登录
⑤如图，在$△ ABC$中，$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，垂足分别为$C$，$D$，则线段$AB$，$AC$，$CD$之间的大小关系是
CD＜AC＜AB
（用“＜”连接起来）。答案
5.CD＜AC＜AB
解析
【分析】
解题时我们可以利用“垂线段最短”的性质逐步比较三条线段的大小：第一步先比较CD和AC的长度，CD是点C到直线AB的垂线段，AC是点C到AB的斜线段，根据性质可得CD更短；第二步再比较AC和AB的长度，AC是点A到直线BC的垂线段，AB是点A到BC的斜线段，同理可得AC更短，最后结合两次比较结果即可得到三者的大小关系。
【解析】
∵ CD⊥AB，根据垂线段最短的性质，点C到直线AB的所有线段中，垂线段CD最短，
∴ CD＜AC；
又
∵ AC⊥BC，根据垂线段最短的性质，点A到直线BC的所有线段中，垂线段AC最短，
∴ AC＜AB；
综上可得：CD＜AC＜AB。
【答案】
CD＜AC＜AB
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题考查垂线段最短性质的应用，解题的关键是找准每个点到对应直线的垂线段，再通过两次比较得到最终的线段大小关系，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以利用“垂线段最短”的性质逐步比较三条线段的大小：第一步先比较CD和AC的长度，CD是点C到直线AB的垂线段，AC是点C到AB的斜线段，根据性质可得CD更短；第二步再比较AC和AB的长度，AC是点A到直线BC的垂线段，AB是点A到BC的斜线段，同理可得AC更短，最后结合两次比较结果即可得到三者的大小关系。
【解析】
∵ CD⊥AB，根据垂线段最短的性质，点C到直线AB的所有线段中，垂线段CD最短，
∴ CD＜AC；
又
∵ AC⊥BC，根据垂线段最短的性质，点A到直线BC的所有线段中，垂线段AC最短，
∴ AC＜AB；
综上可得：CD＜AC＜AB。
【答案】
CD＜AC＜AB
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题考查垂线段最短性质的应用，解题的关键是找准每个点到对应直线的垂线段，再通过两次比较得到最终的线段大小关系，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
三、耐心做一做。
⑥如图，已知$AB// CD$，射线$AH$交$BC$于点$F$，交$CD$于点$D$，从$D$点引一条射线$DE$，若$∠1=∠2$，求证：$∠ B+∠ CDE=180°$。
证明：$\because ∠1=∠2$（已知），
且$∠1=$
$\therefore ∠ BFD=$
$\therefore BC//$
$\therefore ∠ C+$
又$\because AB// CD$（已知），
$\therefore ∠ B=$
$\therefore ∠ B+∠ CDE=180°$。
⑥如图，已知$AB// CD$，射线$AH$交$BC$于点$F$，交$CD$于点$D$，从$D$点引一条射线$DE$，若$∠1=∠2$，求证：$∠ B+∠ CDE=180°$。
证明：$\because ∠1=∠2$（已知），
且$∠1=$
∠BFH
（对顶角相等
），$\therefore ∠ BFD=$
∠2
（等量代换
），$\therefore BC//$
DE
（同位角相等,两直线平行
），$\therefore ∠ C+$
∠CDE
$=180°$（两直线平行,同旁内角互补
）。又$\because AB// CD$（已知），
$\therefore ∠ B=$
∠C
（两直线平行,内错角相等
），$\therefore ∠ B+∠ CDE=180°$。
答案
6.∠BFH 对顶角相等 ∠2 等量代换 DE 同位角相等,两直线平行 ∠CDE 两直线平行,同旁内角互补 ∠C 两直线平行,内错角相等
解析
【分析】
这是一道平行线判定与性质的综合证明题，解题思路如下：首先根据已知的∠1=∠2，结合对顶角相等的性质，将∠1替换为它的对顶角∠BFH，通过等量代换得到一组相等的同位角，以此判定BC和DE平行；再利用平行线的性质得到同旁内角互补的关系，最后结合AB平行CD的条件，通过平行线的内错角相等完成角的等量代换，即可推出要证的结论。
【解析】
证明：
$\because ∠1=∠2$（已知），
且$∠1=$ $\boldsymbol{∠BFH}$（对顶角相等），
$\therefore ∠ BFD=$ $\boldsymbol{∠2}$（等量代换），
$\therefore BC//$ $\boldsymbol{DE}$（同位角相等,两直线平行），
$\therefore ∠ C+$ $\boldsymbol{∠CDE}$ $=180°$（两直线平行,同旁内角互补）。
又$\because AB// CD$（已知），
$\therefore ∠ B=$ $\boldsymbol{∠C}$（两直线平行,内错角相等），
$\therefore ∠ B+∠ CDE=180°$。
【答案】
∠BFH；对顶角相等；∠2；等量代换；DE；同位角相等,两直线平行；∠CDE；两直线平行,同旁内角互补；∠C；两直线平行,内错角相等
