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1.下列二次根式中，是最简二次根式的是 （
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
A
）A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案
1.A
解析
【分析】
解答本题首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时逐一验证每个选项是否同时满足这两个条件，将不符合条件的选项排除，即可得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数的因数是整数，不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{2}$的被开方数是2，属于整数，且不存在能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件。
选项B：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
选项C：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
选项D：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数含有分母，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式。
综上，只有选项A是最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
1.最简二次根式的判定
2.二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查最简二次根式的判定规则，只要牢记判定的两个条件，结合二次根式的化简方法逐一排查选项即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时逐一验证每个选项是否同时满足这两个条件，将不符合条件的选项排除，即可得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数的因数是整数，不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{2}$的被开方数是2，属于整数，且不存在能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件。
选项B：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
选项C：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
选项D：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数含有分母，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式。
综上，只有选项A是最简二次根式。
【答案】
A
【知识点】
1.最简二次根式的判定
2.二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查最简二次根式的判定规则，只要牢记判定的两个条件，结合二次根式的化简方法逐一排查选项即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.化简$\sqrt{18}$的结果是（
A.$2\sqrt{3}$
B.$3$
C.$3\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{3}$
C
）A.$2\sqrt{3}$
B.$3$
C.$3\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
要化简二次根式$\sqrt{18}$，需用到二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），解题思路是先将被开方数18分解为完全平方数和非完全平方数的乘积，再把完全平方数开方到根号外，最终得到最简二次根式，对应选项选择即可。
【解析】
第一步：分解被开方数，18可以拆成$9×2$，其中9是完全平方数（$3^2=9$）。
第二步：根据二次根式的运算性质展开：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}$
第三步：计算完全平方数的算术平方根，$\sqrt{9}=3$，因此：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是能准确找出被开方数中包含的完全平方因数，将其开方后移到根号外，最终结果要保证是最简二次根式。
【难度系数】
0.9
要化简二次根式$\sqrt{18}$，需用到二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），解题思路是先将被开方数18分解为完全平方数和非完全平方数的乘积，再把完全平方数开方到根号外，最终得到最简二次根式，对应选项选择即可。
【解析】
第一步：分解被开方数，18可以拆成$9×2$，其中9是完全平方数（$3^2=9$）。
第二步：根据二次根式的运算性质展开：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}$
第三步：计算完全平方数的算术平方根，$\sqrt{9}=3$，因此：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是能准确找出被开方数中包含的完全平方因数，将其开方后移到根号外，最终结果要保证是最简二次根式。
【难度系数】
0.9
3.下列二次根式中，与$\sqrt{2}$的乘积为无理数的是 （
A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{32}$
D.$\sqrt{50}$
B
）A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{32}$
D.$\sqrt{50}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算及无理数的判断。解题思路为：先运用二次根式的乘法法则，将每个选项中的二次根式与$\sqrt{2}$相乘，再化简计算结果，最后判断结果是否为无理数，选出符合要求的选项即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），分别计算各选项与$\sqrt{2}$的乘积：
