三、解答题
11.如图，C是线段AB外一点，按下列要求画图：

(1)画射线CB；
(2)反向延长线段AB；
(3)连接AC，并延长AC至点D，使$CD=AC$.

解：(1)(2)(3)如图.

【分析】
这是一道基础几何作图题，解题时先明确每一问对应的几何概念，再按要求逐步作图：
1. 画射线CB：首先明确射线有1个端点，可向一端无限延伸，射线CB的端点是C，需向B的方向延伸；
2. 反向延长线段AB：线段AB的默认延伸方向为A到B，反向延长即沿B到A的方向，向A点外侧延伸；
3. 作AC并延长到D使CD=AC：先连接A、C两点得到线段AC，再沿AC向C的外侧延长，截取长度等于AC的线段CD即可。
【解析】
(1) 以点C为端点，过点B画向B方向无限延伸的线，得到射线CB；
(2) 沿线段AB由B指向A的方向，向A点外侧画出延长线，完成反向延长线段AB；
(3) 先用直尺连接A、C两点得到线段AC，再将直尺对齐AC并向C点外侧延伸，用圆规量取AC的长度后，以C为圆心、AC长为半径画弧，与AC延长线的交点即为D，此时CD=AC，完成作图。
【答案】
解：(1)(2)(3)如图.
【知识点】
射线的概念；线段的延长；等长线段作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心考查对射线、线段基本特征的掌握，以及基础的几何作图能力，熟练掌握各类线的定义是正确解题的前提。
【难度系数】
0.9

12.已知O是直线AB上的一点，过点O作∠COD，且∠COD=90°，射线OE平分∠AOD.
(1)如图①，若∠BOD=40°，求∠AOC的度数；
(2)如图②，请求出2∠COE+∠BOD的度数.

解：(1)因为$∠BOD=40°$，
所以$∠AOD=180°-40°=140°$.
因为$∠COD=90°$，
所以$∠AOC=∠AOD-∠COD=140°-90°=50°$.
(2)因为$∠COD=90°$，
所以$∠AOD+∠BOC=180°-90°=90°$.
因为OE平分$∠AOD$，所以$∠AOD=2∠DOE$，
所以$2∠COE+∠BOD=2(∠COD+∠DOE)+∠BOC+∠COD=2∠COD+2∠DOE+∠BOC+90°=180°+∠AOD+∠BOC+90°=180°+90°+90°=360°$.

【分析】
(1) 首先直线AB上的点O构成平角∠AOB=180°，已知∠BOD的度数，可先通过平角性质求出∠AOD的度数；再结合∠COD=90°的条件，利用角的和差关系，用∠AOD减去∠COD就能得到∠AOC的度数。
(2) 先根据角平分线的性质得到∠AOD=2∠DOE，再将∠COE拆分为∠COD与∠DOE的和，把∠BOD拆分为∠BOC与∠COD的和，代入2∠COE+∠BOD的式子中，结合平角性质得到∠AOD+∠BOC=90°，逐步代换化简即可求出最终结果。
【解析】
(1) 因为$∠BOD=40°$，
所以$∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°$，
因为$∠COD=90°$，
所以$∠AOC=∠AOD-∠COD=140°-90°=50°$。
(2) 因为$∠COD=90°$，
所以$∠AOD+∠BOC=180°-∠COD=180°-90°=90°$，
因为射线OE平分$∠AOD$，所以$∠AOD=2∠DOE$，
所以$2∠COE+∠BOD$
$=2(∠COD+∠DOE)+(∠BOC+∠COD)$
$=2∠COD+2∠DOE+∠BOC+∠COD$
$=2×90°+∠AOD+∠BOC+90°$
$=180°+90°+90°$
$=360°$。
【答案】
(1) $\boxed{50°}$
(2) $\boxed{360°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算类题型，解题关键是准确梳理各角之间的数量关系，灵活运用平角、角平分线的性质对角进行拆分代换，能有效锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

13.如图,已知点B,C在线段AD上.
(1)图中共有条线段.
(2)若AB”“

解：(1)6 (2)①＜ ②如图.
因为$AD=30$ cm,$BC=12$ cm,
所以$AB+CD=AD-BC=18$ cm.
因为M是AB的中点,N是CD的中点,
所以$BM=\frac{1}{2}AB$,$CN=\frac{1}{2}CD$,
所以$BM+CN=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}×18=9$(cm),
所以$MN=BM+CN+BC=9+12=21$(cm).

