1 下列算式,不能运用平方差公式进行运算的是
（）

A.$(x+a)(x-a)$
B.$(a+b)(-a-b)$
C.$(-x-b)(x-b)$
D.$(b+m)(m-b)$

1. B

【分析】要判断算式能否运用平方差公式，需先明确平方差公式的结构：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，公式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。解题时需逐一分析每个选项的两个因式是否符合该结构。
【解析】
平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，存在相同项和互为相反数的项，即$(相同项 + 相反项)(相同项 - 相反项)$。
选项A：$(x+a)(x-a)$，相同项为$x$，相反项为$a$和$-a$，符合平方差公式结构，可运用；
选项B：$(a+b)(-a-b)=-(a+b)(a+b)$，两个因式均为$(a+b)$，无互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能运用；
选项C：$(-x-b)(x-b)=(-b -x)(-b +x)$，相同项为$-b$，相反项为$-x$和$x$，符合平方差公式结构，可运用；
选项D：$(b+m)(m-b)=(m+b)(m-b)$，相同项为$m$，相反项为$b$和$-b$，符合平方差公式结构，可运用。
综上，不能运用平方差公式的是选项B。
【答案】B
【知识点】平方差公式的结构特征
【点评】本题考查平方差公式的应用，核心是掌握公式的结构特点，区分平方差与完全平方公式，属于基础题型，需准确判断相同项与相反项。
【难度系数】0.7

2（易错题）下列计算正确的是（）

A.$(m+3n)(m-3n)=m^{2}-3n^{2}$
B.$(-m+3n)(m-3n)=-m^{2}-9n^{2}$
C.$(-m-3n)(m-3n)=-m^{2}+9n^{2}$
D.$(-m-3n)(m+3n)=m^{2}-9n^{2}$

2. C

【分析】本题需逐一计算每个选项的多项式乘法结果，可利用平方差公式或多项式乘多项式法则展开，对比选项给出的结果判断正误，进而选出正确答案。
【解析】
选项A：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，$(m+3n)(m-3n)=m^2-(3n)^2=m^2-9n^2$，与选项中$m^2-3n^2$不符，A错误；
选项B：将原式变形为$-(m-3n)(m-3n)=-(m-3n)^2$，展开得$-(m^2-6mn+9n^2)=-m^2+6mn-9n^2$，与选项中$-m^2-9n^2$不符，B错误；
选项C：将原式变形为$(-3n -m)(-3n +m)$，利用平方差公式得$(-3n)^2 - m^2=9n^2 -m^2=-m^2+9n^2$，与选项结果一致，C正确；
选项D：将原式变形为$-(m+3n)(m+3n)=-(m+3n)^2$，展开得$-(m^2+6mn+9n^2)=-m^2-6mn-9n^2$，与选项中$m^2-9n^2$不符，D错误。
【答案】C
【知识点】平方差公式、多项式乘多项式
【点评】本题为易错题，主要考查平方差公式、完全平方公式的应用，易错点在于公式结构混淆及符号处理，计算时需仔细核对公式和展开后的符号，避免出错。
【难度系数】0.5

3 下列算式，能连续两次用平方差公式计算的是（）

A.$(x+y)(x^{2}+y^{2})(x-y)$
B.$(x+1)(x^{2}-1)(x+1)$
C.$(x+y)(x^{2}-y^{2})(x-y)$
D.$(x-y)(x^{2}+y^{2})(x-y)$

3. A

【分析】首先明确平方差公式的结构：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，连续两次使用该公式，需调整算式顺序，使前两项先构成平方差，计算后结果再与剩余项构成平方差。逐一分析选项：
1. 选项A：交换后两项顺序得$(x+y)(x-y)(x^2+y^2)$，前两项可构成平方差，计算后结果再与剩余项构成平方差，符合要求；
2. 选项B：$x^2-1=(x-1)(x+1)$，原式整理后仅能使用一次平方差，剩余项为完全平方，无法二次使用；
3. 选项C：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，原式整理后均为完全平方，无法使用平方差公式；
4. 选项D：原式整理后为$(x-y)^2(x^2+y^2)$，仅能使用一次平方差，无法连续使用。
【解析】根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，逐一验证：
选项A：原式$=(x+y)(x-y)(x^2+y^2)$，第一次用平方差：$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$；第二次用平方差：$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)=x^4 - y^4$，符合连续两次使用平方差公式；
选项B：原式$=(x+1)(x-1)(x+1)^2$，仅能使用一次平方差，不符合；
选项C：原式$=(x+y)^2(x-y)^2$，均为完全平方，无法使用平方差公式，不符合；
选项D：原式$=(x-y)^2(x^2+y^2)$，无法连续使用平方差公式，不符合。
【答案】A
【知识点】平方差公式的应用
【点评】本题考查平方差公式的结构特征，核心是掌握公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$的形式，灵活调整算式顺序判断公式使用次数，属于基础题型，需熟练掌握公式结构。
【难度系数】0.5

4 整体思想 已知$(x+2)(x-2)-2x=1$,则$2x^{2}-4x+3$的值为（）

A.13
B.8
C.$-3$
D.5

4. A

【分析】本题考查整式的化简求值，核心运用整体思想。解题思路是：先利用平方差公式化简已知等式，整理出$x^2 - 2x$的整体值；再将所求代数式变形为含有$x^2 - 2x$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解$x$的值，简化运算过程。
【解析】解：先化简已知等式：
$\begin{aligned}(x+2)(x-2)-2x&=1\\x^2 - 4 - 2x&=1\\x^2 - 2x&=1 + 4\\x^2 - 2x&=5\end{aligned}$
对所求代数式变形：
$2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3$
将$x^2 - 2x =5$代入上式：
$2×5 +3 =10 +3=13$
【答案】A
【知识点】整体思想，整式化简求值，平方差公式
【点评】本题通过整体思想简化了整式求值的过程，避免了求解复杂的未知数，是整式运算中常用的解题技巧，适合初中学生巩固基础运算能力。
【难度系数】0.6

5 计算：
(1) $(7-2x)(2x+7)=$；
(2) $(\dfrac{1}{3}a+\dfrac{1}{2}b)(\dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{2}b)=$.

