1 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$,点$D$在边$BC$上,$∠ BAD=40°$,在$AC$上取一点$E$,使$∠ ADE=∠ AED$,则$∠ EDC$的度数为（）

A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$

1. B

【分析】
要计算∠EDC的度数，可利用等腰三角形的性质和三角形外角的关系推导。设∠EDC为x，∠B=∠C为α，先根据外角性质表示出∠ADC，再结合∠ADE=∠AED的条件，建立关于x的等式求解。
【解析】
设∠EDC = x，∠B = ∠C = α。
1. 根据三角形外角性质，∠ADC是△ABD的外角，因此：
∠ADC = ∠B + ∠BAD = α + 40°。
2. 又因为∠ADC = ∠ADE + ∠EDC，所以：
∠ADE = ∠ADC - ∠EDC = (α + 40°) - x。
3. 再根据三角形外角性质，∠AED是△CDE的外角，因此：
∠AED = ∠C + ∠EDC = α + x。
4. 已知∠ADE = ∠AED，代入得：
(α + 40°) - x = α + x，
化简得：40° = 2x，解得x = 20°，即∠EDC = 20°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题结合等腰三角形性质与三角形外角定理，通过设未知数列等式求解角度，是几何角度计算的基础题型，需熟练掌握外角性质的应用。
【难度系数】
0.5

2 如图,$AD$平分$∠ BAC$,$∠ EAD=∠ EDA$,$∠ B=54°$.
(1) 求$∠ EAC$的度数;
(2) 若$∠ CAD:∠ E=2:5$,求$∠ E$的度数.

2. (1) $\because ∠ EAD = ∠ EDA, \therefore ∠ EAC + ∠ CAD = ∠ B + ∠ BAD. \because AD$ 平分$∠ BAC, \therefore ∠ CAD=∠ BAD. \therefore ∠ EAC=∠ B. \because ∠ B=54°, \therefore ∠ EAC=54°$
(2) 设$∠ CAD=2x$,则$∠ E=5x,∠ DAB=2x. \because ∠ B=54°, \therefore ∠ EDA=∠ EAD=2x+54°. \because ∠ EDA+∠ EAD+∠ E=180°, \therefore 2x+54°+2x+54°+5x=180°$,解得$x=8°. \therefore ∠ E=5x=40°$

【分析】
第(1)问，要推导∠EAC的度数，需利用角平分线性质和三角形外角的性质：AD平分∠BAC则∠BAD=∠CAD，而∠EDA是△ABD的外角，等于∠B+∠BAD，结合已知∠EAD=∠EDA，通过等量代换可得到∠EAC与∠B的关系，进而求出∠EAC；第(2)问，通过设未知数表示相关角度，结合角平分线性质、三角形外角性质和三角形内角和定理，列方程求解∠E的度数。
【解析】
(1)
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵∠EDA是△ABD的外角，
∴∠EDA=∠B+∠BAD。
又
∵∠EAD=∠EDA，且∠EAD=∠EAC+∠CAD，
∴∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD。
∵∠BAD=∠CAD，两边同时减去∠CAD，得∠EAC=∠B。
∵∠B=54°，
∴∠EAC=54°。
(2) 设∠CAD=2x，由∠CAD:∠E=2:5，得∠E=5x。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=2x。
∵∠EDA是△ABD的外角，
∴∠EDA=∠B+∠BAD=54°+2x，
又
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EAD=54°+2x。
在△ADE中，根据三角形内角和为180°，有：
∠EAD+∠EDA+∠E=180°，
代入得：(54°+2x)+(54°+2x)+5x=180°，
整理得：9x+108°=180°，
解得x=8°，
∴∠E=5x=5×8°=40°。
【答案】
(1) ∠EAC=54°；(2) ∠E=40°
【知识点】
角平分线性质、三角形外角性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查几何中角的相关定理，通过等量代换和设未知数的方法简化角度关系，解题关键是熟练运用角平分线、外角及内角和定理，适合中等水平学生练习。
【难度系数】
0.5

3 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的三等分线交于点$E$,$D$.若$∠ BFC=120^{ \circ }$,$∠ BGC=102^{ \circ }$,则$∠ A$的度数为.

3. $42°$ 【解析】设$∠ GBC=x,∠ DCB=y$. 根据题意,得$∠ FBC=2x,∠ GCB=2y,∠ ABC=3x,∠ ACB=3y$. 在$△ BFC$中,$2x+y=180°-120°=60°$①;在$△ BGC$中,$x+2y=180°-102°=78°$②. ①+②,得$3x+3y=138°. \therefore ∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-(3x+3y)=180°-138°=42°$.

