8.「2026江苏淮安期中，★☆」如图，直线$ l_1,l_2,l_3 $表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
第8题图

如图所示,根据"角平分线上的点到角两边的距离相等"可知,可供选择的地址有 4 处.

9.「2026江苏盐城阜宁期中，★☆」如图,在$△ ABC$中,BE平分$∠ ABC$,AD是$△ ABE$的中线,若$△ ADE$的面积是10,$AB=10,BC=6$,则$△ ABC$的面积是.

答案 32
解析 如图,过点 E 作 $EF ⊥ AB$ 于点 F,$EH ⊥ BC$ 于点 H,

∵ BE 平分 $∠ ABC,∴ EF=EH$,
∵ AD 是 $△ABE$ 的中线,
∴ $BD=ED=\frac{1}{2}BE$,
∵ $△ADE$ 的面积是 10,
∴ $S_{△ABE}=2S_{△ADE}=20$,
∵ $S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB · EF,AB=10,∴ \frac{1}{2}×10EF=20$,
∴ $EF=4,∴ EH=4$,
∵ $BC=6,∴ S_{△CBE}=\frac{1}{2}BC · EH=\frac{1}{2}×6×4=12$,
∴ $S_{△ABC}=S_{△ABE}+S_{△CBE}=20+12=32$.

10.「2026湖南娄底涟源月考，★☆」如图，在$△ ABC$中，点D在BC边上，$∠ BAD = 100°$，$∠ ABC$的平分线交AC于点E，过点E作$EF ⊥ AB$，交BA的延长线于点F，且$∠ AEF = 50°$，连接DE.
(1)求$∠ CAD$的度数.
(2)求证：DE平分$∠ ADC$.
(3)若$AB = 6$，$AD + CD = 12$，且$S_{△ ACD} = 12$，求$△ ABE$的面积.

(1)
∵ $EF ⊥ AB,∴ ∠ F=90°$,
∵ $∠ AEF=50°,∴ ∠ FAE=90°-50°=40°$,
∵ $∠ BAD=100°,∴ ∠ CAD=180°-100°-40°=40°$.
(2)证明:如图,过点 E 作 $EG ⊥ AD$ 于点 G,$EH ⊥ BC$ 于点 H,

∵ $∠ FAE=∠ DAE=40°$,
∴ AC 是 $∠ FAD$ 的平分线,
∵ $EF ⊥ BF,EG ⊥ AD,∴ EF=EG$,
∵ BE 平分 $∠ ABC,EF ⊥ BF,EH ⊥ BC,∴ EF=EH$,
∴ $EG=EH,∴ DE$ 平分 $∠ ADC$.
(3)
∵ $S_{△ACD}=S_{△AED}+S_{△CED}=12$,
∴ $\frac{1}{2}AD · EG+\frac{1}{2}CD · EH=12$,
∵ $EG=EH,∴ \frac{1}{2}(AD+CD) · EG=12$,
∵ $AD+CD=12,∴ \frac{1}{2}×12EG=12$,
∴ $EG=2,∴ EF=2,∴ S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB · EF=\frac{1}{2}×6×2=6$.

11. 核心 素养 推理能力 已知点 C 是∠MAN 的平分线上一点,∠BCD 的两边 CB,CD 分别与射线 AM,AN 相交于 B,D 两点,且∠ABC+∠ADC=180°.过点 C 作 CE⊥AM,垂足为 E.
(1)如图1,当点 E 在线段 AB 上时,求证:BC=DC.
(2)如图2,当点 E 在线段 AB 的延长线上时,探究线段 AB,AD 与 BE 之间的数量关系.
(3)如图3,在(2)的条件下,若∠MAN=60°,连接 BD,作∠ABD 的平分线 BF 交 AD 于点 F,交 AC 于点 O,连接 DO 并延长交 AB 于点 G,若 BG=1,DF=2,求线段 DB 的长.

(1)证明:如图,过点 C 作 $CF ⊥ AN$,垂足为 F.

∵ AC 平分 $∠ MAN,CE ⊥ AB,CF ⊥ AN$,
∴ $CE=CF,∠ CEB=∠ CFD=90°$,
∵ $∠ CBE+∠ ADC=180°,∠ CDF+∠ ADC=180°$,
∴ $∠ CBE=∠ CDF$.
在 $△BCE$ 和 $△DCF$ 中,$\begin{cases} ∠ CBE=∠ CDF, \\ ∠ CEB=∠ CFD, \\ CE=CF, \end{cases}$
∴ $△BCE≌△DCF(AAS),∴ BC=DC$.
(2)如图,过点 C 作 $CF ⊥ AD$,垂足为 F.
∵ AC 平分 $∠ MAN,CE ⊥ AM$,
$CF ⊥ AD,∴ CE=CF,∠ CFA= ∠ CEA=90°$, 易证 $△ACE ≌ △ACF,∴ AE=AF$.
∵ $∠ ABC+∠ ADC=180°,∠ ABC+∠ CBE=180°$,
∴ $∠ CDF=∠ CBE$.
在 $△BCE$ 和 $△DCF$ 中,$\begin{cases} ∠ CBE=∠ CDF, \\ ∠ CEB=∠ CFD=90°, \\ CE=CF, \end{cases}$
∴ $△BCE≌△DCF(AAS),∴ BE=DF$,
∴ $AD=AF+DF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE$,
∴ $AD-AB=2BE$.

(3)如图,在 BD 上截取 $BH=BG$,连接 OH.
∵ BF 平分 $∠ ABD$,
∴ $∠ ABF=∠ DBF$,
在 $△OBH$ 和 $△OBG$ 中,
$\begin{cases} BH=BG, \\ ∠ OBH=∠ OBG, \\ OB=OB, \end{cases}$
∴ $△OBH≌△OBG(SAS)$,

∴ $∠ OHB=∠ OGB,∠ BOG=∠ BOH$.
∵ AO 是 $∠ MAN$ 的平分线,BO 是 $∠ ABD$ 的平分线,
∴ DO 平分 $∠ ADB,∴ ∠ ODH=∠ ODF$.
∵ $∠ OHB=∠ ODH+∠ DOH,∠ OGB=∠ ODF+∠ DAB$,
∴ $∠ DOH=∠ DAB=60°,∴ ∠ GOH=180°-∠ DOH=120°$,
∴ $∠ BOG=∠ BOH=60°,∴ ∠ DOF=∠ BOG=60°$,
∴ $∠ DOH=∠ DOF$.
在 $△ODH$ 和 $△ODF$ 中,$\begin{cases} ∠ DOH=∠ DOF, \\ OD=OD, \\ ∠ ODH=∠ ODF, \end{cases}$
∴ $△ODH≌△ODF(ASA),∴ DH=DF$,
∴ $DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3$.