登录
四、下面是三块三角形的玻璃打碎后的碎片,请根据这些碎片推测这三块玻璃原来的形状。
（70°、50°）三角形
（30°、60°）三角形 （40°、45°）三角形
（70°、50°）三角形
（30°、60°）三角形 （40°、45°）三角形答案
锐角 直角 钝角
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°，以及三角形按角分类的标准：三个角都是锐角的是锐角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形。我们可以先利用内角和算出每个三角形缺失的第三个角的度数，再根据角的特征判断三角形的类型即可。
【解析】
1. 第一块玻璃对应的三角形：
未知角的度数 = $180° - 70° - 50° = 60°$
三个角分别为$70°、50°、60°$，都小于$90°$，都是锐角，因此是锐角三角形。
2. 第二块玻璃对应的三角形：
未知角的度数 = $180° - 30° - 60° = 90°$
存在一个$90°$的直角，因此是直角三角形。
3. 第三块玻璃对应的三角形：
未知角的度数 = $180° - 40° - 45° = 95°$
$95°$大于$90°$是钝角，因此是钝角三角形。
【答案】
锐角；直角；钝角
【知识点】
三角形内角和；三角形按角分类
【点评】
本题是基础概念应用题，通过计算未知角度数判断三角形类型，能有效巩固三角形内角和、三角形分类的相关知识，掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角和为180°，以及三角形按角分类的标准：三个角都是锐角的是锐角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形。我们可以先利用内角和算出每个三角形缺失的第三个角的度数，再根据角的特征判断三角形的类型即可。
【解析】
1. 第一块玻璃对应的三角形：
未知角的度数 = $180° - 70° - 50° = 60°$
三个角分别为$70°、50°、60°$，都小于$90°$，都是锐角，因此是锐角三角形。
2. 第二块玻璃对应的三角形：
未知角的度数 = $180° - 30° - 60° = 90°$
存在一个$90°$的直角，因此是直角三角形。
3. 第三块玻璃对应的三角形：
未知角的度数 = $180° - 40° - 45° = 95°$
$95°$大于$90°$是钝角，因此是钝角三角形。
【答案】
锐角；直角；钝角
【知识点】
三角形内角和；三角形按角分类
【点评】
本题是基础概念应用题，通过计算未知角度数判断三角形类型，能有效巩固三角形内角和、三角形分类的相关知识，掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
五、拼一拼，画一画。
用下面两个完全相同的直角三角形可能拼出什么样的图形？先拼一拼，再把它们依次画出来。
用下面两个完全相同的直角三角形可能拼出什么样的图形？先拼一拼，再把它们依次画出来。
答案
等腰三角形、长方形等 画图略
解析
【分析】要找出两个完全相同的直角三角形能拼出的图形，核心方法是将两个三角形长度相等的边重合拼接，尝试不同的重合方式即可得到不同的新图形。首先可以尝试将斜边重合拼接，再尝试将两组直角边分别重合拼接，逐一观察拼接后得到的图形特征即可得出结果。
【解析】我们通过不同的拼接方式可得到对应图形：
1. 拼接斜边：将两个直角三角形的斜边完全对齐重合，两个直角分别朝向重合斜边的两侧，此时得到的图形对边相等、四个角均为直角，是长方形。
2. 拼接直角边：任选一组长度相等的直角边，将两条边完全重合，两个三角形分别在重合边的两侧，此时得到的图形两条腰长度相等，是等腰三角形。
除此之外还可拼接得到平行四边形等图形，画图时依次画出拼出的对应图形即可。
【答案】等腰三角形、长方形等 画图略
【知识点】图形的拼接、直角三角形特征、平面图形认识
【点评】本题考查动手操作能力和对平面图形特征的掌握，通过实际拼接能更好地理解不同图形之间的转化关系，多尝试不同的拼接方法就能完整得出所有可能的结果。
【难度系数】0.8
【解析】我们通过不同的拼接方式可得到对应图形：
1. 拼接斜边：将两个直角三角形的斜边完全对齐重合，两个直角分别朝向重合斜边的两侧，此时得到的图形对边相等、四个角均为直角，是长方形。
2. 拼接直角边：任选一组长度相等的直角边，将两条边完全重合，两个三角形分别在重合边的两侧，此时得到的图形两条腰长度相等，是等腰三角形。
除此之外还可拼接得到平行四边形等图形，画图时依次画出拼出的对应图形即可。
【答案】等腰三角形、长方形等 画图略
【知识点】图形的拼接、直角三角形特征、平面图形认识
【点评】本题考查动手操作能力和对平面图形特征的掌握，通过实际拼接能更好地理解不同图形之间的转化关系，多尝试不同的拼接方法就能完整得出所有可能的结果。
【难度系数】0.8
六、解决问题。
1.（浙江省嘉兴市期末）如图甲，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角。现将三角形的三条边AB、BC、CA分别延长，形成了∠4、∠5、∠6三个角，这三个角叫三角形的外角，如图乙。不测量，你能推理得出∠4、∠5和∠6这三个外角的和是多少度吗？请写出你的思考过程。
1.（浙江省嘉兴市期末）如图甲，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角。现将三角形的三条边AB、BC、CA分别延长，形成了∠4、∠5、∠6三个角，这三个角叫三角形的外角，如图乙。不测量，你能推理得出∠4、∠5和∠6这三个外角的和是多少度吗？请写出你的思考过程。
答案
1. 能
