1.已知$\odot O$的半径是3 cm，则$\odot O$中最长的弦长是 （）

A.3 cm
B.6 cm
C.1.5 cm
D.$\sqrt{3}$ cm

1.B

【分析】
解题时首先回忆弦的相关概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦，其中过圆心的弦是直径，直径是圆内最长的弦。因此只需结合已知的半径长度，计算出直径的长度，即可得到圆中最长弦的长度，匹配对应选项即可。
【解析】
根据圆的相关性质可知，圆中最长的弦为直径。
已知⊙O的半径r=3cm，由直径与半径的数量关系可得直径d=2r=2×3=6cm，因此⊙O中最长的弦长是6cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
弦的概念；直径的性质；半径与直径换算
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，只要牢记“直径是圆内最长的弦”这一性质，结合半径和直径的换算关系就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 下列说法不正确的是 （）

A.圆上各点到圆心的距离一定等于半径
B.平面内到圆心的距离等于半径的点一定在这个圆上
C.圆是一条线段旋转一周所形成的图形
D.圆是一条封闭的曲线

2.C

【分析】
本题考查圆的基础概念正误判断，解题核心是熟练掌握圆的动态定义、静态定义及基本特征。解题时先回忆圆的相关定义内容，再逐一比对每个选项的表述是否与定义吻合，最终选出描述错误的选项即可。
【解析】
结合圆的相关定义逐一分析选项：
1. 圆的静态定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形叫做圆。由此可知：
A选项：圆上各点到圆心的距离均等于半径，表述正确，不符合题意；
B选项：平面内到圆心距离等于半径的点满足圆的集合定义，一定在圆上，表述正确，不符合题意。
2. 圆的动态定义：平面内一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆。由此可知：
C选项：未说明是绕线段的一个固定端点旋转，也未指明是线段另一个端点形成的图形，表述错误，符合题意；
D选项：圆是由旋转一周形成的首尾相接的封闭曲线，表述正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的定义；圆的基本特征；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆的两种定义细节的掌握，学习时要注意理解定义的完整表述，避免遗漏关键限定条件导致判断错误。
【难度系数】
0.8

3.如果圆的半径为3，那么弦长x的取值范围是。

3.$0＜x≤6$

【分析】
解题时先回忆弦的相关概念：第一步，明确弦的定义，弦是连接圆上任意两点的线段，因此弦的两个端点不能重合，所以弦长必然大于0；第二步，回忆圆中弦的长度特征，直径是圆内最长的弦，其长度为半径的2倍，结合已知半径可算出最长弦的长度，即可得到弦长的最大值，进而确定取值范围。
【解析】
已知圆的半径为3，因此圆的直径长度为 $2×3=6$。
根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
① 弦的两个端点是圆上不同的两个点，因此弦长不能为0，即 $x＞0$；
② 圆中最长的弦是直径，因此弦长的最大值为6，即 $x≤6$。
综上，弦长x的取值范围是 $0＜x≤6$。
【答案】
$0＜x≤6$
【知识点】
1. 弦的定义
2. 直径的性质
【点评】
本题考查圆的基本概念的应用，解题关键是牢记弦的定义以及“直径是圆内最长的弦”这一性质，要注意弦的两个端点不重合，因此弦长不能取0，避免出现取值范围写错的问题。
【难度系数】
0.8

4. [2024·亳州期末]如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$ 的斜边 $AB$ 为$\odot O$ 的一条弦，直角边 $AC$ 经过圆心 $O$.已知 $BC=3$，$AC=4$，则 $OA$ 的长为 .

4.$\frac{25}{8}$

【分析】
要求OA的长度，OA是⊙O的半径，因此可连接同为半径的OB，将OA转化为OB，设OA=x，即可用含x的式子表示出OC的长度；观察图形可知△OBC为直角三角形，结合已知BC的长度，利用勾股定理列方程即可求出x的值，也就是OA的长。
【解析】
解：连接OB，设$OA=x$。
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OA=x$，
∴$OC=AC-OA=4-x$。
∵$∠ C=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得：
$OC^2 + BC^2 = OB^2$，
代入已知条件$BC=3$，得：
$(4-x)^2 + 3^2 = x^2$，
展开得：$16 - 8x + x^2 + 9 = x^2$，
移项化简得：$8x=25$，
解得：$x=\frac{25}{8}$，即$OA=\frac{25}{8}$。
【答案】
$\frac{25}{8}$
【知识点】
圆的半径性质；勾股定理；方程求线段长
【点评】
本题是圆中求线段长度的基础题型，解题核心是连接半径构造直角三角形，再结合勾股定理建立方程求解，该方法是圆相关计算的常用技巧。
【难度系数】
0.7

5.如图,在$\odot O$中,AB是直径,CD是弦,延长AB,CD相交于点P,且$AB=2DP$,$∠ P=18°$,求$∠ AOC$的度数.

5.$54°$

【分析】
解题时首先结合直径长度是半径的2倍的性质，由已知条件$AB=2DP$可推出$DP$等于圆的半径，因此连接$OD$构造等腰三角形，再依次利用等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导角度，最终求出$∠AOC$的度数。
【解析】
连接$OD$，
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$AB=2OC=2OD$，
又
∵$AB=2DP$，
∴$OD=DP$，
∴$∠ DOP=∠ P=18°$，
∴$∠ ODC=∠ P+∠ DOP=18°+18°=36°$，
∵$OC=OD$，
∴$∠ OCD=∠ ODC=36°$，
∵$∠ AOC$是$△ OCP$的外角，
∴$∠ AOC=∠ P+∠ OCD=18°+36°=54°$。
【答案】
$54°$
【知识点】
圆的有关概念；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用圆的半径相等的性质构造等腰三角形，将已知角和待求角通过等腰三角形、三角形外角的性质建立关联，解题关键是正确作出辅助线$OD$。
【难度系数】
0.7

