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10. 观察下图，回答问题：
(1)设图形的周长为$L$,梯形的个数为$n$,试写出$L$与$n$的函数关系式:
(2)当$n=11$时,图形的周长是
(1)设图形的周长为$L$,梯形的个数为$n$,试写出$L$与$n$的函数关系式:
$L=3n+2$
;(2)当$n=11$时,图形的周长是
35
.答案
(1)$L=3n+2$ (2)35
解析
【分析】
解决本题我们可以通过列举法找规律推导函数关系，再代入求值：第一步先计算少量梯形个数对应的周长，观察周长随梯形个数增加的变化规律；第二步根据规律推导L与n的通用函数关系式；第三步将n=11代入关系式计算对应周长即可。
【解析】
(1) 计算不同梯形个数对应的周长：
当$n=1$时，单个梯形周长$L=1+1+1+2=5$；
当$n=2$时，两个梯形拼接后重合1条长度为1的边，周长较$n=1$时增加3，$L=5+3=8$；
当$n=3$时，三个梯形拼接后周长较$n=2$时再增加3，$L=8+3=11$；
以此类推，每增加1个梯形，周长增加3，因此可得：
$L=5+3(n-1)=3n+2$。
(2) 把$n=11$代入$L=3n+2$：
$L=3×11+2=35$。
【答案】
(1)$L=3n+2$ (2)$35$
【知识点】
规律探究、一次函数关系式、代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是找到梯形个数每增加1时周长的增量，结合初始周长推导通用公式，侧重考查学生的观察归纳能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题我们可以通过列举法找规律推导函数关系，再代入求值：第一步先计算少量梯形个数对应的周长，观察周长随梯形个数增加的变化规律；第二步根据规律推导L与n的通用函数关系式；第三步将n=11代入关系式计算对应周长即可。
【解析】
(1) 计算不同梯形个数对应的周长：
当$n=1$时，单个梯形周长$L=1+1+1+2=5$；
当$n=2$时，两个梯形拼接后重合1条长度为1的边，周长较$n=1$时增加3，$L=5+3=8$；
当$n=3$时，三个梯形拼接后周长较$n=2$时再增加3，$L=8+3=11$；
以此类推，每增加1个梯形，周长增加3，因此可得：
$L=5+3(n-1)=3n+2$。
(2) 把$n=11$代入$L=3n+2$：
$L=3×11+2=35$。
【答案】
(1)$L=3n+2$ (2)$35$
【知识点】
规律探究、一次函数关系式、代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是找到梯形个数每增加1时周长的增量，结合初始周长推导通用公式，侧重考查学生的观察归纳能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
11. 新题型 2026·宁德期中 动点探究题 如图①，长方形ABCD的一边BC向右匀速平行移动，移动一段时间之后停留了2 s，又向左匀速平行移动，直至与AD边重合，图②反映了它的边AB的长度$l$(单位:cm)随时间$t$(单位:s)的变化情况，图③反映了移动过程中长方形ABCD的面积$S$(单位:$\mathrm{cm}^2$)随时间$t$(单位:s)的变化情况. 请根据图象回答下列问题:
(1)初始时，边AB的长度是
(2)在变化过程中，长方形ABCD面积的最大值为
(3)求边BC向左平移时，长方形ABCD的面积$S$(单位:$\mathrm{cm}^2$)与时间$t$(单位:s)之间的关系式.
(1)初始时，边AB的长度是
2
cm，边AD的长度是3
cm；(2)在变化过程中，长方形ABCD面积的最大值为
36
$\mathrm{cm}^2$；(3)求边BC向左平移时，长方形ABCD的面积$S$(单位:$\mathrm{cm}^2$)与时间$t$(单位:s)之间的关系式.
