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13.正数$ x $的两个平方根分别为$ 3 - a $和$ 2a + 7 $，则$ 44 - x $的立方根为（
A.$-5$
B.$5$
C.$13$
D.$10$
A
）A.$-5$
B.$5$
C.$13$
D.$10$
答案
13.A
解析
【分析】
解题核心是利用正数平方根的性质推导参数值，再逐步计算目标式的立方根。思考步骤如下：第一步，回忆正数的两个平方根互为相反数，和为0，据此列一元一次方程求出a的值；第二步，将a代入其中一个平方根，平方后得到x的值；第三步，计算44-x的结果，再求其立方根匹配选项即可。
【解析】
解：
∵正数的两个平方根互为相反数，相加和为0
∴ $(3 - a) + (2a + 7) = 0$
合并同类项得：$a + 10 = 0$
解得：$a = -10$
将$a=-10$代入$3 - a$，得其中一个平方根为$3 - (-10) = 13$
∴ $x = 13^2 = 169$
则$44 - x = 44 - 169 = -125$
∵ $(-5)^3 = -125$
∴ $-125$的立方根为$-5$，即$44 - x$的立方根是$-5$
故选A
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质、立方根的计算、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是牢记正数两个平方根互为相反数的性质，按步骤计算即可，计算时注意符号规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.75
解题核心是利用正数平方根的性质推导参数值，再逐步计算目标式的立方根。思考步骤如下：第一步，回忆正数的两个平方根互为相反数，和为0，据此列一元一次方程求出a的值；第二步，将a代入其中一个平方根，平方后得到x的值；第三步，计算44-x的结果，再求其立方根匹配选项即可。
【解析】
解：
∵正数的两个平方根互为相反数，相加和为0
∴ $(3 - a) + (2a + 7) = 0$
合并同类项得：$a + 10 = 0$
解得：$a = -10$
将$a=-10$代入$3 - a$，得其中一个平方根为$3 - (-10) = 13$
∴ $x = 13^2 = 169$
则$44 - x = 44 - 169 = -125$
∵ $(-5)^3 = -125$
∴ $-125$的立方根为$-5$，即$44 - x$的立方根是$-5$
故选A
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质、立方根的计算、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是牢记正数两个平方根互为相反数的性质，按步骤计算即可，计算时注意符号规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.75
14.若一个正数的算术平方根是$ a $，则比这个数大3的数的平方根是（
A.$\sqrt{a^2 + 3}$
B.$-\sqrt{a^2 + 3}$
C.$\pm\sqrt{a^2 + 3}$
D.$\pm\sqrt{a + 3}$
C
）A.$\sqrt{a^2 + 3}$
B.$-\sqrt{a^2 + 3}$
C.$\pm\sqrt{a^2 + 3}$
D.$\pm\sqrt{a + 3}$
答案
14.C
解析
【分析】
解题时首先明确算术平方根和原数的关系：若一个正数的算术平方根为a，那么这个正数就是a的平方。接着求出比这个数大3的数，再根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，即可得到正确结果，注意要区分算术平方根（仅非负的1个）和平方根（正负2个）的差异，避免漏解。
【解析】
1. 求原正数：已知一个正数的算术平方根是a，根据算术平方根的定义，这个正数为$a^2$。
2. 求比原数大3的数：计算可得该数为$a^2 + 3$。
3. 求该数的平方根：根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此$a^2 + 3$的平方根为$\pm\sqrt{a^2 + 3}$。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，忽略正数的平方根有两个，误选仅表示算术平方根的A选项，学习时要注意明确两个概念的区别。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确算术平方根和原数的关系：若一个正数的算术平方根为a，那么这个正数就是a的平方。接着求出比这个数大3的数，再根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，即可得到正确结果，注意要区分算术平方根（仅非负的1个）和平方根（正负2个）的差异，避免漏解。