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×2}=\sqrt{1}=1$，1是有理数，不符合要求；
选项B：$\sqrt{12}×\sqrt{2}=\sqrt{12×2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$2\sqrt{6}$是无理数，符合要求；
选项C：$\sqrt{32}×\sqrt{2}=\sqrt{32×2}=\sqrt{64}=8$，8是有理数，不符合要求；
选项D：$\sqrt{50}×\sqrt{2}=\sqrt{50×2}=\sqrt{100}=10$，10是有理数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数的识别；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的运算能力和有理数、无理数的区分能力，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法法则，准确化简运算结果后再做判断。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘法运算及无理数的判断。解题思路为：先运用二次根式的乘法法则，将每个选项中的二次根式与$\sqrt{2}$相乘，再化简计算结果，最后判断结果是否为无理数，选出符合要求的选项即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），分别计算各选项与$\sqrt{2}$的乘积：
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×2}=\sqrt{1}=1$，1是有理数，不符合要求；
选项B：$\sqrt{12}×\sqrt{2}=\sqrt{12×2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$2\sqrt{6}$是无理数，符合要求；
选项C：$\sqrt{32}×\sqrt{2}=\sqrt{32×2}=\sqrt{64}=8$，8是有理数，不符合要求；
选项D：$\sqrt{50}×\sqrt{2}=\sqrt{50×2}=\sqrt{100}=10$，10是有理数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数的识别；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的运算能力和有理数、无理数的区分能力，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法法则，准确化简运算结果后再做判断。
【难度系数】
0.8
4. $\sqrt{\dfrac{x-3}{x-4}}=\dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-4}}$ 成立的条件是
$x＞4$
。答案
4.$x＞4$
解析
【分析】
要使等式$\sqrt{\dfrac{x-3}{x-4}}=\dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-4}}$成立，需依据二次根式除法法则的适用条件推导：二次根式的除法公式$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是分子的被开方数非负，分母的被开方数为正（分母不能为0）。我们只需分别列出两个被开方数的取值要求，再解不等式组取公共解集即可。
【解析】
根据二次根式除法的性质，等式成立需同时满足以下两个条件：
1. 分子的被开方数非负：$x-3≥ 0$，解得$x≥ 3$；
2. 分母的被开方数大于0（分母不能为0）：$x-4＞ 0$，解得$x＞ 4$；
取两个解集的公共部分，可得$x＞ 4$。
【答案】
$x＞4$
【知识点】
二次根式的除法法则；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查二次根式除法法则的适用条件，易错点是容易忽略分母不能为0，误将分母的被开方数条件写为$x-4≥ 0$，解题时要注意区分分子和分母被开方数的取值要求差异。
【难度系数】
0.7
要使等式$\sqrt{\dfrac{x-3}{x-4}}=\dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-4}}$成立，需依据二次根式除法法则的适用条件推导：二次根式的除法公式$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提是分子的被开方数非负，分母的被开方数为正（分母不能为0）。我们只需分别列出两个被开方数的取值要求，再解不等式组取公共解集即可。
【解析】
根据二次根式除法的性质，等式成立需同时满足以下两个条件：
1. 分子的被开方数非负：$x-3≥ 0$，解得$x≥ 3$；
2. 分母的被开方数大于0（分母不能为0）：$x-4＞ 0$，解得$x＞ 4$；
取两个解集的公共部分，可得$x＞ 4$。
【答案】
$x＞4$
【知识点】
二次根式的除法法则；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查二次根式除法法则的适用条件，易错点是容易忽略分母不能为0，误将分母的被开方数条件写为$x-4≥ 0$，解题时要注意区分分子和分母被开方数的取值要求差异。
【难度系数】
0.7
5.计算：
(1)$\sqrt{32} × \sqrt{75} ÷ \sqrt{6}$；
(2)$3 ÷ \sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}}$；
(3)$2\sqrt{8} ÷ \frac{1}{2}\sqrt{2} × \sqrt{28}$；
(4)$\sqrt{4\frac{4}{5}} × 3$
$ ÷ (-\frac{3}{4}\sqrt{10})$。
(1)$\sqrt{32} × \sqrt{75} ÷ \sqrt{6}$；
(2)$3 ÷ \sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}}$；
(3)$2\sqrt{8} ÷ \frac{1}{2}\sqrt{2} × \sqrt{28}$；
(4)$\sqrt{4\frac{4}{5}} × 3$
$ ÷ (-\frac{3}{4}\sqrt{10})$。答案
5.解:(1)原式$=4\sqrt{2} ×5\sqrt{3} ÷\sqrt{6}$
