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11. [北京竞赛] 已知数据 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 的平均数为 $x_1$；$a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10}$ 的平均数为 $x_2$；$x_1$ 与 $x_2$ 的平均数为 $x$；$a_1,a_2,a_3,\dots,a_8,a_9,a_{10}$ 的平均数为 $y$，那么 $x$ 与 $y$ 的大小关系是（
A.$x＞y$
B.$x＜y$
C.$x=y$
D.不能确定
D
）A.$x＞y$
B.$x＜y$
C.$x=y$
D.不能确定
答案
11.D 【点拨】由算术平均数的定义可知 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4x_1$,$a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 6x_2$. 因为 $x = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$,$\frac{1}{10}(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}) = y = \frac{4x_1 + 6x_2}{10}$, 所以 $x - y = \frac{x_1 + x_2}{2} - \frac{4x_1 + 6x_2}{10} = \frac{x_1 - x_2}{10}$. 若 $x_1 ＞ x_2$,则 $\frac{x_1 - x_2}{10} ＞ 0$. 所以 $x - y ＞ 0$. 所以 $x ＞ y$; 若 $x_1 = x_2$,则 $\frac{x_1 - x_2}{10} = 0$,所以 $x = y$; 若 $x_1 ＜ x_2$,则 $\frac{x_1 - x_2}{10} ＜ 0$. 所以 $x - y ＜ 0$. 所以 $x ＜ y$. 由于 $x_1,x_2$ 的大小不能确定,则 $x$ 和 $y$ 的大小也不能确定.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先利用算术平均数“总和=平均数×个数”的性质，把各组数据的总和用对应的平均数$x_1$、$x_2$表示；接下来分别写出$x$和$y$的代数式，再通过作差法比较$x$和$y$的大小，观察差值的正负由什么因素决定，最终判断二者的大小关系。
【解析】
根据算术平均数的定义可得：
$a_1+a_2+a_3+a_4=4x_1$，$a_5+a_6+\dots+a_{10}=6x_2$
由题意得：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}$
10个数据的平均数$y=\frac{a_1+a_2+\dots+a_{10}}{10}=\frac{4x_1+6x_2}{10}$
用作差法比较$x$和$y$的大小：
$\begin{aligned}x-y&=\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{4x_1+6x_2}{10}\\&=\frac{5(x_1+x_2)-(4x_1+6x_2)}{10}\\&=\frac{x_1-x_2}{10}\end{aligned}$
分情况讨论：
①若$x_1＞x_2$，则$x-y＞0$，即$x＞y$；
②若$x_1=x_2$，则$x-y=0$，即$x=y$；
③若$x_1＜x_2$，则$x-y＜0$，即$x＜y$。
题目未给出$x_1$和$x_2$的大小关系，因此$x$和$y$的大小关系不能确定。
【答案】
D
【知识点】
算术平均数计算；作差法比较大小
【点评】
本题容易出错的点是忽略两组数据的个数不同，误将两组平均数的平均值等同于所有数据的平均数。通过作差法将待比较的量化为仅含$x_1$、$x_2$的式子，可以清晰看出大小关系的决定因素，避免主观判断错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按以下思路推导：首先利用算术平均数“总和=平均数×个数”的性质，把各组数据的总和用对应的平均数$x_1$、$x_2$表示；接下来分别写出$x$和$y$的代数式，再通过作差法比较$x$和$y$的大小，观察差值的正负由什么因素决定，最终判断二者的大小关系。
【解析】
根据算术平均数的定义可得：
$a_1+a_2+a_3+a_4=4x_1$，$a_5+a_6+\dots+a_{10}=6x_2$
由题意得：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}$
10个数据的平均数$y=\frac{a_1+a_2+\dots+a_{10}}{10}=\frac{4x_1+6x_2}{10}$
用作差法比较$x$和$y$的大小：
$\begin{aligned}x-y&=\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{4x_1+6x_2}{10}\\&=\frac{5(x_1+x_2)-(4x_1+6x_2)}{10}\\&=\frac{x_1-x_2}{10}\end{aligned}$
分情况讨论：
①若$x_1＞x_2$，则$x-y＞0$，即$x＞y$；
②若$x_1=x_2$，则$x-y=0$，即$x=y$；
③若$x_1＜x_2$，则$x-y＜0$，即$x＜y$。
题目未给出$x_1$和$x_2$的大小关系，因此$x$和$y$的大小关系不能确定。
【答案】
D
【知识点】
算术平均数计算；作差法比较大小
【点评】
本题容易出错的点是忽略两组数据的个数不同，误将两组平均数的平均值等同于所有数据的平均数。通过作差法将待比较的量化为仅含$x_1$、$x_2$的式子，可以清晰看出大小关系的决定因素，避免主观判断错误。
【难度系数】
0.6
12. 真实情境题 游戏活动型 有10个同学围成一圈做游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个数，并把想好的这个数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若这10个同学报出来的数如图所示，则报5的同学心里所想的数是
-5
。答案
12. -5 【点拨】设报5的同学心里想的数是 x. 因为报5与报9的两个人心里想的数的平均数是7,所以报9的人心里想的数应是 14−x. 所以报13的人心里想的数是 22−(14−x)=8+x. 所以报17的人心里想的数是 30−(8+x)=22−x. 所以报1的人心里想的数是 38−(22−x)=16+x. 因为报1的人与报5的人心里想的数的平均数是3,所以 16+x+x=2×3,解得 x=−5. 所以报5的同学心里所想的数是−5.