【分析】
(1) 计算线段总数时，遵循有序计数的原则，两个端点确定唯一一条线段，我们可以按左端点依次列举所有线段，避免重复或遗漏。
(2) ① 比较大小可结合已知线段的关系直接推导；② 求MN的长度时，先观察线段构成：MN由BM、BC、CN三部分组成，已知AD和BC的长度，可先求出AB与CD的长度和，再利用线段中点的性质，得到BM与CN的和是AB+CD的一半，最后加上BC的长度即可求出MN的长度。
【解析】
(1) 按左端点顺序枚举线段：以A为左端点的线段有AB、AC、AD，共3条；以B为左端点的线段有BC、BD，共2条；以C为左端点的线段有CD，共1条，总共有$3+2+1=6$条线段。
(2) ① 比较结果为$＜$。
② 已知$AD=30\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
线段AB与CD的和为：$AB+CD=AD-BC=30-12=18\ \mathrm{cm}$，
因为M是AB的中点，所以$BM=\frac{1}{2}AB$；N是CD的中点，所以$CN=\frac{1}{2}CD$，
因此$BM+CN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(AB+CD)=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$，
又因为$MN=BM+CN+BC$，代入数值计算得：$MN=9+12=21\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$
(2) ① $\boldsymbol{＜}$；②，MN的长度为$\boldsymbol{21\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段计数；线段中点的性质；线段和差计算
【点评】
本题是线段相关的基础题型，主要考察学生的有序计数能力和线段和差的计算能力，解题的关键是将未知线段拆解为已知线段的和差形式，结合中点性质简化计算，是几何入门阶段的常考题型。
【难度系数】
0.7

14. [2026 池州期末]如图，AB 为一根长为 40 cm 的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点 M，N，分别将 AM，BN 沿点 M，N 折叠，点 A，B 分别落在绳子上的点 A'，B'处(绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计)。
(1)当点 A'与点 B'恰好重合时，$MN=$ cm；
(2)当 $A'B'=10$ cm 时，$MN=$ cm.

(1)20 (2)25或15

【分析】
（1）根据折叠的性质，折叠前后对应线段相等，可得$AM=A'M$，$BN=B'N$。当$A'$与$B'$重合时，$AM+BN=A'M+B'N=MN$，结合$AB=AM+MN+BN=40\mathrm{cm}$，代入即可求出$MN$的长度。
（2）当$A'B'=10\mathrm{cm}$时，需分两种情况讨论：①折叠后$A'$在$B'$的左侧，此时总长度$AB=2AM+2BN+A'B'$，先求出$AM+BN$的值，再用$AB$减去$AM+BN$得到$MN$；②折叠后$A'$在$B'$的右侧（两个折叠后的点交叉），此时总长度$AB=2AM+2BN-A'B'$，同样先求$AM+BN$，再计算$MN$即可。
【解析】
（1）由折叠的性质可知：$AM = A'M$，$BN = B'N$。
当$A'$与$B'$重合时，$A'M + B'N = MN$，即$AM + BN = MN$。
$\because AB = AM + MN + BN = 40\mathrm{cm}$，
$\therefore MN + MN = 40\mathrm{cm}$，即$2MN=40\mathrm{cm}$，
解得$MN=20\mathrm{cm}$。
（2）分两种情况计算：
情况1：点$A'$在点$B'$的左侧，
此时$AB = AM + MA' + A'B' + B'N + NB = 2AM + 2BN + A'B'$，
代入$AB=40\mathrm{cm}$，$A'B'=10\mathrm{cm}$，得：
$40 = 2(AM+BN) + 10$，
解得$AM+BN = 15\mathrm{cm}$，
$\therefore MN = AB - (AM+BN) = 40 -15 = 25\mathrm{cm}$。
情况2：点$A'$在点$B'$的右侧，
此时$AB = AM + MA' + B'N + NB - A'B' = 2(AM+BN) - A'B'$，
代入数据得：
$40 = 2(AM+BN) -10$，
解得$AM+BN=25\mathrm{cm}$，
$\therefore MN = AB - (AM+BN) =40 -25=15\mathrm{cm}$。
综上，$MN$的长度为$25\mathrm{cm}$或$15\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$20$；(2)$25$或$15$
【知识点】
折叠的性质；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题核心是利用折叠前后对应线段相等的性质转化线段关系，解题时要注意考虑折叠后两点的位置关系，避免漏解，对逻辑严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.7

15. [2026 合肥期末] 如图①，射线 OC 在∠AOB 的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC 和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线 OC 是∠AOB 的奇妙线.
(1)一个角的平分线这个角的奇妙线.(填“是”或“不是”)
(2)如图②，∠MPN=60°，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当∠QPN 首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为 t s.
①当 t 为何值时，射线 PM 是∠QPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6°的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转. 请求出当射线 PQ 是∠MPN 的奇妙线时 t 的值.