【解析】
1. 求原正数：已知一个正数的算术平方根是a，根据算术平方根的定义，这个正数为$a^2$。
2. 求比原数大3的数：计算可得该数为$a^2 + 3$。
3. 求该数的平方根：根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此$a^2 + 3$的平方根为$\pm\sqrt{a^2 + 3}$。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，忽略正数的平方根有两个，误选仅表示算术平方根的A选项，学习时要注意明确两个概念的区别。
【难度系数】
0.7
15.已知$|a|=5$，$\sqrt{b^2}=7$，且$|a+b|=a+b$，则$a-b$的值为 （
A.2或12
B.2或−12
C.−2或12
D.−2或−12
D
）A.2或12
B.2或−12
C.−2或12
D.−2或−12
答案
15.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，第一步根据绝对值的性质确定a的所有可能取值，再根据算术平方根的性质（$\sqrt{b^2}=|b|$）确定b的所有可能取值；接下来根据$|a+b|=a+b$可知$a+b$是非负数，以此为筛选条件，去掉不符合要求的a、b组合；最后将剩余的符合条件的a、b分别代入$a-b$计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：①求a的可能值：
∵$|a|=5$，
∴$a=5$或$a=-5$；
②求b的可能值：
∵$\sqrt{b^2}=|b|=7$，
∴$b=7$或$b=-7$；
③筛选符合条件的a、b组合：
∵$|a+b|=a+b$，根据绝对值的性质，一个数的绝对值等于它本身时，这个数是非负数，
∴$a+b≥0$；
对所有组合逐一验证：
当$a=5$，$b=7$时，$a+b=12≥0$，符合要求；
当$a=5$，$b=-7$时，$a+b=-2＜0$，不符合要求，舍去；
当$a=-5$，$b=7$时，$a+b=2≥0$，符合要求；
当$a=-5$，$b=-7$时，$a+b=-12＜0$，不符合要求，舍去；
④计算$a-b$的值：
当$a=5$，$b=7$时，$a-b=5-7=-2$；
当$a=-5$，$b=7$时，$a-b=-5-7=-12$；
综上，$a-b$的值为$-2$或$-12$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，算术平方根的性质，代数式求值
【点评】
本题重点考查绝对值与算术平方根的性质应用，解题关键是根据$|a+b|=a+b$准确判断出$a+b$的非负性，进而筛选出符合条件的取值，解题时要注意不要漏算或错算符合条件的取值组合。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，第一步根据绝对值的性质确定a的所有可能取值，再根据算术平方根的性质（$\sqrt{b^2}=|b|$）确定b的所有可能取值；接下来根据$|a+b|=a+b$可知$a+b$是非负数，以此为筛选条件，去掉不符合要求的a、b组合；最后将剩余的符合条件的a、b分别代入$a-b$计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：①求a的可能值：
∵$|a|=5$，
∴$a=5$或$a=-5$；
②求b的可能值：
∵$\sqrt{b^2}=|b|=7$，
∴$b=7$或$b=-7$；
③筛选符合条件的a、b组合：
∵$|a+b|=a+b$，根据绝对值的性质，一个数的绝对值等于它本身时，这个数是非负数，
∴$a+b≥0$；
对所有组合逐一验证：
当$a=5$，$b=7$时，$a+b=12≥0$，符合要求；
当$a=5$，$b=-7$时，$a+b=-2＜0$，不符合要求，舍去；
当$a=-5$，$b=7$时，$a+b=2≥0$，符合要求；
当$a=-5$，$b=-7$时，$a+b=-12＜0$，不符合要求，舍去；
④计算$a-b$的值：
当$a=5$，$b=7$时，$a-b=5-7=-2$；
当$a=-5$，$b=7$时，$a-b=-5-7=-12$；
综上，$a-b$的值为$-2$或$-12$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，算术平方根的性质，代数式求值