【知识点】
对顶角的性质；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础证明的典型题型，重点考查平行线判定定理和性质定理的区分与运用，解题时需结合已知条件找准角的位置关系，通过等量代换完成推导。
【难度系数】
0.8
这是一道平行线判定与性质的综合证明题，解题思路如下：首先根据已知的∠1=∠2，结合对顶角相等的性质，将∠1替换为它的对顶角∠BFH，通过等量代换得到一组相等的同位角，以此判定BC和DE平行；再利用平行线的性质得到同旁内角互补的关系，最后结合AB平行CD的条件，通过平行线的内错角相等完成角的等量代换，即可推出要证的结论。
【解析】
证明：
$\because ∠1=∠2$（已知），
且$∠1=$ $\boldsymbol{∠BFH}$（对顶角相等），
$\therefore ∠ BFD=$ $\boldsymbol{∠2}$（等量代换），
$\therefore BC//$ $\boldsymbol{DE}$（同位角相等,两直线平行），
$\therefore ∠ C+$ $\boldsymbol{∠CDE}$ $=180°$（两直线平行,同旁内角互补）。
又$\because AB// CD$（已知），
$\therefore ∠ B=$ $\boldsymbol{∠C}$（两直线平行,内错角相等），
$\therefore ∠ B+∠ CDE=180°$。
【答案】
∠BFH；对顶角相等；∠2；等量代换；DE；同位角相等,两直线平行；∠CDE；两直线平行,同旁内角互补；∠C；两直线平行,内错角相等
【知识点】
对顶角的性质；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础证明的典型题型，重点考查平行线判定定理和性质定理的区分与运用，解题时需结合已知条件找准角的位置关系，通过等量代换完成推导。
【难度系数】
0.8
⑦如图，点O在直线AB上，OD平分∠COB，且∠AOD：∠DOB=3：1.
（1）求∠AOC的度数；
（2）判断AB与OC的位置关系.
（1）求∠AOC的度数；
（2）判断AB与OC的位置关系.
答案
7.(1)∠AOC=90°；(2)AB⊥OC.
解析
【分析】
首先，点O在直线AB上，可知∠AOB是平角，度数为180°。已知∠AOD与∠DOB的比为3:1，可先按比例分配求出∠DOB的度数；再结合OD平分∠COB的条件，求出∠COB的度数，用平角180°减去∠COB的度数即可得到∠AOC的度数。第二问根据第一问求出的∠AOC的度数，若为90°即可直接判断AB与OC的位置关系为垂直。
【解析】
（1）
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°。
设∠DOB的度数为x，由∠AOD:∠DOB=3:1得∠AOD=3x，
则3x + x = 180°，解得x=45°，即∠DOB=45°。
∵OD平分∠COB，
∴∠COB=2∠DOB=2×45°=90°，
∴∠AOC=∠AOB - ∠COB=180° - 90°=90°。
（2）由（1）可知∠AOC=90°，根据垂直的定义，可得AB⊥OC。
【答案】
（1）∠AOC=90°；（2）AB⊥OC
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，垂直的判定
【点评】
本题属于角的基础计算类题型，解题核心是熟练运用平角、角平分线的基本概念，结合比例关系逐步推导未知角的度数，是对角度基础知识点的综合考察，掌握相关概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
首先，点O在直线AB上，可知∠AOB是平角，度数为180°。已知∠AOD与∠DOB的比为3:1，可先按比例分配求出∠DOB的度数；再结合OD平分∠COB的条件，求出∠COB的度数，用平角180°减去∠COB的度数即可得到∠AOC的度数。第二问根据第一问求出的∠AOC的度数，若为90°即可直接判断AB与OC的位置关系为垂直。
【解析】
（1）
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°。
设∠DOB的度数为x，由∠AOD:∠DOB=3:1得∠AOD=3x，
则3x + x = 180°，解得x=45°，即∠DOB=45°。
∵OD平分∠COB，
∴∠COB=2∠DOB=2×45°=90°，
∴∠AOC=∠AOB - ∠COB=180° - 90°=90°。
（2）由（1）可知∠AOC=90°，根据垂直的定义，可得AB⊥OC。
【答案】
（1）∠AOC=90°；（2）AB⊥OC
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，垂直的判定
【点评】
本题属于角的基础计算类题型，解题核心是熟练运用平角、角平分线的基本概念，结合比例关系逐步推导未知角的度数，是对角度基础知识点的综合考察，掌握相关概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
⑧如图，FG、ED分别交BC于点M、N，∠2=∠3，AB//CD.
