1[2025重庆北碚区质检,中]在1a2b3c4d5中的a,b,c,d这四个位置上添加“+”“−”“×”“÷”符号后得到一个算式,若不添加符号,则相邻数字自然组合为一个多位数.如:在a处添加“×”,在d处添加“+”,b,c处不添加符号,得到的算式为$1×234+5$,结果为239.下列说法:
①添加“×”“÷”两个运算符号,得到的算式有12种不同的结果;
②存在添加“+”“−”“×”“÷”四个符号的算式,其结果为$\frac{31}{5}$;
③只添加“+”“−”“×”三个符号,得到的算式中,结果最大为1.
其中正确的个数是 ()

A.3
B.2
C.1
D.0

①添加“×”“÷”两个运算符号,得到的算式:先乘后除:$1×2÷345=\dfrac{2}{345}$,$1×23÷45=\dfrac{23}{45}$,$1×234÷5=\dfrac{234}{5}$,$12×3÷45=\dfrac{36}{45}=\dfrac{4}{5}$,$12×34÷5=\dfrac{12×34}{5}=\dfrac{408}{5}$,$123×4÷5=\dfrac{123×4}{5}=\dfrac{492}{5}$,先除后乘:$1÷2×345=\dfrac{345}{2}$,$1÷23×45=\dfrac{45}{23}$,$1÷234×5=\dfrac{5}{234}$,$12÷3×45=180$,$12÷34×5=\dfrac{30}{17}$,$123÷4×5=\dfrac{615}{4}$,总共12种不同的结果,故①正确;②$1+2×3-4÷5=\dfrac{31}{5}$,故②正确;③$1+23×4-5=88$,故③错误.综上,正确的个数是2,故选B.

2[2025云南昆明期中,中]【阅读材料】当有理数x不等于0时,把2个相同的有理数x的除法运算记作$f(2,x)=x÷ x$;把3个相同的有理数x的除法运算记作$f(3,x)=x÷ x÷ x$;把4个相同的有理数x的除法运算记作$f(4,x)=x÷ x÷ x÷ x$;$···$,特别地,规定$f(1,x)=x$.
【解决问题】
(1)若$f(n,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$,则$n=$;
(2)$f(5,\frac{1}{3})=$;
(3)计算:$f(2,\frac{1}{4})÷ f(3,-3)× f(4,\frac{1}{2})× f(1,-1)=$.

(1) 因为$f(n,-2)=(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$,所以$n=4$.
(2)$f(5,\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}÷\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}×3×3×3×3=27$.
(3) 原式$=(\dfrac{1}{4}÷\dfrac{1}{4})÷[(-3)÷(-3)÷(-3)]×(\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2})×(-1)=1÷(-\dfrac{1}{3})×4×(-1)=1×(-3)×4×(-1)=12$.

3[中]已知a,b互为倒数,c,d互为相反数(c,d不为0),|m|=3.
根据已知条件请回答:
(1) $ab=$ , $c+d=$ , $m=$ , $\frac{c}{d}=$ .
(2)求$\frac{m}{3}+ab+\frac{c+d}{4m}-\frac{c}{d}$的值.

(1) 因为a,b互为倒数,所以$ab=1$. 因为c,d互为相反数(c,d不为0),所以$c+d=0$,$\dfrac{c}{d}=-1$. 因为$|m|=3$,所以$m=\pm3$.
(2) 当$m=3$时,原式$=\dfrac{3}{3}+1+0-(-1)=3$;当$m=-3$时,原式$=\dfrac{-3}{3}+1+0-(-1)=1$.

4[2026山东济南期中,中]外卖送餐为我们的生活带来了许多便利,某学习小组调查了一名外卖员一周的送餐情况,规定送餐量超过50单(送1次外卖称为1单)的部分记为“+”,低于50单的部分记为“-”,如表是该外卖员一周的送餐量:

(1)该外卖员本周日比本周一多送单.
(2)该外卖员这一周共送餐多少单?
(3)该外卖员每天的工资由底薪100元加上送单补贴构成,送单补贴的方案如下:每天送餐量不超过50单的部分,每单补贴2元;超过50单但不超过60单的部分,每单补贴4元;超过60单的部分,每单补贴6元.则本周该外卖员收入最多的一天比收入最少的一天多收入多少元?
刷素养 走向重高

(1)$12-(-3)=12+3=15$(单),即该外卖员本周日比本周一多送15单.
(2)$50×7+(-3+4-5+14-8+7+12)=350+21=371$(单),即该外卖员这一周共送餐371单.
(3) 本周该外卖员收入最多的一天是周四,工资为$100+50×2+10×4+4×6=264$(元),收入最少的一天是周五,工资为$100+(50-8)×2=184$(元),则$264-184=80$(元),即本周该外卖员收入最多的一天比收入最少的一天多收入80元.

5 思想方法分类讨论[难](1)三个有理数$a,b,c$满足$abc＞0$，求$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的值；
(2)若$a,b,c$为三个不为0的有理数，且$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=-1$，求$\frac{abc}{|abc|}$的值。

(1) 因为$abc＞0$,所以a,b,c都是正数或两个为负数,一个为正数.
①当a,b,c都是正数,即$a＞0,b＞0,c＞0$时,则$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}=1+1+1=3$;
②当a,b,c中有一个为正数,另两个为负数时,$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}=-1-1+1=-1$.
故$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}$的值为3或-1.
(2) 因为a,b,c为三个不为0的有理数,且$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}=-1$,所以a,b,c中有两个负数,有一个正数,所以$abc＞0$,所以$\dfrac{abc}{|abc|}=\dfrac{abc}{abc}=1$.