【点评】
本题重点考查绝对值与算术平方根的性质应用，解题关键是根据$|a+b|=a+b$准确判断出$a+b$的非负性，进而筛选出符合条件的取值，解题时要注意不要漏算或错算符合条件的取值组合。
【难度系数】
0.7
16.用计算器求－0.00525的立方根(精确到0.001)：
-0.174
。答案
16.-0.174
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的性质：负数的立方根仍然是负数，所以我们可以先求0.00525的立方根，再给结果加上负号。接下来使用计算器的立方根功能计算正数的立方根，最后按照“精确到0.001”的要求，对计算结果进行四舍五入保留三位小数即可。
【解析】
1. 根据立方根的性质可得：$\sqrt[3]{-0.00525}=-\sqrt[3]{0.00525}$；
2. 使用计算器计算$\sqrt[3]{0.00525}$，得到结果约为0.1738；
3. 精确到0.001即保留三位小数，观察第四位小数是8，满足五入条件，所以0.1738≈0.174；
4. 加上负号可得最终结果为-0.174。
【答案】
-0.174
【知识点】
立方根的性质；计算器求立方根；近似数取值
【点评】
本题属于基础运算题，解题时要注意先确定立方根的符号，避免符号出错，同时取近似数时要明确精确位数的要求，正确使用四舍五入规则。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆立方根的性质：负数的立方根仍然是负数，所以我们可以先求0.00525的立方根，再给结果加上负号。接下来使用计算器的立方根功能计算正数的立方根，最后按照“精确到0.001”的要求，对计算结果进行四舍五入保留三位小数即可。
【解析】
1. 根据立方根的性质可得：$\sqrt[3]{-0.00525}=-\sqrt[3]{0.00525}$；
2. 使用计算器计算$\sqrt[3]{0.00525}$，得到结果约为0.1738；
3. 精确到0.001即保留三位小数，观察第四位小数是8，满足五入条件，所以0.1738≈0.174；
4. 加上负号可得最终结果为-0.174。
【答案】
-0.174
【知识点】
立方根的性质；计算器求立方根；近似数取值
【点评】
本题属于基础运算题，解题时要注意先确定立方根的符号，避免符号出错，同时取近似数时要明确精确位数的要求，正确使用四舍五入规则。
【难度系数】
0.85
17. $-27$的立方根与$\sqrt{81}$的平方根的和是
-6或0
答案
17.-6或0
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步根据立方根的定义求出-27的立方根；第二步先计算出$\sqrt{81}$的数值，再根据平方根的定义求它的平方根，注意正数的平方根有2个，互为相反数，不要漏解；第三步将得到的立方根分别与两个平方根求和，即可得到最终结果。
【解析】
1. 求-27的立方根：
因为$(-3)^3=-27$，所以-27的立方根是$-3$。
2. 求$\sqrt{81}$的平方根：
先计算$\sqrt{81}=9$，因为$(±3)^2=9$，所以9的平方根是$±3$，即$\sqrt{81}$的平方根是$±3$。
3. 计算两者的和：
当平方根取$3$时，和为$-3+3=0$；
当平方根取$-3$时，和为$-3+(-3)=-6$。
【答案】
-6或0
【知识点】
立方根的计算，平方根的计算，算术平方根的概念
【点评】
本题易错点有两处：一是忽略先计算$\sqrt{81}$的结果，直接求81的平方根导致错误；二是遗漏正数的平方根有两个，少算其中一种情况，解题时需注意分类讨论。
【难度系数】
0.6
解题时可分三步思考：第一步根据立方根的定义求出-27的立方根；第二步先计算出$\sqrt{81}$的数值，再根据平方根的定义求它的平方根，注意正数的平方根有2个，互为相反数，不要漏解；第三步将得到的立方根分别与两个平方根求和，即可得到最终结果。
【解析】
1. 求-27的立方根：
因为$(-3)^3=-27$，所以-27的立方根是$-3$。
2. 求$\sqrt{81}$的平方根：
先计算$\sqrt{81}=9$，因为$(±3)^2=9$，所以9的平方根是$±3$，即$\sqrt{81}$的平方根是$±3$。
3. 计算两者的和：
当平方根取$3$时，和为$-3+3=0$；
当平方根取$-3$时，和为$-3+(-3)=-6$。
【答案】
-6或0
【知识点】
立方根的计算，平方根的计算，算术平方根的概念
【点评】
本题易错点有两处：一是忽略先计算$\sqrt{81}$的结果，直接求81的平方根导致错误；二是遗漏正数的平方根有两个，少算其中一种情况，解题时需注意分类讨论。
【难度系数】
0.6
