10.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(-1,\sqrt{3})$,以原点O为中心,将点A顺时针旋转$90°$得到点$A'$,则点$A'$的坐标为.

10.($\sqrt{3}$,1)

【分析】
要解决平面直角坐标系中点顺时针旋转90°的坐标问题，可通过构造全等三角形的方法求解：第一步先过点A向x轴作垂线，过旋转后的点A'也向x轴作垂线，得到两个直角三角形；第二步利用旋转的性质得到OA=OA'、∠AOA'=90°，推导得出两个直角三角形的对应角相等，证明三角形全等；第三步利用全等三角形对应边相等，得到A'的横纵坐标对应的线段长度，结合A'所在象限确定坐标符号即可。也可以直接用点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律代入计算。
【解析】
方法一：构造全等三角形求解
过点A作$AB⊥x$轴于点B，过点$A'$作$A'C⊥x$轴于点C，
∴$∠ABO=∠OCA'=90°$，
∵点A坐标为$(-1,\sqrt{3})$，
∴$OB=1$，$AB=\sqrt{3}$，
由旋转的性质可知：$OA=OA'$，$∠AOA'=90°$，
∴$∠AOB + ∠A'OC=180°-90°=90°$，
又
∵在$Rt△AOB$中，$∠AOB + ∠OAB=90°$，
∴$∠OAB=∠A'OC$，
在$△AOB$和$△OA'C$中：
$\{\begin{array}{l}∠ABO=∠OCA'\\∠OAB=∠A'OC\\OA=A'O\end{array} $
∴$△AOB≌△OA'C（AAS）$，
∴$OC=AB=\sqrt{3}$，$A'C=OB=1$，
∵点$A'$在第一象限，
∴点$A'$的坐标为$(\sqrt{3},1)$。
方法二：利用旋转坐标规律求解
点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律为：若原点坐标为$(x,y)$，则旋转后对应点的坐标为$(y,-x)$，
已知点A坐标为$(-1,\sqrt{3})$，即$x=-1,y=\sqrt{3}$，
代入得旋转后$A'$的横坐标为$y=\sqrt{3}$，纵坐标为$-x=-(-1)=1$，
即$A'$的坐标为$(\sqrt{3},1)$。
【答案】
$(\sqrt{3},1)$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 坐标与图形变化
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的旋转变换，既可以通过构造全等三角形推导坐标，也可以直接利用旋转的坐标规律快速计算，解题时注意结合点所在的象限确定坐标的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l$过点$M(3,0)$,且平行于$y$轴.
(1)如果$△ ABC$三个顶点的坐标分别是$A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2)$,$△ ABC$关于$y$轴对称的图形是$△ A_1B_1C_1$,$△ A_1B_1C_1$关于直线$l$对称的图形是$△ A_2B_2C_2$,写出$△ A_2B_2C_2$三个顶点的坐标;
(2)如果点$P$的坐标是$(-a,0)$,其中$0＜a＜3$,点$P$关于$y$轴的对称点是$P_1$,点$P_1$关于直线$l$的对称点是$P_2$,求$PP_2$的长.

11.解:(1)△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标分别是A₂(4,0),B₂(5,0),C₂(5,2).
(2)
∵点 P 与点 P₁关于 y 轴对称,P(-a,0),
∴P₁(a,0).
又点 P₁与点 P₂关于直线 l 对称,
设 P₂(x,0),可得$\frac{x+a}{2}=3$,即 x=6-a,
∴P₂(6-a,0),
则 PP₂=6-a-(-a)=6-a+a=6.