解析
【分析】
解题时我们可以利用“每个人报的数是相邻两人心里想的数的平均数”这一规则，即相邻两人心里想的数的和等于对应报的数的2倍。我们先设报5的同学心里想的数为x，顺着环形的相邻关系，用x依次表示出其他相关同学心里想的数，当推导到和报5的同学相邻的另一个同学的数时，就能得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到答案。
【解析】
设报5的同学心里想的数是$ x $：
1. 报7的同学报的数是报5和报9的同学所想数的平均数，因此报9的同学心里想的数为$ 2×7 -x=14-x $；
2. 报11的同学报的数是报9和报13的同学所想数的平均数，因此报13的同学心里想的数为$ 2×11-(14-x)=8+x $；
3. 报15的同学报的数是报13和报17的同学所想数的平均数，因此报17的同学心里想的数为$ 2×15-(8+x)=22-x $；
4. 报19的同学报的数是报17和报1的同学所想数的平均数，因此报1的同学心里想的数为$ 2×19-(22-x)=16+x $；
5. 报3的同学报的数是报1和报5的同学所想数的平均数，据此列方程：
$ 16+x +x=2×3 $
化简得$ 16+2x=6 $，解得$ x=-5 $。
【答案】
$-5$
【知识点】
算术平均数的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合游戏场景命题，趣味性较强，解题核心是熟练运用平均数的性质建立等量关系，通过设未知数逐步推导得到方程，考查了逻辑推理能力和方程思想的应用，推导过程中注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用“每个人报的数是相邻两人心里想的数的平均数”这一规则，即相邻两人心里想的数的和等于对应报的数的2倍。我们先设报5的同学心里想的数为x，顺着环形的相邻关系，用x依次表示出其他相关同学心里想的数，当推导到和报5的同学相邻的另一个同学的数时，就能得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到答案。
【解析】
设报5的同学心里想的数是$ x $：
1. 报7的同学报的数是报5和报9的同学所想数的平均数，因此报9的同学心里想的数为$ 2×7 -x=14-x $；
2. 报11的同学报的数是报9和报13的同学所想数的平均数，因此报13的同学心里想的数为$ 2×11-(14-x)=8+x $；
3. 报15的同学报的数是报13和报17的同学所想数的平均数，因此报17的同学心里想的数为$ 2×15-(8+x)=22-x $；
4. 报19的同学报的数是报17和报1的同学所想数的平均数，因此报1的同学心里想的数为$ 2×19-(22-x)=16+x $；
5. 报3的同学报的数是报1和报5的同学所想数的平均数，据此列方程：
$ 16+x +x=2×3 $
化简得$ 16+2x=6 $，解得$ x=-5 $。
【答案】
$-5$
【知识点】
算术平均数的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合游戏场景命题，趣味性较强，解题核心是熟练运用平均数的性质建立等量关系，通过设未知数逐步推导得到方程，考查了逻辑推理能力和方程思想的应用，推导过程中注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
13. 某校进行消防安全知识测试，测试成绩只分为A,B,C,D四个等级，等级得分依次记为10分、9分、8分、7分.学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，得到了如图所示信息.
(1)求此次测试中被抽取的学生成绩的众数和平均数；
(2)为了使平均数更准确一些，又抽取了10名学生的成绩，其中得9分的有6名，得8分的有2名，还有两名学生M和N的成绩被墨水污染(都不是8分和9分)，且学生M的成绩高于学生N的成绩.求M和N两名学生的成绩，并与(1)相比，判断众数是否发生变化.
(1)求此次测试中被抽取的学生成绩的众数和平均数；
(2)为了使平均数更准确一些，又抽取了10名学生的成绩，其中得9分的有6名，得8分的有2名，还有两名学生M和N的成绩被墨水污染(都不是8分和9分)，且学生M的成绩高于学生N的成绩.求M和N两名学生的成绩，并与(1)相比，判断众数是否发生变化.