$=20\sqrt{6} ÷\sqrt{6} =20$；
(2)原式$=3 ×\dfrac{1}{\sqrt{3}} ×\dfrac{1}{\sqrt{3}} =3 ×\dfrac{1}{3} =1$；
(3)原式$=2\sqrt{8} ×\dfrac{2}{\sqrt{2}} ×\sqrt{28}$
$=2×2×\sqrt{\dfrac{8×28}{2}} =16\sqrt{7}$；
(4)原式$=-(\sqrt{\dfrac{24}{5}} ×3\sqrt{5} ×\dfrac{4}{3\sqrt{10}})$
$=-(3×\dfrac{4}{3} ×\sqrt{\dfrac{24}{5} ×5 ×\dfrac{1}{10}})$
$=-4\sqrt{\dfrac{12}{5}}$
$=-\dfrac{8}{5}\sqrt{15}$。
$=20\sqrt{6} ÷\sqrt{6} =20$；
(2)原式$=3 ×\dfrac{1}{\sqrt{3}} ×\dfrac{1}{\sqrt{3}} =3 ×\dfrac{1}{3} =1$；
(3)原式$=2\sqrt{8} ×\dfrac{2}{\sqrt{2}} ×\sqrt{28}$
$=2×2×\sqrt{\dfrac{8×28}{2}} =16\sqrt{7}$；
(4)原式$=-(\sqrt{\dfrac{24}{5}} ×3\sqrt{5} ×\dfrac{4}{3\sqrt{10}})$
$=-(3×\dfrac{4}{3} ×\sqrt{\dfrac{24}{5} ×5 ×\dfrac{1}{10}})$
$=-4\sqrt{\dfrac{12}{5}}$
$=-\dfrac{8}{5}\sqrt{15}$。
解析
【分析】
解决二次根式乘除混合运算题，可按以下思路逐步计算：①先确定运算顺序，乘除为同级运算，从左到右依次计算，除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）；②处理特殊形式：带分数先化为假分数，若式子含负号，先判断最终结果的符号；③拆分计算：将系数和二次根式部分分开运算，系数按有理数乘除法则计算，二次根式部分按法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$计算；④最后将所得二次根式化为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 先把各二次根式化为最简形式，再按顺序计算：
原式$=4\sqrt{2} ×5\sqrt{3} ÷\sqrt{6}$
$=20\sqrt{6} ÷\sqrt{6} =20$
(2) 将除法转化为乘法，再合并计算：
原式$=3 ×\dfrac{1}{\sqrt{3}} ×\dfrac{1}{\sqrt{3}} =3 ×\dfrac{1}{3} =1$
(3) 先把除法转化为乘法，再将系数、二次根式分别计算：
原式$=2\sqrt{8} ×\dfrac{2}{\sqrt{2}} ×\sqrt{28}$
$=2×2×\sqrt{\dfrac{8×28}{2}} =16\sqrt{7}$
(4) 先确定结果为负，带分数化假分数，再拆分计算：
原式$=-(\sqrt{\dfrac{24}{5}} ×3\sqrt{5} ×\dfrac{4}{3\sqrt{10}})$
$=-(3×\dfrac{4}{3} ×\sqrt{\dfrac{24}{5} ×5 ×\dfrac{1}{10}})$
$=-4\sqrt{\dfrac{12}{5}}$
$=-\dfrac{8}{5}\sqrt{15}$
【答案】
(1)$\boxed{20}$；(2)$\boxed{1}$；(3)$\boxed{16\sqrt{7}}$；(4)$\boxed{-\dfrac{8}{5}\sqrt{15}}$
【知识点】
二次根式的乘法、二次根式的除法、最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式乘除的基础运算题，核心是熟练掌握二次根式乘除运算法则，计算时注意优先确定符号、带分数化假分数、系数与被开方数分开运算，可有效降低出错率，最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
解决二次根式乘除混合运算题，可按以下思路逐步计算：①先确定运算顺序，乘除为同级运算，从左到右依次计算，除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）；②处理特殊形式：带分数先化为假分数，若式子含负号，先判断最终结果的符号；③拆分计算：将系数和二次根式部分分开运算，系数按有理数乘除法则计算，二次根式部分按法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$计算；④最后将所得二次根式化为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 先把各二次根式化为最简形式，再按顺序计算：
原式$=4\sqrt{2} ×5\sqrt{3} ÷\sqrt{6}$
$=20\sqrt{6} ÷\sqrt{6} =20$
(2) 将除法转化为乘法，再合并计算：
原式$=3 ×\dfrac{1}{\sqrt{3}} ×\dfrac{1}{\sqrt{3}} =3 ×\dfrac{1}{3} =1$
(3) 先把除法转化为乘法，再将系数、二次根式分别计算：
原式$=2\sqrt{8} ×\dfrac{2}{\sqrt{2}} ×\sqrt{28}$
$=2×2×\sqrt{\dfrac{8×28}{2}} =16\sqrt{7}$
(4) 先确定结果为负，带分数化假分数，再拆分计算：
原式$=-(\sqrt{\dfrac{24}{5}} ×3\sqrt{5} ×\dfrac{4}{3\sqrt{10}})$
$=-(3×\dfrac{4}{3} ×\sqrt{\dfrac{24}{5} ×5 ×\dfrac{1}{10}})$
$=-4\sqrt{\dfrac{12}{5}}$
$=-\dfrac{8}{5}\sqrt{15}$
【答案】
(1)$\boxed{20}$；(2)$\boxed{1}$；(3)$\boxed{16\sqrt{7}}$；(4)$\boxed{-\dfrac{8}{5}\sqrt{15}}$
【知识点】
二次根式的乘法、二次根式的除法、最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式乘除的基础运算题，核心是熟练掌握二次根式乘除运算法则，计算时注意优先确定符号、带分数化假分数、系数与被开方数分开运算，可有效降低出错率，最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