18.若$\sqrt{a}=2$，则$(2a - 5)^2 - 1$的立方根是
2
。答案
18.2
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，根据算术平方根的定义，已知$\sqrt{a}=2$，两边平方即可求出a的值；第二步，将求出的a代入代数式$(2a-5)^2 -1$中，计算出该代数式的结果；第三步，根据立方根的定义，求出所得结果的立方根，即为题目要求的答案。
【解析】
1. 求a的值：
因为$\sqrt{a}=2$，根据算术平方根的定义，两边同时平方可得$a=2^2=4$。
2. 计算代数式$(2a-5)^2 -1$的值：
将$a=4$代入式子中，得：
$(2×4 - 5)^2 - 1 = (8 - 5)^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$。
3. 求8的立方根：
因为$2^3=8$，所以8的立方根是2。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的定义；代数式求值；立方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察根式的基本概念，只要掌握算术平方根和立方根的定义，按步骤计算即可，出错点多为代入计算时粗心导致的运算错误。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：第一步，根据算术平方根的定义，已知$\sqrt{a}=2$，两边平方即可求出a的值；第二步，将求出的a代入代数式$(2a-5)^2 -1$中，计算出该代数式的结果；第三步，根据立方根的定义，求出所得结果的立方根，即为题目要求的答案。
【解析】
1. 求a的值：
因为$\sqrt{a}=2$，根据算术平方根的定义，两边同时平方可得$a=2^2=4$。
2. 计算代数式$(2a-5)^2 -1$的值：
将$a=4$代入式子中，得：
$(2×4 - 5)^2 - 1 = (8 - 5)^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$。
3. 求8的立方根：
因为$2^3=8$，所以8的立方根是2。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的定义；代数式求值；立方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察根式的基本概念，只要掌握算术平方根和立方根的定义，按步骤计算即可，出错点多为代入计算时粗心导致的运算错误。
【难度系数】
0.8
19.如果$\sqrt{2x-6}$与$\sqrt{2+y}$互为相反数，那么$x^2+y=$
7
.答案
19.7
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是算术平方根的非负性，即任意算术平方根的结果都大于等于0；二是互为相反数的两个数的和为0。由此可知，两个非负数相加得0时，每个非负数都只能为0，据此列方程分别求出x、y的值，最后代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{2x-6}$与$\sqrt{2+y}$互为相反数
∴$\sqrt{2x-6} + \sqrt{2+y} = 0$
又
∵算术平方根具有非负性，即$\sqrt{2x-6}≥0$，$\sqrt{2+y}≥0$
∴只有当$\sqrt{2x-6}=0$且$\sqrt{2+y}=0$时，等式成立
列方程得：
$2x - 6 = 0$，解得$x=3$
$2 + y = 0$，解得$y=-2$
将$x=3$，$y=-2$代入$x^2+y$得：
原式$=3^2 + (-2)=9-2=7$
【答案】
7
【知识点】
1. 算术平方根的非负性
2. 相反数的性质
3. 代数式求值
【点评】
本题是基础运算类题型，解题的突破口是掌握非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，熟练掌握该性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆两个核心知识点：一是算术平方根的非负性，即任意算术平方根的结果都大于等于0；二是互为相反数的两个数的和为0。由此可知，两个非负数相加得0时，每个非负数都只能为0，据此列方程分别求出x、y的值，最后代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{2x-6}$与$\sqrt{2+y}$互为相反数
∴$\sqrt{2x-6} + \sqrt{2+y} = 0$
又