(1)试说明：∠DNM+∠CMF=180°；
(2)若∠A=4∠1，∠ACB=40°，求∠B的度数.
(1)试说明：∠DNM+∠CMF=180°；
(2)若∠A=4∠1，∠ACB=40°，求∠B的度数.
答案
8.(1)略；(2)28°.
解析
【分析】
(1) 要证明∠DNM+∠CMF=180°，先结合已知∠2=∠3和AB//CD的条件，推导得到FG//ED，再利用平行线的同旁内角互补性质、对顶角相等的性质做等量代换即可得证；
(2) 先根据AB//CD得到同旁内角∠A与∠ACD互补，结合已知∠A=4∠1、∠ACB=40°，先求解出∠1的度数，再根据平行线内错角相等的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//CD（已知）
∴ ∠3 = ∠D（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠2 = ∠3（已知）
∴ ∠2 = ∠D（等量代换）
∴ FG//ED（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠DNM + ∠GMN = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵ ∠CMF = ∠GMN（对顶角相等）
∴ ∠DNM + ∠CMF = 180°（等量代换）
(2) 解：
∵ AB//CD（已知）
∴ ∠A + ∠ACD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），∠B = ∠1（两直线平行，内错角相等）
由图可知∠ACD = ∠ACB + ∠1，结合已知∠ACB=40°，∠A=4∠1，代入得：
$4∠1 + 40° + ∠1 = 180°$
合并同类项得：$5∠1 = 140°$
解得：$∠1 = 28°$
∴ $∠B = ∠1 = 28°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $28°$
【知识点】
平行线的判定与性质，对顶角的性质，角度计算
【点评】
本题是平行线章节的典型综合题，解题核心是准确识别截线与被截线形成的角的位置关系，结合已知条件做合理的等量代换即可求解，对逻辑推理能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠DNM+∠CMF=180°，先结合已知∠2=∠3和AB//CD的条件，推导得到FG//ED，再利用平行线的同旁内角互补性质、对顶角相等的性质做等量代换即可得证；
(2) 先根据AB//CD得到同旁内角∠A与∠ACD互补，结合已知∠A=4∠1、∠ACB=40°，先求解出∠1的度数，再根据平行线内错角相等的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//CD（已知）
∴ ∠3 = ∠D（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠2 = ∠3（已知）
∴ ∠2 = ∠D（等量代换）
∴ FG//ED（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠DNM + ∠GMN = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又
∵ ∠CMF = ∠GMN（对顶角相等）
∴ ∠DNM + ∠CMF = 180°（等量代换）
(2) 解：
∵ AB//CD（已知）
∴ ∠A + ∠ACD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），∠B = ∠1（两直线平行，内错角相等）
由图可知∠ACD = ∠ACB + ∠1，结合已知∠ACB=40°，∠A=4∠1，代入得：
$4∠1 + 40° + ∠1 = 180°$
合并同类项得：$5∠1 = 140°$
解得：$∠1 = 28°$
∴ $∠B = ∠1 = 28°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $28°$
【知识点】
平行线的判定与性质，对顶角的性质，角度计算
【点评】
本题是平行线章节的典型综合题，解题核心是准确识别截线与被截线形成的角的位置关系，结合已知条件做合理的等量代换即可求解，对逻辑推理能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.7