【分析】
要解决这道题，我们可以利用角的三等分线的性质，通过设未知数表示相关角，结合三角形内角和定理建立方程，整体求出∠ABC与∠ACB的和，最终计算∠A。首先设∠GBC=x，∠DCB=y，根据三等分线定义得到对应角的表达式，再分别在△BFC和△BGC中利用三角形内角和列出方程，将两式相加得到3(x+y)的值，最后代入△ABC的内角和公式求解∠A。
【解析】
设∠GBC = x，∠DCB = y。
因为BE、BD是∠ABC的三等分线，所以∠FBC = 2x，∠ABC = 3x；
同理，CG、CD是∠ACB的三等分线，所以∠GCB = 2y，∠ACB = 3y。
在△BFC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠FBC + ∠FCB = 180° - ∠BFC，
即2x + y = 180° - 120° = 60° ①；
在△BGC中，同理可得：
∠GBC + ∠GCB = 180° - ∠BGC，
即x + 2y = 180° - 102° = 78° ②；
将①+②，得：3x + 3y = 60° + 78° = 138°，
所以∠ABC + ∠ACB = 3x + 3y = 138°，
在△ABC中，∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 138° = 42°。
【答案】
42°
【知识点】
三角形内角和定理，角的三等分线
【点评】
本题通过设未知数列方程，结合整体思想简化计算，考查了三角形内角和定理与角的等分性质的应用，关键是找到两个小三角形中角的关系，整体求出∠ABC与∠ACB的和，难度适中。
【难度系数】
0.5

4 小明把一副含$45^{\circ },30^{\circ }$角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中$∠ C=∠ F=90^{\circ },∠ A=45^{\circ },$
$∠ D=30^{\circ }$,则$∠ α +∠ β =$.

4. $210°$

【分析】要计算∠α + ∠β，需利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。通过拆分∠α和∠β，将其转化为已知角（三角尺的固定角度）的和，结合角的和差关系即可求解。具体思路是：把∠α看作由∠A、∠ACD、∠ADC组成的外角，∠β看作由∠B、∠BCD、∠BDC组成的外角，再利用角的组合关系代入已知角度计算。
【解析】根据三角形外角的性质：
∠α = ∠A + ∠ACD + ∠ADC，
∠β = ∠B + ∠BCD + ∠BDC，
因此∠α + ∠β = (∠A + ∠B) + (∠ACD + ∠BCD) + (∠ADC + ∠BDC)。
已知∠A=45°，∠B=45°，∠ACD+∠BCD=∠C=90°，∠ADC+∠BDC=∠D=30°，
代入计算：∠α + ∠β = (45°+45°) + 90° + 30° = 210°。
【答案】210°
【知识点】三角形外角性质、角的和差
【点评】本题结合三角尺的固定角度，考查三角形外角性质的灵活应用，核心是将未知角转化为已知角的和，属于基础几何角度计算题型，需要学生掌握外角定理的应用。
【难度系数】0.5

5 (1) 如图①,计算五角星图案中五个顶角的度数和(即求$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数);
(2) 如图②,若五角星的五个顶角的度数相等,求$∠ 1$的度数.

5. (1) $\because ∠ AFG$是$△ FEC$的外角,$\therefore ∠ AFG=∠ C+∠ E$. 同理,可得$∠ AGF=∠ B+∠ D. \because$ 在$△ AFG$中,$∠ A+∠ AFG+∠ AGF=180°, \therefore ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°$
(2) $\because$ 五角星的五个顶角的度数相等, $\therefore$ 由(1),得$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=∠ E=\dfrac{180°}{5}=36°. \therefore ∠ AGB=∠ B+∠ D=72°. \therefore ∠ 1=180°-∠ AGB=180°-72°=108°$

【分析】
对于（1），要计算五角星五个顶角的和，需利用三角形外角的性质，将分散的∠C、∠E转化为△AFG的外角∠AFG，∠B、∠D转化为△AFG的另一个外角∠AGF，再结合三角形内角和定理，即可求出五个角的和；对于（2），先根据（1）的结论求出每个顶角的度数，再利用三角形外角性质求出∠AGB，最后根据邻补角的关系计算∠1的度数。
【解析】
（1）
∵∠AFG是△FEC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AFG = ∠C + ∠E。
同理，∠AGF是△BGD的外角，
∴∠AGF = ∠B + ∠D。
在△AFG中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，
∴∠A + ∠AFG + ∠AGF = 180°，
将∠AFG=∠C+∠E、∠AGF=∠B+∠D代入上式，得：
∠A + (∠C + ∠E) + (∠B + ∠D) = 180°，
即∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。
（2）
∵五角星的五个顶角的度数相等，结合（1）的结论，
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = 180°÷5 = 36°。
∵∠AGB是△BGD的外角，根据三角形外角性质，
∴∠AGB = ∠B + ∠D = 36° + 36° = 72°。
又
∵∠1与∠AGB互为邻补角，邻补角和为180°，
∴∠1 = 180° - ∠AGB = 180° - 72° = 108°。
【答案】
（1）180°；（2）108°
【知识点】
三角形外角性质、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题考查三角形相关性质在五角星角度计算中的应用，核心是利用三角形外角将分散的角集中到同一三角形中，进而结合内角和、邻补角关系求解，属于基础几何题，需掌握外角转化的方法。
【难度系数】
0.6