$∠ 1+∠ 6=180°$ $∠ 2+∠ 4=180°$ $∠ 3+∠ 5=180°$ $∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6=180° × 3=540°$ $∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$ $∠ 4+∠ 5+∠ 6=540°-180°=360°$
$∠ 1+∠ 6=180°$ $∠ 2+∠ 4=180°$ $∠ 3+∠ 5=180°$ $∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6=180° × 3=540°$ $∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$ $∠ 4+∠ 5+∠ 6=540°-180°=360°$
解析
【分析】
要计算三个外角的和，首先观察每个外角和它相邻的三角形内角的关系：每个外角和相邻的内角刚好可以拼成一个平角，而平角的度数是180°，由此可以先算出三个外角加三个内角的总度数；再结合三角形内角和为180°的知识点，用总度数减去三个内角的和，就能得出三个外角的总和。
【解析】
每个外角和相邻的内角可组成平角，因此：
$∠ 1+∠ 6=180°$
$∠ 2+∠ 4=180°$
$∠ 3+∠ 5=180°$
将三个等式相加可得：
$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6=180°× 3=540°$
根据三角形内角和为180°，可知$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$
因此三个外角的和为：
$∠ 4+∠ 5+∠ 6=540°-180°=360°$
【答案】
能，$∠ 4$、$∠ 5$和$∠ 6$三个外角的和是$360°$。
【知识点】
平角的特征、三角形内角和、角度计算
【点评】
本题结合平角、三角形内角和的知识点，通过转化的思路推导三角形外角和，能够有效锻炼逻辑推理和知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.7
要计算三个外角的和，首先观察每个外角和它相邻的三角形内角的关系：每个外角和相邻的内角刚好可以拼成一个平角，而平角的度数是180°，由此可以先算出三个外角加三个内角的总度数；再结合三角形内角和为180°的知识点，用总度数减去三个内角的和，就能得出三个外角的总和。
【解析】
每个外角和相邻的内角可组成平角，因此：
$∠ 1+∠ 6=180°$
$∠ 2+∠ 4=180°$
$∠ 3+∠ 5=180°$
将三个等式相加可得：
$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6=180°× 3=540°$
根据三角形内角和为180°，可知$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$
因此三个外角的和为：
$∠ 4+∠ 5+∠ 6=540°-180°=360°$
【答案】
能，$∠ 4$、$∠ 5$和$∠ 6$三个外角的和是$360°$。
【知识点】
平角的特征、三角形内角和、角度计算
【点评】
本题结合平角、三角形内角和的知识点，通过转化的思路推导三角形外角和，能够有效锻炼逻辑推理和知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图，等边三角形内有一个等腰三角形，且∠1=∠2，∠3=∠4。试求出∠5的度数。
答案
2. $∠ 1=∠ 2$ $∠ 1+∠ 2=60°$ $∠ 2=30°$ 同样的，$∠ 4=30°$ $∠ 5=180°-∠ 2-∠ 4=180°-30°-30°=120°$
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，均为60°。题目给出∠1=∠2，说明等边三角形左下角的60°角被平均分成2份，可求出∠2的度数；同理根据∠3=∠4，可求出∠4的度数。最后依据三角形内角和是180°，用180°减去∠2和∠4的度数，就能得到∠5的度数。
【解析】
1. 等边三角形的每个内角都是60°，因此左下角的角度和为：$∠1+∠2=60°$
已知$∠1=∠2$，所以$∠2=60°÷2=30°$
2. 同理，右下角的角度和为：$∠3+∠4=60°$
已知$∠3=∠4$，所以$∠4=60°÷2=30°$
3. 内部三角形的内角和为$180°$，因此：
$∠5=180°-∠2-∠4=180°-30°-30°=120°$
【答案】
$∠5=120°$
【知识点】
等边三角形性质、三角形内角和、角度计算
【点评】
本题是基础的角度计算题型，核心是灵活运用等边三角形的内角特征和三角形内角和定理，解题思路清晰，只要掌握特殊三角形的角度规律就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，均为60°。题目给出∠1=∠2，说明等边三角形左下角的60°角被平均分成2份，可求出∠2的度数；同理根据∠3=∠4，可求出∠4的度数。最后依据三角形内角和是180°，用180°减去∠2和∠4的度数，就能得到∠5的度数。
【解析】
1. 等边三角形的每个内角都是60°，因此左下角的角度和为：$∠1+∠2=60°$
已知$∠1=∠2$，所以$∠2=60°÷2=30°$
2. 同理，右下角的角度和为：$∠3+∠4=60°$
已知$∠3=∠4$，所以$∠4=60°÷2=30°$
3. 内部三角形的内角和为$180°$，因此：
$∠5=180°-∠2-∠4=180°-30°-30°=120°$
【答案】
$∠5=120°$
【知识点】
等边三角形性质、三角形内角和、角度计算
【点评】
本题是基础的角度计算题型，核心是灵活运用等边三角形的内角特征和三角形内角和定理，解题思路清晰，只要掌握特殊三角形的角度规律就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