答案
【解】(1)2；3 (2)36
(3)由题意可知$BC$向左匀速平行移动的速度为$\frac{12}{9-6}=4$（cm/s），此时$AB=12-4(t-6)=(36-4t)$ cm，
所以$S=3(36-4t)=(-12t+108)\mathrm{cm}^2$，
所以长方形$ABCD$的面积$S$与$t$之间的关系式为$S=-12t+108$。
(3)由题意可知$BC$向左匀速平行移动的速度为$\frac{12}{9-6}=4$（cm/s），此时$AB=12-4(t-6)=(36-4t)$ cm，
所以$S=3(36-4t)=(-12t+108)\mathrm{cm}^2$，
所以长方形$ABCD$的面积$S$与$t$之间的关系式为$S=-12t+108$。
解析
【分析】
解决本题需结合动点运动过程对应函数图象的不同阶段分析：
1. 第(1)问：初始状态对应t=0时刻，直接读取图②t=0时的纵坐标得初始AB长度；再结合图③t=0时的面积，利用长方形面积公式即可求出固定边长AD的长度。
2. 第(2)问：长方形面积=AB×AD，AD为定值，因此AB最长时面积最大，读取图②中AB的最大值代入公式即可得最大面积。
3. 第(3)问：先确定BC向左平移的时间区间，结合该阶段AB的长度变化求出平移速度，再写出t时刻AB的长度表达式，代入面积公式即可得到S与t的函数关系式。
【解析】
(1) 观察图②，t=0时l=2cm，即初始时AB的长度为2cm；
观察图③，t=0时S=6cm²，根据长方形面积公式$S=AB× AD$，可得$AD=\frac{S}{AB}=\frac{6}{2}=3\mathrm{cm}$。
(2) 由图②可知AB的最大长度为12cm，AD固定为3cm，因此最大面积$S_{\mathrm{max}}=12×3=36\mathrm{cm}^2$。
(3) 由图②可知，BC向左平移的时间段为$6\mathrm{s}≤ t≤9\mathrm{s}$，总时长为$9-6=3\mathrm{s}$，此阶段AB从12cm匀速减少到0，因此平移速度为$\frac{12}{3}=4\mathrm{cm/s}$。
当$6≤ t≤9$时，AB的长度为$12-4(t-6)=(36-4t)\mathrm{cm}$，代入面积公式得：
$S=3×(36-4t)=-12t+108$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{3}$
(2) $\boxed{36}$
(3) $\boxed{S=-12t+108\quad(6≤ t≤9)}$
【知识点】
函数图象识别，一次函数应用，长方形面积计算
【点评】
本题是典型的动点与函数结合的题型，需要将图象的拐点对应实际运动的不同阶段，把图象信息转化为几何量的数值，考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题需结合动点运动过程对应函数图象的不同阶段分析：
1. 第(1)问：初始状态对应t=0时刻，直接读取图②t=0时的纵坐标得初始AB长度；再结合图③t=0时的面积，利用长方形面积公式即可求出固定边长AD的长度。
2. 第(2)问：长方形面积=AB×AD，AD为定值，因此AB最长时面积最大，读取图②中AB的最大值代入公式即可得最大面积。
3. 第(3)问：先确定BC向左平移的时间区间，结合该阶段AB的长度变化求出平移速度，再写出t时刻AB的长度表达式，代入面积公式即可得到S与t的函数关系式。
【解析】
(1) 观察图②，t=0时l=2cm，即初始时AB的长度为2cm；
观察图③，t=0时S=6cm²，根据长方形面积公式$S=AB× AD$，可得$AD=\frac{S}{AB}=\frac{6}{2}=3\mathrm{cm}$。
(2) 由图②可知AB的最大长度为12cm，AD固定为3cm，因此最大面积$S_{\mathrm{max}}=12×3=36\mathrm{cm}^2$。
(3) 由图②可知，BC向左平移的时间段为$6\mathrm{s}≤ t≤9\mathrm{s}$，总时长为$9-6=3\mathrm{s}$，此阶段AB从12cm匀速减少到0，因此平移速度为$\frac{12}{3}=4\mathrm{cm/s}$。
当$6≤ t≤9$时，AB的长度为$12-4(t-6)=(36-4t)\mathrm{cm}$，代入面积公式得：
$S=3×(36-4t)=-12t+108$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{3}$
(2) $\boxed{36}$
(3) $\boxed{S=-12t+108\quad(6≤ t≤9)}$
【知识点】
函数图象识别，一次函数应用，长方形面积计算
【点评】
本题是典型的动点与函数结合的题型，需要将图象的拐点对应实际运动的不同阶段，把图象信息转化为几何量的数值，考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
12. 小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中,小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯,并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如图.当1号杯和2号杯中都有V mL水时,小云分别记录了1号杯的水面高度$h_1$(单位:cm)和2号杯的水面高度$h_2$(单位:cm),部分数据如下表:
(1)补全表格(结果保留小数点后一位).
(2)通过分析数据,发现可以用函数刻画$h_1$与$V$,$h_2$与$V$之间的关系.在给出的平面直角坐标系中,画出这两个函数的图象.
(3)根据以上数据与函数图象,解决下列问题:
①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时,2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为
②在①的条件下,将2号杯中的一部分水倒入1号杯中,当两个水杯的水面高度相同时,其水面高度约为
(1)补全表格(结果保留小数点后一位).
(2)通过分析数据,发现可以用函数刻画$h_1$与$V$,$h_2$与$V$之间的关系.在给出的平面直角坐标系中,画出这两个函数的图象.