∵算术平方根具有非负性，即$\sqrt{2x-6}≥0$，$\sqrt{2+y}≥0$
∴只有当$\sqrt{2x-6}=0$且$\sqrt{2+y}=0$时，等式成立
列方程得：
$2x - 6 = 0$，解得$x=3$
$2 + y = 0$，解得$y=-2$
将$x=3$，$y=-2$代入$x^2+y$得：
原式$=3^2 + (-2)=9-2=7$
【答案】
7
【知识点】
1. 算术平方根的非负性
2. 相反数的性质
3. 代数式求值
【点评】
本题是基础运算类题型，解题的突破口是掌握非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，熟练掌握该性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
20.如图，数轴上的两个点表示实数a，b，化简：$\sqrt{a^2} + |a+b| - \sqrt{(b-a)^2}$。
答案
20.$-a$
解析
【分析】
首先观察数轴可得到实数a、b的符号与大小关系：b＜0＜a，且|b|＞|a|，由此可推导得出a+b＜0，b-a＜0。再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式中的二次根式转化为绝对值形式，最后根据绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知：$b＜0＜a$，且$|b|＞|a|$，
$\therefore a+b＜0$，$b-a＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可变形为：
$|a| + |a+b| - |b-a|$
$\because a＞0$，$\therefore |a|=a$；
$\because a+b＜0$，$\therefore |a+b|=-(a+b)=-a-b$；
$\because b-a＜0$，$\therefore |b-a|=-(b-a)=a-b$；
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=a + (-a - b) - (a - b)\\&=a - a - b - a + b\\&=-a\end{aligned}$
【答案】
$-a$
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是代数基础综合题，解题核心是先通过数轴判断出待化简式子中各部分的正负性，再结合二次根式、绝对值的相关性质逐步化简，需要注意去括号时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴可得到实数a、b的符号与大小关系：b＜0＜a，且|b|＞|a|，由此可推导得出a+b＜0，b-a＜0。再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式中的二次根式转化为绝对值形式，最后根据绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知：$b＜0＜a$，且$|b|＞|a|$，
$\therefore a+b＜0$，$b-a＜0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可变形为：
$|a| + |a+b| - |b-a|$
$\because a＞0$，$\therefore |a|=a$；
$\because a+b＜0$，$\therefore |a+b|=-(a+b)=-a-b$；
$\because b-a＜0$，$\therefore |b-a|=-(b-a)=a-b$；
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=a + (-a - b) - (a - b)\\&=a - a - b - a + b\\&=-a\end{aligned}$
【答案】
$-a$
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是代数基础综合题，解题核心是先通过数轴判断出待化简式子中各部分的正负性，再结合二次根式、绝对值的相关性质逐步化简，需要注意去括号时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
21.已知$3m+1$的平方根是$\pm5$，$5n-m$的立方根是3.
(1)求$m-n$的平方根；
(2)若$4a+m$的算术平方根是4，求$3a-2n$的立方根.
(1)求$m-n$的平方根；
(2)若$4a+m$的算术平方根是4，求$3a-2n$的立方根.
