6 如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第四象限内作出点$ P(m - 1, 2n) $，则$ m $与$ n $之间的数量关系为。

6. $m+2n=1$ 【解析】由作图,可知点 $P$ 在第四象限的角平分线上,$\therefore$ 点 $P$ 到 $x$ 轴和 $y$ 轴的距离相等,即$|m-1|=|2n|.$又$\because$ 点 $P(m-1,2n)$ 在第四象限, $\therefore m-1=-2n$,即 $m+2n=1.$

7 [2024河南]如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为.

7. $(3,10)$ 【解析】如图,设 $CD$ 交 $y$ 轴于点$G$,正方形的边长为 $m.$ $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,边 $AB$ 在 $x$ 轴上, $\therefore AD=AB=CD=CB=m,AD⊥ x$ 轴,$CD⊥ y$ 轴. 由折叠,得 $FB=CB=m,FE=CE.$ $\because A(-2,0),F(0,6),\therefore OA=GD=2$,$OF=6,\therefore OB=m-2.$ $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ FOB$ 中,$OB^2+OF^2=BF^2$,$\therefore (m-2)^2+6^2=m^2$,解得 $m=10$,$\therefore AD=OG=CD=10$,$\therefore FG=10-6=4,FE=CE=10-2-GE=8-GE.$ $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ FGE$ 中,$GE^2+FG^2=FE^2,\therefore GE^2+4^2=(8-GE)^2$,解得$GE=3,\therefore$ 点 $E$ 的坐标为$(3,10).$

8 新考向 新定义题 对于平面直角坐标系中的点$P(a,b)$，称点$P'(a+kb,ka+b)$（其中$k$为常数，且$k≠0$）为点$P$的“$k$属派生点”。例如：$P(1,4)$的“2属派生点”为$P'(1+2×4,2×1+4)$，即$P'(9,6)$。
（1）点$P(-2,3)$的“3属派生点”$P'$的坐标为；
（2）若点$P$的“5属派生点”$P'$的坐标为$(3,-9)$，求点$P$的坐标；
（3）若点$P(a,b)$在$x$轴的正半轴上，点$P$的“$k$属派生点”为点$P'$，且线段$PP'$的长度为线段$OP$长度的2倍，求$k$的值。

8. (1) $(7,-3)$
(2) 设 $P(x,y).$ 根据题意,得$\begin{cases} x+5y=3,\\5x+y=-9, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-2,\\ y=1, \end{cases}$ $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(-2,1)$
(3) $\because$ 点 $P(a,b)$ 在$x$ 轴的正半轴上, $\therefore b=0,a＞0,\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(a,0)$,此时点 $P'$的坐标为$(a,ka),\therefore PP'=|ka|,OP=a.$ 根据题意,得$|PP'|=2|OP|$,即$|ka|=2a.$ $\because a＞0,\therefore |k|=2,\therefore k$ 的值为$\pm 2$

9 分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(4,3),P是坐标轴上的一点.若以O,A,P为顶点的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有个,请直接写出所有满足条件的点P的坐标.

9. 8 满足条件的点 $P$ 的坐标为$(5,0),(8,0),(0,5),(0,6)$,$(-5,0),(0,-5),(0,\dfrac{25}{6}),(\dfrac{25}{8},0)$