解：(1)是
(2)①分三种情况：
(a)当$∠MPN=2∠QPM$时，$60=2(10t-60)$,解得$t=9$；
(b)当$∠QPN=2∠MPN$时，$10t=2×60$,解得$t=12$；
(c)当$∠QPM=2∠MPN$时，$10t-60=2×60$,解得$t=18$.
故当t的值为9或12或18时，射线PM是$∠QPN$的奇妙线.
②分三种情况：(a)当$∠MPQ=2∠QPN$时，$60-10t+6t=2×10t$,解得$t=\frac{5}{2}$；
(b)当$∠MPN=2∠QPN$时，$60+6t=2×10t$,解得$t=\frac{30}{7}$；
(c)当$∠QPN=2∠MPQ$时，$10t=2(60+6t-10t)$,解得$t=\frac{20}{3}$.
故当射线PQ是$∠MPN$的奇妙线时，t的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{30}{7}$或$\frac{20}{3}$.

【分析】
本题核心是理解“奇妙线”的新定义：若一个角内的射线分出的三个角中，存在一个角的度数是另一个角的两倍，这条射线就是该角的奇妙线。解题时需紧扣定义，结合角的旋转规律表示出各角的度数，再分三种情况讨论（因未明确哪个角是哪个角的两倍，共三类倍数关系），列一元一次方程求解，最后验证解是否符合旋转的取值范围即可。
(1) 角平分线将角分成两个相等的小角，原大角的度数是每个小角的2倍，直接符合奇妙线的定义，可直接判断。
(2) ①先表示出旋转t秒后∠QPN=10t°，∠QPM=(10t-60)°，已知∠MPN=60°，分别对三类倍数关系列方程求解，结合t满足10t≤180即t≤18筛选结果。
②PM也逆时针旋转时，t秒后∠MPN=(60+6t)°，∠QPN=10t°，∠MPQ=(60+6t-10t)°，同样分三种倍数关系列方程，筛选符合要求的解即可。
【解析】
(1) 若射线是角的平分线，则原角=2×分出的小角，满足“有一个角是另一个角的两倍”的要求，因此一个角的平分线是这个角的奇妙线。
(2) ①由题意得，旋转t秒后，∠QPN=10t°，PQ停止旋转时10t=180，即t≤18。
射线PM是∠QPN的奇妙线，分三种情况讨论：
(a) 当∠MPN=2∠QPM时，列方程：$60=2(10t-60)$，
解得$t=9$，符合$t≤18$；
(b) 当∠QPN=2∠MPN时，列方程：$10t=2×60$，
解得$t=12$，符合$t≤18$；
(c) 当∠QPM=2∠MPN时，列方程：$10t-60=2×60$，
解得$t=18$，符合$t≤18$。
②由题意得，PM同时旋转t秒后，∠MPN=$(60+6t)°$，∠QPN=$10t°$，∠MPQ=$(60+6t-10t)°$，$t≤18$。
射线PQ是∠MPN的奇妙线，分三种情况讨论：
(a) 当∠MPQ=2∠QPN时，列方程：$60+6t-10t=2×10t$，
解得$t=\frac{5}{2}$，符合要求；
(b) 当∠MPN=2∠QPN时，列方程：$60+6t=2×10t$，
解得$t=\frac{30}{7}$，符合要求；
(c) 当∠QPN=2∠MPQ时，列方程：$10t=2(60+6t-10t)$，
解得$t=\frac{20}{3}$，符合要求。
【答案】
(1) 是
(2) ①$t$的值为9或12或18；②$t$的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{30}{7}$或$\frac{20}{3}$
【知识点】
新定义题型、角的和差计算、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于新定义结合动态角的综合题，解题关键是准确理解“奇妙线”的定义，能够根据旋转的速度和时间正确表示各个角的度数，同时要注意分类讨论思想的运用，避免遗漏倍数关系的情况，最后要注意验证解是否符合旋转的取值范围。
【难度系数】
0.4