6. 在平面直角坐标系中，$\odot O$ 的圆心 $O$ 的坐标为$(1,0)$，半径为 2，则下面各点在$\odot O$ 上的是（）

A.$(2,0)$
B.$(0,2)$
C.$(0,\sqrt{3})$
D.$(\sqrt{3},0)$

6.C

【分析】
要判断点是否在圆上，需依据点与圆的位置关系判定规则：若点到圆心的距离等于圆的半径，则该点在圆上。本题解题思路为：①回忆两点间距离公式；②分别计算四个选项中的点到圆心$O(1,0)$的距离；③将计算结果与半径2比较，距离等于2的点即为正确答案。
【解析】
若点在$\odot O$上，则该点到圆心$O(1,0)$的距离等于半径2。
平面直角坐标系中，两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的距离公式为$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，逐一计算各选项中点到$O(1,0)$的距离：
选项A：点$(2,0)$，$d=\sqrt{(2-1)^2+(0-0)^2}=\sqrt{1}=1≠2$，不在圆上；
选项B：点$(0,2)$，$d=\sqrt{(0-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}≠2$，不在圆上；
选项C：点$(0,\sqrt{3})$，$d=\sqrt{(0-1)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$，等于半径，在圆上；
选项D：点$(\sqrt{3},0)$，$d=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2+(0-0)^2}=\sqrt{3}-1≠2$，不在圆上。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.点与圆的位置关系判定 2.两点间距离公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点与圆位置关系的判定方法，只要熟记判定规则，能正确运用两点间距离公式计算即可快速解题。
【难度系数】
0.8

7. [教材P26习题24.2第1题改编] 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AB = 5$，$AC = 4$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$O$为$AB$的中点，以点$C$为圆心，$r$为半径作$\odot C$.
(1)若$r=3$，则点$A$在$\odot C$，点$D$在$\odot C$，点$B$在$\odot C$.
(2)①当$r=$时，点$O$在$\odot C$上；
②当$r=$时，点$D$在$\odot C$上.
(3)若$A,O,B$三点中至少有一个点在$\odot C$内，且至少有一个点在$\odot C$外，则$r$的取值范围是.

7.(1)外 内 上 (2)①2.5 ②2.4 (3)$2.5＜r＜4$

【分析】
解决本题的核心是掌握点与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d＞r则点在圆外，d=r则点在圆上，d＜r则点在圆内。首先根据已知条件计算出点A、B、D、O到圆心C的距离，再结合各小问的半径或要求进行判断、计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2-AC^2} = \sqrt{5^2-4^2}=3$
∵$CD⊥AB$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC=\frac{1}{2}·AB·CD$
代入数据得：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×CD$，解得$CD=\frac{12}{5}=2.4$
∵O是AB中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=2.5$
(1)当$r=3$时：
$AC=4＞3$，故点A在$\odot C$外；
$CD=2.4＜3$，故点D在$\odot C$内；
$BC=3=r$，故点B在$\odot C$上。
(2)①点O在$\odot C$上时，$r=OC=2.5$；
②点D在$\odot C$上时，$r=CD=2.4$。
(3)A、O、B三点到C的距离分别为$AC=4$，$OC=2.5$，$BC=3$，其中最小距离为2.5，最大距离为4。
要满足至少有一个点在圆内，则$r＞2.5$；要满足至少有一个点在圆外，则$r＜4$，故r的取值范围是$2.5＜r＜4$。
【答案】
(1)外 内 上 (2)①2.5 ②2.4 (3)$2.5＜r＜4$
【知识点】
点与圆的位置关系，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查点与圆位置关系的判定，解题关键是结合直角三角形的相关性质准确计算各点到圆心的距离，熟练掌握判定规则即可快速求解。
【难度系数】
0.7

8.如图，BD，CE是$△ ABC$的高，M为BC的中点.证明:点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上.

证明：
连接ME，MD。
∵ BD，CE是△ABC的高，
∴ ∠BDC = 90°，∠BEC = 90°，
∴ △BDC和△BEC都是直角三角形。
∵ M为BC的中点，
∴ 在Rt△BDC中，$MD = \frac{1}{2}BC$，
在Rt△BEC中，$ME = \frac{1}{2}BC$。
又∵ M是BC中点，
∴ $MB = MC = \frac{1}{2}BC$，
∴ $MB = MC = MD = ME$。
∴ 点B，C，D，E到点M的距离相等，
∴ 点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上。

【分析】
要证明多个点在以某点为圆心的同一个圆上，核心依据是圆的定义：到定点的距离等于定长的所有点在同一个圆上，因此本题只需证明B、C、D、E四个点到点M的距离相等即可。首先连接辅助线ME、MD，结合高的定义得到两个直角三角形，再利用直角三角形斜边中线的性质，即可推导出四个点到M的距离均等于BC的一半，进而完成证明。
【解析】
证明：
连接ME，MD。
∵ BD，CE是△ABC的高，
∴ ∠BDC = 90°，∠BEC = 90°，
∴ △BDC和△BEC都是直角三角形。
∵ M为BC的中点，
∴ 在Rt△BDC中，$MD = \frac{1}{2}BC$，
在Rt△BEC中，$ME = \frac{1}{2}BC$。
又
∵ M是BC中点，
∴ $MB = MC = \frac{1}{2}BC$，
∴ $MB = MC = MD = ME$。
∴ 点B，C，D，E到点M的距离相等，
∴ 点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上。
【答案】
点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、圆的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是通过添加辅助线，结合直角三角形的性质得到各点到定点的距离相等，再利用圆的定义完成共圆判定，能帮助加深对圆的基本概念的理解。
【难度系数】
0.8