答案
21.(1)$\pm1$ (2)$-2$
解析
【分析】
解题的核心是利用平方根、立方根、算术平方根的性质列方程求解未知字母。首先，若一个数的平方根是±a，则这个数等于a²，据此可先求出m的值；再根据若一个数的立方根是b，则这个数等于b³，代入m的值求出n的值，即可解决第(1)问；第(2)问利用算术平方根的性质（若一个非负数的算术平方根是c，则这个数等于c²）求出a的值，再代入计算所求式子的立方根即可。
【解析】
(1) 解：
∵ $3m+1$的平方根是$\pm5$
∴ $3m+1 = (\pm5)^2 = 25$
解得 $3m = 24$，即 $m=8$
又
∵ $5n - m$的立方根是3
∴ $5n - m = 3^3 = 27$
将$m=8$代入得：$5n - 8 = 27$
解得 $5n = 35$，即 $n=7$
∴ $m - n = 8 - 7 = 1$
∵ $(\pm1)^2 = 1$
∴ $m-n$的平方根是$\pm1$
(2) 解：
∵ $4a + m$的算术平方根是4
∴ $4a + m = 4^2 = 16$
将$m=8$代入得：$4a + 8 = 16$
解得 $4a = 8$，即 $a=2$
∴ $3a - 2n = 3×2 - 2×7 = 6 - 14 = -8$
∵ $(-2)^3 = -8$
∴ $3a - 2n$的立方根是$-2$
【答案】
(1) $\pm1$；(2) $-2$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，算术平方根的定义
【点评】
本题侧重考查根式相关的基础性质，解题关键是根据各类根式的定义建立对应方程求出未知字母的值，计算难度低，掌握核心概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用平方根、立方根、算术平方根的性质列方程求解未知字母。首先，若一个数的平方根是±a，则这个数等于a²，据此可先求出m的值；再根据若一个数的立方根是b，则这个数等于b³，代入m的值求出n的值，即可解决第(1)问；第(2)问利用算术平方根的性质（若一个非负数的算术平方根是c，则这个数等于c²）求出a的值，再代入计算所求式子的立方根即可。
【解析】
(1) 解：
∵ $3m+1$的平方根是$\pm5$
∴ $3m+1 = (\pm5)^2 = 25$
解得 $3m = 24$，即 $m=8$
又
∵ $5n - m$的立方根是3
∴ $5n - m = 3^3 = 27$
将$m=8$代入得：$5n - 8 = 27$
解得 $5n = 35$，即 $n=7$
∴ $m - n = 8 - 7 = 1$
∵ $(\pm1)^2 = 1$
∴ $m-n$的平方根是$\pm1$
(2) 解：
∵ $4a + m$的算术平方根是4
∴ $4a + m = 4^2 = 16$
将$m=8$代入得：$4a + 8 = 16$
解得 $4a = 8$，即 $a=2$
∴ $3a - 2n = 3×2 - 2×7 = 6 - 14 = -8$
∵ $(-2)^3 = -8$
∴ $3a - 2n$的立方根是$-2$
【答案】
(1) $\pm1$；(2) $-2$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，算术平方根的定义
【点评】
本题侧重考查根式相关的基础性质，解题关键是根据各类根式的定义建立对应方程求出未知字母的值，计算难度低，掌握核心概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
22.记$m$为$7+\sqrt{13}$的小数部分，$n$为$7-\sqrt{13}$的小数部分，求$(m+n)^{2025}$的值.
答案
22.1
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先估算$\sqrt{13}$的取值范围，这是求带无理数的式子的小数部分的前提；第二步根据$\sqrt{13}$的范围，分别求出$7+\sqrt{13}$和$7-\sqrt{13}$的整数部分，再用原式减去整数部分就能得到对应的小数部分$m$和$n$；第三步计算$m+n$的值，再代入乘方运算即可得到结果。
【解析】
首先估算$\sqrt{13}$的范围：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$
$\therefore 3＜\sqrt{13}＜4$
求$m$的值：
$\because 3＜\sqrt{13}＜4$
$\therefore 10＜7+\sqrt{13}＜11$，即$7+\sqrt{13}$的整数部分是10
$\therefore m=7+\sqrt{13}-10=\sqrt{13}-3$
求$n$的值：
$\because 3＜\sqrt{13}＜4$