(3)根据以上数据与函数图象,解决下列问题:
①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时,2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为
1.2
cm(结果保留小数点后一位);②在①的条件下,将2号杯中的一部分水倒入1号杯中,当两个水杯的水面高度相同时,其水面高度约为
8.6
cm(结果保留小数点后一位).答案
【解】(1)1.0
(2)函数图象如图所示.
(3)①1.2 ②8.6
解析
【分析】
1. 第(1)问：1号杯是圆柱形，水的体积与水面高度满足圆柱体积公式$V=S_1h_1$（$S_1$为1号杯底面积，是定值），因此$h_1$与$V$成正比例关系，结合已知数据求出比例系数后代入对应数值即可补全表格。
2. 第(2)问：根据表格给出的$V$与$h_1$、$h_2$的对应数据，在坐标系中依次描点，再按数据趋势连线（$h_1$是正比例函数，图象为直线；$h_2$图象为平滑曲线）即可得到两个函数的图象。
3. 第(3)问：①找到$V=320\mathrm{mL}$时两个函数图象对应的$h_1$、$h_2$数值，作差即可得到高度差；②倒水前后总水量为$320+320=640\mathrm{mL}$，设相同水面高度为$h$，此时两杯水量之和为640mL，结合图象查找满足该条件的$h$值即可。
【解析】
(1) 1号杯为圆柱形，由圆柱体积公式可得$h_1=\frac{V}{S_1}$，二者为正比例关系，结合已知数据计算可得空缺值为1.0。
(2) 根据表格数据分别描出$(V,h_1)$和$(V,h_2)$的对应点，$h_1$的图象为过原点的直线，$h_2$的图象为平滑曲线，连线后得到图象：
(3) ①当$V=320\mathrm{mL}$时，从图象读取得$h_1\approx7.7\mathrm{cm}$，$h_2\approx8.9\mathrm{cm}$，高度差为$8.9-7.7=1.2\mathrm{cm}$；
②倒水后总水量为$320+320=640\mathrm{mL}$，设此时两杯水面高度均为$h\mathrm{cm}$，此时1号杯水量$V_1$、2号杯水量$V_2$满足$V_1+V_2=640$，结合图象查找可得$h\approx8.6\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{1.0}$
(2) 函数图象如图所示.
(3) ①$\boxed{1.2}$；②$\boxed{8.6}$
【知识点】
圆柱体积公式、函数图象的应用、一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际情境考查函数相关知识的应用，要求学生掌握函数图象的绘制、读取方法，能够结合数据和图象解决实际问题，对学生的数据分析能力、读图能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问：1号杯是圆柱形，水的体积与水面高度满足圆柱体积公式$V=S_1h_1$（$S_1$为1号杯底面积，是定值），因此$h_1$与$V$成正比例关系，结合已知数据求出比例系数后代入对应数值即可补全表格。
2. 第(2)问：根据表格给出的$V$与$h_1$、$h_2$的对应数据，在坐标系中依次描点，再按数据趋势连线（$h_1$是正比例函数，图象为直线；$h_2$图象为平滑曲线）即可得到两个函数的图象。
3. 第(3)问：①找到$V=320\mathrm{mL}$时两个函数图象对应的$h_1$、$h_2$数值，作差即可得到高度差；②倒水前后总水量为$320+320=640\mathrm{mL}$，设相同水面高度为$h$，此时两杯水量之和为640mL，结合图象查找满足该条件的$h$值即可。
【解析】
(1) 1号杯为圆柱形，由圆柱体积公式可得$h_1=\frac{V}{S_1}$，二者为正比例关系，结合已知数据计算可得空缺值为1.0。
(2) 根据表格数据分别描出$(V,h_1)$和$(V,h_2)$的对应点，$h_1$的图象为过原点的直线，$h_2$的图象为平滑曲线，连线后得到图象：
(3) ①当$V=320\mathrm{mL}$时，从图象读取得$h_1\approx7.7\mathrm{cm}$，$h_2\approx8.9\mathrm{cm}$，高度差为$8.9-7.7=1.2\mathrm{cm}$；
②倒水后总水量为$320+320=640\mathrm{mL}$，设此时两杯水面高度均为$h\mathrm{cm}$，此时1号杯水量$V_1$、2号杯水量$V_2$满足$V_1+V_2=640$，结合图象查找可得$h\approx8.6\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{1.0}$
(2) 函数图象如图所示.
(3) ①$\boxed{1.2}$；②$\boxed{8.6}$
【知识点】
圆柱体积公式、函数图象的应用、一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际情境考查函数相关知识的应用，要求学生掌握函数图象的绘制、读取方法，能够结合数据和图象解决实际问题，对学生的数据分析能力、读图能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
