S=4$时，$\frac{1}{2}OA · |y_P|=4$。
∵ 点$P$在第一象限内，$A(4,0)$，
∴ $OA=4$，$y_P＞0$，
∴ $\frac{1}{2}×4×y_P=4$，解得$y_P=2$。
在$y=-x+5$中，令$y=2$，得$2=-x+5$，解得$x=3$，
∴ 点$P$的坐标为$(3,2)$。
(3) 设点$P$的横坐标为$x$，则纵坐标为$-x+5$，
根据三角形面积公式，得 $S=\frac{1}{2}OA · |y_P|=\frac{1}{2} × 4 · (-x+5)=-2x+10$。
∵ 点$P$在第一象限，
∴ $\begin{cases}x＞0,\\-x+5＞0,\end{cases}$ 解得$0＜x＜5$，
∴ $S$关于$x$的函数表达式为$S=-2x+10(0＜x＜5)$，函数图象见。
【答案】
(1) $6$
(2) $(3,2)$
(3) $S=-2x+10(0＜x＜5)$，函数图象见
【知识点】
一次函数的性质，三角形面积计算，自变量取值范围
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心是结合一次函数上点的坐标特征与三角形面积公式求解，解题时要注意点所在象限对坐标符号的限制，避免忽略自变量取值范围出现错误。
【难度系数】
0.7

12 如图①，点 A 的坐标是$(0,1)$，B 是 x 轴正半轴上的一个动点，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABC，使点 C 在第一象限内，$∠ BAC=90°$.设点 B 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标为 y.
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式及自变量 x 的取值范围；
（2）在图②中画出（1）中函数的图象.
（第12题）

12. (1) 如图①,过点 C 作$CH⊥y$轴,垂足为 H,则$∠AHC=90°$.
∵ 点 C 的纵坐标为 y,
∴ $OH=y$.
∵ 点 A 的坐标是$(0,1)$,
∴ $OA=1$.
∵ $△ABC$是以 AB 为边的等腰直角三角形,
∴ $AC=BA$.
∵ $∠BAC=90°$,
∴ $∠HAC + ∠OAB = 90°$.
∵ $∠BOA = 90°$,
∴ $∠OBA+∠OAB = 90°$,
∴ $∠HAC = ∠OBA$. 在$△HAC$ 和 $△OBA$ 中，$\begin{cases}∠AHC=∠BOA,\\∠HAC=∠OBA,\\AC=BA,\end{cases}$
∴ $△HAC≌△OBA$(AAS),
∴ $AH=BO$.
∵ 点 B 的横坐标为 x,
∴ $AH=BO=x$,
∴ $OH=OA+AH=1+x$,
∴ $y=x+1$.
∵ B 是 x 轴正半轴上的一个动点，
∴ 自变量 x 的取值范围是$x＞0$
(2) 如图②所示 【解析】不妨取点$(0,1),(1,2)$画图.画图时,注意自变量的取值范围。图象见

【分析】
（1）要求y与x的函数关系，已知△BAC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，可通过构造垂直辅助线得到全等三角形转化线段关系：过点C作CH垂直y轴于H，可得△AHC和△BOA均为直角三角形，利用同角的余角相等得到一组角相等，结合AC=BA，可证明两三角形全等，得到对应边AH=BO=x，再结合点A坐标即可推出y与x的关系；根据B在x轴正半轴即可得x的取值范围。
（2）画一次函数图象时，先确定两个点的坐标，结合x＞0的取值范围，x=0处为空心点，再取x=1对应的点，连接两点并延长即可得到符合要求的图象。
【解析】
(1) 过点C作$CH⊥y$轴，垂足为H，则$∠AHC=90°$。
∵ 点C的纵坐标为y，
∴ $OH=y$。
∵ 点A的坐标是$(0,1)$，
∴ $OA=1$。
∵ $△ABC$为等腰直角三角形，$∠BAC=90°$，
∴ $AC=BA$。
∵ $∠BAC=90°$，
∴ $∠HAC + ∠OAB = 90°$。
又
∵ $∠BOA = 90°$，
∴ $∠OBA+∠OAB = 90°$，
∴ $∠HAC = ∠OBA$。
在$△HAC$ 和 $△OBA$ 中：
$\begin{cases}∠AHC=∠BOA=90°\\∠HAC=∠OBA\\AC=BA\end{cases}$
∴ $△HAC≌△OBA$（AAS），
∴ $AH=BO$。
∵ 点B的横坐标为x，且B在x轴正半轴，
∴ $BO=x$，即$AH=x$，
∴ $OH=OA+AH=1+x$，即$y=x+1$。
自变量x的取值范围：$x＞0$。
(2) 绘制函数$y=x+1(x＞0)$的图象时，取点$(0,1)$（空心，x＞0取不到该点）、$(1,2)$，过两点作向右上方延伸的射线即可。
【答案】
(1) $y=x+1$，自变量x的取值范围是$x＞0$；
(2)
【知识点】
全等三角形的判定与性质；一次函数解析式；一次函数图象绘制
【点评】
本题将几何全等变换与一次函数知识结合，考查了辅助线构造、全等证明及函数图象绘制的能力，解题时需注意自变量的取值范围，绘制图象时要准确标注空心点与实心点，避免出现不符合取值范围的部分。
【难度系数】
0.7