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【典例1】如图，已知抛物线$y=x^2$，正方形ABCD，点A在y轴上，B，D在第一象限抛物线上，横坐标分别为m，n.求m，n之间的数量关系.
答案
过 B 点作 $BE⊥ y$ 轴,过 D 点作 $DF⊥ y$ 轴,垂足分别为 E,F,
$△ ABE≌△ DAF,BE=AF,DF=AE.$
又$\because B(m,m^2),D(n,n^2),$
$\therefore BE=m=AF,OE=m^2,$
$AE=DF=n,$
$\therefore n^2-m^2=m+n,$
$\therefore (n-m)(n+m)=m+n.$
又$\because m+n≠0,\therefore n-m=1.$
变式1.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线$y=-x^2+4$上，点D在y轴上，若A，C两点的横坐标分别为m，n(m＞n＞0)，试探究m，n之间的数量关系。
答案
点 A 坐标为 $(m,-m^2+4)$,
点 C 坐标为 $(n,-n^2+4)$,
分别过点 A,C 作 y 轴的垂线,
垂足分别为 M,N,
则 $△ CDN≌△ DAM$,
$\therefore DM=CN=n,DN=AM=m,$
$\therefore MN=DM+DN=m+n,$
又$\because MN=m^2-n^2,$
$\therefore m^2-n^2=m+n,$
$\because m＞n＞0,\therefore m-n=1.$
变式2.如图，正方形ABCD中，点B，D坐标分别是$(-1,-3)$，$(1,3)$，点C在抛物线$y=-\dfrac{1}{3}x^2+bx$的图象上，则b的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
设 $C(m,n)$,过点 C 作 $EF⊥ x$ 轴,过点 B 作 $BE⊥ EF$,过点 D 作 $DF⊥ EF$,
$△ BCE≌△ CDF$,
$\therefore \begin{cases}m+1=3-n,\\m-1=n+3,\end{cases}\therefore \begin{cases}m=3,\\n=-1,\end{cases}$
代入解析式得 $-1=-\dfrac{1}{3}×9+3b$,
$\therefore b=\dfrac{2}{3}.$
【典例2】如图，抛物线$y=x^2-2x-3$与$x$轴负半轴交于点$A$，$D$点在对称轴上，且在$x$轴上方，$AD=2\sqrt{2}$，$□ ADEF$交抛物线下方于$E$，$F$两点，求$E$点坐标。
答案
$E(m,n),F(m-2,n-2)$代入抛物线解析式得
$\begin{cases}m^2-2m-3=n,\\(m-2)^2-2(m-2)-3=n-2,\end{cases}$
$\therefore E(\dfrac{5}{2},-\dfrac{7}{4}).$
$\begin{cases}m^2-2m-3=n,\\(m-2)^2-2(m-2)-3=n-2,\end{cases}$
$\therefore E(\dfrac{5}{2},-\dfrac{7}{4}).$
变式.如图，抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -1$与x轴交于A，B两点，点M，G在y轴右侧的抛物线上，点N在y轴正半轴上，$□ AMGN$的面积为24，求M点坐标.
答案
$M(m,\dfrac{1}{4}m^2-1),N(0,n),$
由全等知 $G(m+2,\dfrac{1}{4}m^2-1+n)$,代入抛物线得 $n=m+1$,
$\therefore AM$ 解析式为 $y=\dfrac{1}{4}(m-2)x+\dfrac{1}{2}(m-2)$,
又$\because S_{△ AMN}=12,\dfrac{1}{2}[(m+1)-\dfrac{1}{2}(m-2)](m+2)=12⇒$
$m_1=4,m_2=-10(舍),\therefore M(4,3).$