答案
13. 【解】(1)由题图可知,被抽取的学生成绩为7分的有8人,人数最多,所以众数为7分;被抽取的学生成绩的平均数为 $\frac{1}{20}×(4×10+2×9+6×8+8×7)=8.1$(分).
(2)因为学生M和N的成绩被墨水污染(都不是8分和9分),且学生M的成绩高于学生N的成绩,所以学生M和N的成绩分别为10分和7分,所以易知新数据中成绩为7分的人数最多,所以新数据的众数为7分. 因为(1)中的众数为7分,所以众数没有发生变化.
(2)因为学生M和N的成绩被墨水污染(都不是8分和9分),且学生M的成绩高于学生N的成绩,所以学生M和N的成绩分别为10分和7分,所以易知新数据中成绩为7分的人数最多,所以新数据的众数为7分. 因为(1)中的众数为7分,所以众数没有发生变化.
解析
【分析】
(1) 求解众数需先明确众数是一组数据中出现次数最多的数，首先从条形统计图中读取各等级对应的人数，找到人数最多的等级对应的分数即为众数；求解平均数时，先计算20名学生的总得分，再除以总人数20即可得到平均成绩。
(2) 首先根据“M、N成绩都不是8分和9分”确定两人成绩只能是10分或7分，再结合“M成绩高于N”即可推出两人的成绩；随后统计新增10人后各分数的人数，找到出现次数最多的分数，和(1)的众数对比即可判断是否变化。
【解析】
(1) 由条形统计图可得各等级对应人数：A等级（10分）4人，B等级（9分）2人，C等级（8分）6人，D等级（7分）8人。
由于7分对应的人数最多，共8人，因此众数为7分。
20名学生总得分：$4×10 + 2×9 + 6×8 + 8×7 = 40 + 18 + 48 + 56 = 162$分，
则平均数为：$\frac{162}{20}=8.1$分。
(2) 根据题意，M、N的成绩只能是10分或7分，又因为M的成绩高于N的成绩，因此M的成绩为10分，N的成绩为7分。
新增10人后各分数人数：10分共$4+1=5$人，9分共$2+6=8$人，8分共$6+2=8$人，7分共$8+1=9$人。
此时出现次数最多的分数仍为7分，因此众数仍为7分，和(1)的众数相比没有发生变化。
【答案】
(1) 众数为7分，平均数为8.1分；
(2) M的成绩为10分，N的成绩为7分，众数没有发生变化。
【知识点】
众数的判定，算术平均数的计算，条形统计图的应用
【点评】
本题结合条形统计图考查统计基础概念，解题关键是准确读取图表信息，计算平均数时要注意总得分和总人数的对应，第二问需要根据限定条件合理推断未知成绩，整体侧重对基础概念和读图能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求解众数需先明确众数是一组数据中出现次数最多的数，首先从条形统计图中读取各等级对应的人数，找到人数最多的等级对应的分数即为众数；求解平均数时，先计算20名学生的总得分，再除以总人数20即可得到平均成绩。
(2) 首先根据“M、N成绩都不是8分和9分”确定两人成绩只能是10分或7分，再结合“M成绩高于N”即可推出两人的成绩；随后统计新增10人后各分数的人数，找到出现次数最多的分数，和(1)的众数对比即可判断是否变化。
【解析】
(1) 由条形统计图可得各等级对应人数：A等级（10分）4人，B等级（9分）2人，C等级（8分）6人，D等级（7分）8人。
由于7分对应的人数最多，共8人，因此众数为7分。
20名学生总得分：$4×10 + 2×9 + 6×8 + 8×7 = 40 + 18 + 48 + 56 = 162$分，
则平均数为：$\frac{162}{20}=8.1$分。
(2) 根据题意，M、N的成绩只能是10分或7分，又因为M的成绩高于N的成绩，因此M的成绩为10分，N的成绩为7分。
新增10人后各分数人数：10分共$4+1=5$人，9分共$2+6=8$人，8分共$6+2=8$人，7分共$8+1=9$人。
此时出现次数最多的分数仍为7分，因此众数仍为7分，和(1)的众数相比没有发生变化。
【答案】
(1) 众数为7分，平均数为8.1分；
(2) M的成绩为10分，N的成绩为7分，众数没有发生变化。
【知识点】
众数的判定，算术平均数的计算，条形统计图的应用
【点评】
本题结合条形统计图考查统计基础概念，解题关键是准确读取图表信息，计算平均数时要注意总得分和总人数的对应，第二问需要根据限定条件合理推断未知成绩，整体侧重对基础概念和读图能力的考查。
【难度系数】
0.7
14. [西安自主招生] 从1到n共n个连续自然数中，擦去其中的某一个数后，余下的数字的平均值为 $48\frac{15}{47}$，求擦去的数.