【分析】
本题考查轴对称变换下的坐标变化规律，可按以下思路解题：
（1）第一问先利用“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，求出△A₁B₁C₁各顶点的坐标；再利用“关于平行于y轴的直线x=m对称的点，纵坐标不变，两点横坐标之和为2m”的规律，代入直线l对应的x=3，即可算出△A₂B₂C₂的顶点坐标。
（2）第二问沿用第一问的对称规律，先求点P关于y轴对称的P₁坐标，再求P₁关于直线l对称的P₂坐标，最后根据x轴上两点距离等于横坐标差的绝对值计算PP₂长度，计算时参数a会消去，可得定值结果。
【解析】
(1) 先求△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的坐标：
已知A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2)，关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标取相反数，因此A₁(2,0)，B₁(1,0)，C₁(1,2)。
再求△A₁B₁C₁关于直线l:x=3对称的△A₂B₂C₂的坐标：
关于x=3对称的点纵坐标不变，对称点横坐标=2×3-原横坐标，因此：
A₂横坐标为$2×3-2=4$，纵坐标为0，即A₂(4,0)；
B₂横坐标为$2×3-1=5$，纵坐标为0，即B₂(5,0)；
C₂横坐标为$2×3-1=5$，纵坐标为2，即C₂(5,2)。
(2) 计算PP₂的长度：
∵点P(-a,0)与P₁关于y轴对称，
∴P₁坐标为(a,0)。
设P₂坐标为(x,0)，
∵P₁与P₂关于直线l:x=3对称，
∴$\frac{x+a}{2}=3$，解得$x=6-a$，即P₂(6-a,0)。
x轴上两点距离为横坐标差的绝对值，因此：
$PP_2=|(6-a)-(-a)|=|6-a+a|=6$。
【答案】
(1) $A_2(4,0)$，$B_2(5,0)$，$C_2(5,2)$；
(2) $PP_2$的长为6。
【知识点】
1. 轴对称坐标变换
2. 两点间距离计算
【点评】
本题核心考查不同对称方式对应的坐标变化规则，解题时按对称顺序逐步推导即可，第二问的推导可以发现PP₂长度为定值，能够锻炼学生的代数推理能力，熟练掌握对称坐标规律就能快速解题。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁;
(2)画出△A₁B₁C₁向下平移5个单位长度后得到的图形△A₂B₂C₂;
(3)如果线段AC上有一点M(a,b)经过上述两次变换,那么对应线段A₂C₂上点M₂的坐标是;
(4)△ABC的面积为.

12.(1)解:如答图所示,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)解:如答图所示,△A₂B₂C₂即为所求.
(3)(-a,b-5)
(4)3

【分析】
本题考查平面直角坐标系中的图形变换与格点三角形面积计算：
1. 作关于y轴对称的图形，需先利用“关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数”的规律，求出三个顶点的对称点坐标，再依次连线即可；
2. 作平移后的图形，利用“向下平移n个单位，横坐标不变、纵坐标减n”的规律求出平移后各顶点坐标，再依次连线；
3. 求点经过两次变换后的坐标，将两次坐标变换规则叠加即可推导得到；
4. 求格点三角形面积，使用割补法：将三角形放在外接矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积即可求解。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点坐标特征：横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变，可得A(-3,5)的对称点A₁(3,5)，B(-2,1)的对称点B₁(2,1)，C(-1,3)的对称点C₁(1,3)，依次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据平移规则：向下平移5个单位长度，横坐标不变，纵坐标减去5，可得A₁(3,5)平移后对应点A₂(3,0)，B₁(2,1)平移后对应点B₂(2,-4)，C₁(1,3)平移后对应点C₂(1,-2)，依次连接A₂、B₂、C₂，即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 点M(a,b)先关于y轴对称，坐标变为(-a,b)；再向下平移5个单位长度，纵坐标减5，最终得到的M₂坐标为(-a,b-5)。
(4) 用割补法计算△ABC的面积：
取△ABC的外接矩形，横向长为$|-1 - (-3)|=2$，纵向高为$|5-1|=4$，矩形面积为$2×4=8$；
减去周围3个直角三角形的面积：
第一个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1$，第二个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×4=2$，第三个直角三角形面积：$\frac{1}{2}×2×2=2$；
因此△ABC的面积为$8-1-2-2=3$。
【答案】
(1) 如答图所示,△A₁B₁C₁即为所求.
(2) 如答图所示,△A₂B₂C₂即为所求.
(3) (-a,b-5)
(4) 3
【知识点】
轴对称的坐标变化，图形的平移，割补法求面积
【点评】
本题属于基础题型，重点考查坐标变换的规律和格点图形面积的计算方法，掌握坐标对称、平移的变化规则，熟练运用割补法计算不规则图形面积是解题的关键。
【难度系数】
0.7