5. (1) $49-4x^{2}$ (2) $\dfrac{1}{9}a^{2}-\dfrac{1}{4}b^{2}$

【分析】
本题考查平方差公式的应用，平方差公式为：$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$。解题时需先识别每个式子中相同的项作为公式中的$m$，互为相反数的项作为公式中的$n$，再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 对$(7-2x)(2x+7)$变形为$(7-2x)(7+2x)$，其中相同项为$7$，互为相反数的项为$2x$与$-2x$，对应平方差公式中$m=7$，$n=2x$，代入得：
$7^2 - (2x)^2 = 49 - 4x^2$；
(2) 式子$(\dfrac{1}{3}a+\dfrac{1}{2}b)(\dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{2}b)$中，相同项为$\dfrac{1}{3}a$，互为相反数的项为$\dfrac{1}{2}b$与$-\dfrac{1}{2}b$，对应平方差公式中$m=\dfrac{1}{3}a$，$n=\dfrac{1}{2}b$，代入得：
$(\dfrac{1}{3}a)^2 - (\dfrac{1}{2}b)^2 = \dfrac{1}{9}a^2 - \dfrac{1}{4}b^2$。
【答案】
(1) $49-4x^{2}$；(2) $\dfrac{1}{9}a^{2}-\dfrac{1}{4}b^{2}$
【知识点】
平方差公式，整式的乘法
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，只要熟练掌握平方差公式的结构特征，准确找出相同项和相反项，就能快速正确解答，属于整式乘法中的基础题目。
【难度系数】
0.8

6 用平方差公式计算下面各式,试写出第一步变形的结果.
(1) $40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}=$;
(2) $2\,025×2\,027-2\,026^{2}=$.

6. (1) $(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})$ (2) $(2\,026-1)×(2\,026+1)-2\,026^{2}$

【分析】
本题需利用平方差公式的结构特征构造式子，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，解题时要将每个式子转化为“两数和×两数差”或符合公式变形的形式，从而完成第一步变形。
【解析】
(1) 把$40\dfrac{2}{3}$拆成$40+\dfrac{2}{3}$，$39\dfrac{1}{3}$拆成$40-\dfrac{2}{3}$，第一步变形为：$(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})$；
(2) 把$2025$转化为$2026-1$，$2027$转化为$2026+1$，第一步变形为：$(2026 -1)×(2026 +1) - 2026^2$。
【答案】
(1) $(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})$；(2) $(2026 -1)×(2026 +1) - 2026^2$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的构造应用，核心是理解公式的结构特征，将原式转化为符合公式的形式，属于基础运算类题目，重点考察对公式结构的掌握。
【难度系数】
0.5

7 教材 P114 练习第 2 变式 计算：
(1) $(3a+5b)(3a-5b)$；
(2) $(5m+2)(5m-2)-(3m+1)(1-3m).$

7. (1) $9a^{2}-25b^{2}$ (2) $34m^{2}-5$

【分析】这两道题均为整式乘法计算，核心运用平方差公式：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。第(1)题直接符合平方差公式结构，可直接套用公式计算；第(2)题需先对第二项的因式变形，将$(1-3m)$转化为$-(3m-1)$，使其符合平方差公式结构，再分别计算后合并同类项，注意处理符号问题。
【解析】
(1) 根据平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，令 $a=3a$，$b=5b$，则：
$(3a+5b)(3a-5b)=(3a)^2 - (5b)^2=9a^2 -25b^2$；
(2) 先利用平方差公式计算前项，再对后项变形后计算：
前项：$(5m+2)(5m-2)=(5m)^2 -2^2=25m^2 -4$；
后项：$(3m+1)(1-3m)=(1+3m)(1-3m)=1^2 - (3m)^2=1 -9m^2$；
因此原式为：
$(25m^2 -4) - (1 -9m^2)=25m^2 -4 -1 +9m^2=34m^2 -5$；
【答案】(1) $9a^2 -25b^2$；(2) $34m^2 -5$
【知识点】平方差公式，整式的混合运算
【点评】本题主要考查平方差公式的应用，第(2)题需灵活变形因式使其符合公式结构，是整式乘法中的基础题型，需熟练掌握公式及符号处理，难度适中。
【难度系数】0.6

8 [2025 海安期末]如图,两个正方形的面积之差为 72,则涂色部分的面积为 （）

A.18
B.24
C.36
D.72

8. C

【分析】
要解决这个问题，我们先设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，根据题意可知两个正方形面积差为$a^2 - b^2 = 72$。接下来观察图形，通过面积转化分析涂色部分的面积表达式，发现涂色部分面积与两个正方形的面积差存在倍数关系，进而计算出结果。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$，由题意得两个正方形的面积之差为：
$a^2 - b^2 = 72$。
观察图形，涂色部分的面积可转化为：
$S_{涂色} = \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}(a^2 - b^2)$。
将$a^2 - b^2 = 72$代入上式，可得：
$S_{涂色} = \frac{1}{2}×72 = 36$。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积、三角形面积、图形面积转化
【点评】
本题结合代数关系与几何图形面积计算，核心是通过图形转化找到涂色部分面积与两个正方形面积差的关系，考查学生的图形分析和代数运算结合能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5