答案
14. 【解】因为从1到n共n个连续自然数,擦去一个数后平均值为 $48\frac{15}{47}=\frac{2271}{47}$,
所以 $(n-1)$ 应该是47的倍数,且在 $48×2=96$ 附近.
所以可确定原有 $47×2+1=95$(个)数.
$1+2+…+95=4\ 560$,
擦去一个数后的和为 $48\frac{15}{47}×94=4\ 542$,
因此擦去的数为 $4\ 560-4542=18$.
所以 $(n-1)$ 应该是47的倍数,且在 $48×2=96$ 附近.
所以可确定原有 $47×2+1=95$(个)数.
$1+2+…+95=4\ 560$,
擦去一个数后的和为 $48\frac{15}{47}×94=4\ 542$,
因此擦去的数为 $4\ 560-4542=18$.
解析
【分析】
解题时首先从平均值的特征入手：余下数字的平均值为$48\frac{15}{47}$，平均值乘余下数字的个数等于余下数字的总和，总和一定是整数，因此余下的数字个数（即$n-1$）必须是分母47的倍数。其次，1到n的连续自然数的平均数为$\frac{n+1}{2}$，擦去其中一个数后，平均值不会和原平均数相差过大，因此可以结合已知平均值$48\frac{15}{47}$推断n的大致范围，进而确定n的具体值。最后用1到n的总和减去余下数字的总和，即可求出擦去的数。
【解析】
解：首先将平均值化为假分数：$48\frac{15}{47}=\frac{2271}{47}$。
因为余下$n-1$个数的总和为整数，即$\frac{2271}{47}×(n-1)$是整数，所以$n-1$是47的倍数。
又因为1到n的连续自然数的平均数为$\frac{n+1}{2}$，擦去一个数后平均值变化很小，因此$\frac{n+1}{2}\approx48$，可得$n\approx95$，因此$n-1$最接近的47的倍数为$47×2=94$，即$n-1=94$，解得$n=95$。
计算1到95的总和：$1+2+\dots+95=\frac{(1+95)×95}{2}=4560$。
计算余下94个数的总和：$48\frac{15}{47}×94=\frac{2271}{47}×94=2271×2=4542$。
因此擦去的数为：$4560-4542=18$。
【答案】
18
【知识点】
算术平均数、等差数列求和、整除性质
【点评】
本题解题的核心是抓住平均数的分母特征和连续自然数的平均数规律，先确定总个数再计算擦去的数，很好地考查了逻辑推理和数据计算能力，解题时要注意结合数值范围排除不符合条件的情况，避免多解。
【难度系数】
0.4
解题时首先从平均值的特征入手：余下数字的平均值为$48\frac{15}{47}$，平均值乘余下数字的个数等于余下数字的总和，总和一定是整数，因此余下的数字个数（即$n-1$）必须是分母47的倍数。其次，1到n的连续自然数的平均数为$\frac{n+1}{2}$，擦去其中一个数后，平均值不会和原平均数相差过大，因此可以结合已知平均值$48\frac{15}{47}$推断n的大致范围，进而确定n的具体值。最后用1到n的总和减去余下数字的总和，即可求出擦去的数。
【解析】
解：首先将平均值化为假分数：$48\frac{15}{47}=\frac{2271}{47}$。
因为余下$n-1$个数的总和为整数，即$\frac{2271}{47}×(n-1)$是整数，所以$n-1$是47的倍数。
又因为1到n的连续自然数的平均数为$\frac{n+1}{2}$，擦去一个数后平均值变化很小，因此$\frac{n+1}{2}\approx48$，可得$n\approx95$，因此$n-1$最接近的47的倍数为$47×2=94$，即$n-1=94$，解得$n=95$。
计算1到95的总和：$1+2+\dots+95=\frac{(1+95)×95}{2}=4560$。
计算余下94个数的总和：$48\frac{15}{47}×94=\frac{2271}{47}×94=2271×2=4542$。
因此擦去的数为：$4560-4542=18$。
【答案】
18
【知识点】
算术平均数、等差数列求和、整除性质
【点评】
本题解题的核心是抓住平均数的分母特征和连续自然数的平均数规律，先确定总个数再计算擦去的数，很好地考查了逻辑推理和数据计算能力，解题时要注意结合数值范围排除不符合条件的情况，避免多解。
【难度系数】
0.4