$\therefore -4＜-\sqrt{13}＜-3$，可得$3＜7-\sqrt{13}＜4$，即$7-\sqrt{13}$的整数部分是3
$\therefore n=7-\sqrt{13}-3=4-\sqrt{13}$
代入计算：
$m+n=(\sqrt{13}-3)+(4-\sqrt{13})=1$
$\therefore (m+n)^{2025}=1^{2025}=1$
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算，代数式求值，乘方运算
【点评】
本题核心是掌握无理数小数部分的求法，关键要准确估算出无理数的整数范围，计算过程中含根号的部分可以相互抵消，降低了运算难度。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先估算$\sqrt{13}$的取值范围，这是求带无理数的式子的小数部分的前提；第二步根据$\sqrt{13}$的范围，分别求出$7+\sqrt{13}$和$7-\sqrt{13}$的整数部分，再用原式减去整数部分就能得到对应的小数部分$m$和$n$；第三步计算$m+n$的值，再代入乘方运算即可得到结果。
【解析】
首先估算$\sqrt{13}$的范围：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$
$\therefore 3＜\sqrt{13}＜4$
求$m$的值：
$\because 3＜\sqrt{13}＜4$
$\therefore 10＜7+\sqrt{13}＜11$，即$7+\sqrt{13}$的整数部分是10
$\therefore m=7+\sqrt{13}-10=\sqrt{13}-3$
求$n$的值：
$\because 3＜\sqrt{13}＜4$
$\therefore -4＜-\sqrt{13}＜-3$，可得$3＜7-\sqrt{13}＜4$，即$7-\sqrt{13}$的整数部分是3
$\therefore n=7-\sqrt{13}-3=4-\sqrt{13}$
代入计算：
$m+n=(\sqrt{13}-3)+(4-\sqrt{13})=1$
$\therefore (m+n)^{2025}=1^{2025}=1$
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算，代数式求值，乘方运算
【点评】
本题核心是掌握无理数小数部分的求法，关键要准确估算出无理数的整数范围，计算过程中含根号的部分可以相互抵消，降低了运算难度。
【难度系数】
0.7
23.已知一个正方体的体积是1 000 cm³，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488 cm³，截去的每个小正方体的棱长是多少厘米？
答案
23.4 cm
解析
【分析】
解题时先从体积差入手：第一步用原正方体的体积减去余下的体积，得到8个小正方体的总体积；再根据8个小正方体大小相同，计算出单个小正方体的体积；最后结合正方体体积公式，对单个小正方体的体积开立方，即可求出小正方体的棱长。
【解析】
解：先计算截去的8个小正方体的总体积：
$1000 - 488 = 512 \, \mathrm{cm}^3$
因为8个小正方体大小完全相同，所以每个小正方体的体积为：
$512 ÷ 8 = 64 \, \mathrm{cm}^3$
设每个小正方体的棱长为$x$ cm，根据正方体体积公式$V = x^3$可得：
$x^3 = 64$
解得$x = \sqrt[3]{64} = 4$
【答案】
4 cm
【知识点】
正方体体积计算，立方根的应用
【点评】
本题是基础的几何应用题，将体积计算和根式运算结合，解题核心是先求出单个小正方体的体积，再利用体积公式反推棱长，运算难度较低，只要理清数量关系即可正确解答。
【难度系数】
0.7
解题时先从体积差入手：第一步用原正方体的体积减去余下的体积，得到8个小正方体的总体积；再根据8个小正方体大小相同，计算出单个小正方体的体积；最后结合正方体体积公式，对单个小正方体的体积开立方，即可求出小正方体的棱长。
【解析】
解：先计算截去的8个小正方体的总体积：
$1000 - 488 = 512 \, \mathrm{cm}^3$
因为8个小正方体大小完全相同，所以每个小正方体的体积为：
$512 ÷ 8 = 64 \, \mathrm{cm}^3$
设每个小正方体的棱长为$x$ cm，根据正方体体积公式$V = x^3$可得：
$x^3 = 64$
解得$x = \sqrt[3]{64} = 4$
【答案】
4 cm
【知识点】
正方体体积计算，立方根的应用
【点评】
本题是基础的几何应用题，将体积计算和根式运算结合，解题核心是先求出单个小正方体的体积，再利用体积公式反推棱长，运算难度较低，只要理清数量关系即可正确解答。
【难度系数】
0.7
