8. 如图,在以原点为圆心,2为半径的$\odot O$上有一点$C$,$∠ COA=45°$,则点$C$的坐标为$\underline{\hspace{5em}}$.

8. $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$

9. 如图,点 B,E 在半圆 O 上,四边形 OABC,四边形 ODEF 均为矩形.若 $ AB=3,BC=4 $,求 $ DF $ 的长.

9. 解:如答图,连接 OB,OE.
$\because$ 四边形 OABC 是矩形,$\therefore ∠ CBA=90°,OB=AC$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=3,BC=4$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
$\therefore OB=AC=5,\therefore OE=OB=5$.
$\because$ 四边形 ODEF 为矩形,$\therefore DF=OE=5$.
第9题答图

10. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC,∠ADC均为直角,且AB=3,BC=4,AD=2.
(1)求证:A,B,C,D四个点都在同一个圆上;
(2)求这个圆的半径,并计算它的面积.

10. (1)证明:如答图,取 AC 的中点 E,连接 DE,BE.
$\because ∠ ABC,∠ ADC$ 均为直角,
$\therefore △ ABC$ 和$△ ADC$ 均为直角三角形,
$\therefore AE=BE=CE=DE$,
$\therefore A,B,C,D$ 四个点都在以点 E 为圆心的同一个圆上.
(2)解:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$,
$\therefore$ 该圆的半径 $r$ 为 2.5,$\therefore S=π r^2=6.25π$.
第10题答图

11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=3\ \mathrm{cm}$,$AC=4\ \mathrm{cm}$,$AD$是高线,$AE$是中线.
(1)以点$A$为圆心,$3\ \mathrm{cm}$为半径作$\odot A$,则点$B,D,E,C$与$\odot A$的位置关系怎样?
(2)若以点$A$为圆心作$\odot A$,使$B,C,D$三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,求$\odot A$的半径$r$的取值范围.

11. 解:(1)$\because ∠ BAC=90°,AB=3\ \mathrm{cm},AC=4\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\ \mathrm{cm}$.
$\because \frac{1}{2}AD· BC=\frac{1}{2}AB· AC,\therefore AD=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$.
$\because AE$ 是中线,$\therefore AE=\frac{1}{2}BC=2.5\ \mathrm{cm}$.
$\because r=3\ \mathrm{cm},\therefore AB=r,AD＜r,AE＜r,AC＞r$,
$\therefore$ 点$B$在$\odot A$上,点$D$和点$E$在$\odot A$内,点$C$在$\odot A$外.
(2)$\odot A$ 的半径 $r$ 的取值范围为$\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}＜r＜4\ \mathrm{cm}$.

12. 如图，点$A(2,0)$，$M(0,1)$分别是$x$轴和$y$轴上的两点，$B$是以点$M$为圆心，$1$为半径的圆上的一个动点，连接$AB$，$C$是$AB$的中点，连接$OC$，求$OC$长度的最大值.

12. 解:设点 $D$ 是点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点,连接 $DB$.
$\because OA=OD,AC=BC,\therefore OC// BD,OC=\frac{1}{2}BD$,
$\therefore$ 当 $BD$ 取得最大值时,$OC$ 的值最大.
当点 $D,M,B$ 共线时,$BD$ 的值最大,如答图.
$\because A(2,0),M(0,1),\therefore OA=2,OM=1$,
$\therefore OD=OA=2,MB=MO=1$.
$\because DM=\sqrt{OD^2+OM^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
$\therefore BD=\sqrt{5}+1,\therefore OC=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,
即 $OC$ 长度的最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
第12题答图