7 若 $m-n=2$,则式子$\dfrac{m^{2}-n^{2}}{m}· \dfrac{2m}{m+n}$的值是（）

A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$

7. D

【分析】
要解决这个问题，需先对给定的分式进行化简，利用平方差公式分解因式后约分，再代入已知条件计算结果。具体思路：1. 观察式子中的分子$m^2 - n^2$，利用平方差公式分解为$(m-n)(m+n)$；2. 对分式乘法进行约分，约去相同的因式；3. 将已知$m-n=2$代入化简后的式子，计算得出结果。
【解析】
解：原式 = $\dfrac{m^2 - n^2}{m} · \dfrac{2m}{m+n}$
利用平方差公式分解因式：$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$，代入得：
原式 = $\dfrac{(m-n)(m+n)}{m} · \dfrac{2m}{m+n}$
约分：分子分母的$m$约掉，$m+n$约掉，得：
原式 = $2(m-n)$
已知$m-n=2$，代入得：
原式 = $2 × 2 = 4$
【答案】
D
【知识点】
分式的化简求值；平方差公式
【点评】
本题考查分式的乘法运算与平方差公式的应用，核心是通过因式分解和约分简化式子，再代入已知条件计算，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7

8 计算：
(1) $\dfrac{2c^{2}}{ab^{2}}· \dfrac{4cd}{-3a^{2}b^{2}}=$；
(2) $(a^{2}-4)÷ \dfrac{a+2}{a}=$.

8. (1) $-\dfrac{8c^{3}d}{3a^{3}b^{4}}$ (2) $a^{2}-2a$

【分析】
第(1)题是分式乘法运算，需遵循分式乘法法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，同时注意符号处理，再对分子分母的同类项约分得到结果；第(2)题是分式除法运算，先将除法转化为乘法（除以分式等于乘其倒数），再对多项式用平方差公式因式分解，最后约去公因式化简。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则：
$\dfrac{2c^{2}}{ab^{2}}· \dfrac{4cd}{-3a^{2}b^{2}} = \dfrac{2c^2 · 4cd}{ab^2 · (-3a^2b^2)} = \dfrac{8c^3d}{-3a^3b^4} = -\dfrac{8c^3d}{3a^3b^4}$；
(2) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$(a^2 - 4)÷\dfrac{a+2}{a} = (a^2 - 4)·\dfrac{a}{a+2} = (a+2)(a-2)·\dfrac{a}{a+2} = a(a-2) = a^2 - 2a$；
【答案】
(1) $-\dfrac{8c^{3}d}{3a^{3}b^{4}}$；(2) $a^{2}-2a$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解（平方差公式）
【点评】
本题考查分式的乘除运算，是初中代数基础题型，需掌握分式乘除法则及平方差公式因式分解，运算时要注意符号处理和约分的准确性，难度适中。
【难度系数】
0.7

9 教材P148练习第4题变式 甲、乙两个工程队合修一条公路,已知甲工程队每天修$(a^{2}-4)\mathrm{m}(a＞10)$,乙工程队每天修$(a-2)^{2}\ \mathrm{m}$,则甲工程队修$900\ \mathrm{m}$所用的时间是乙工程队修$600\ \mathrm{m}$所用时间的倍.

9. $\dfrac{3a-6}{2a+4}$

【分析】首先明确工程问题中“时间=路程÷速度”，分别计算甲、乙工程队修路的时间，再用甲的时间除以乙的时间得到倍数；计算时需对多项式因式分解，再通过分式的乘除和约分化简结果。
【解析】
1. 计算甲工程队修900m的时间：甲的速度为每天$(a^2 -4)\mathrm{m}$，根据时间公式，甲的时间为$\frac{900}{a^2 -4}$天。
2. 计算乙工程队修600m的时间：乙的速度为每天$(a-2)^2\mathrm{m}$，乙的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
3. 求倍数：用甲的时间除以乙的时间，即：
$\frac{900}{a^2 -4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
对$a^2 -4$用平方差公式因式分解得$(a-2)(a+2)$，代入后转化为乘法运算：
$\frac{900}{(a-2)(a+2)} × \frac{(a-2)^2}{600}$
约分：900与600约分为$\frac{3}{2}$，$(a-2)^2$与$(a-2)$约分为$(a-2)$，最终化简得：
$\frac{3(a-2)}{2(a+2)} = \frac{3a -6}{2a +4}$
【答案】$\dfrac{3a-6}{2a+4}$
【知识点】分式的乘除运算、平方差公式因式分解
【点评】本题结合工程问题考查分式运算，核心是利用时间关系列出分式，再通过因式分解和约分化简，需注意平方差公式的应用和约分规则，难度适中。
【难度系数】0.5

10 先化简,再求值:
(1) $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} · \dfrac{3x^3 + 9x^2}{x^2 - 3x}$, 其中 $x = -\dfrac{1}{3}$;
(2) $$$$, 其中 $x = \dfrac{1}{2026}$.

10. (1) 原式$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^{2}} · \dfrac{3x^{2}(x+3)}{x(x-3)} = 3x$. 当 $x = -\dfrac{1}{3}$时,原式$=-1$
(2) 原式$=\dfrac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x(x+1)}{x-1} = x$. 当$x=\dfrac{1}{2026}$时,原式$=\dfrac{1}{2026}$

【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路是先对各分式的分子、分母进行因式分解，再依据分式除法法则将除法转化为乘法，通过约分简化式子，最后代入给定的x值计算结果。
【解析】
先对原式各部分因式分解：
$x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$，$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，$x^2 +x=x(x+1)$；
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以它的倒数，原式可转化为：
$\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} × \dfrac{x(x+1)}{x-1}$
约分后，分子分母的公因式全部约去，化简结果为$x$；
将$x=\dfrac{1}{2026}$代入，得原式$=\dfrac{1}{2026}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2026}$
【知识点】
分式化简求值、因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，关键是通过因式分解和约分简化分式，再代入数值计算，属于基础运算题，需掌握分式除法法则和因式分解方法。
【难度系数】
0.6

11 已知$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3} ≠ 0$,求式子$\dfrac{5a-2b}{a^{2}-4b^{2}}· (a-2b)$的值.

11. 原式$=\dfrac{5a-2b}{a+2b}.\because \dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}≠0,\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$. 设 $a=2k(k≠0)$,则 $b=3k$. $\therefore$ 原式$=\dfrac{10k-6k}{2k+6k}=\dfrac{1}{2}$

【分析】
要解决这个问题，首先利用平方差公式分解原式的分母，通过约分简化分式；再根据已知的比例关系，设参数表示a和b，代入化简后的式子计算，避免直接代入的复杂运算，快速得到结果。
【解析】
解：先对原式化简：
$\begin{aligned}&\dfrac{5a - 2b}{a^2 - 4b^2} · (a - 2b)\\=&\dfrac{5a - 2b}{(a + 2b)(a - 2b)} · (a - 2b) \quad \mathrm{（利用平方差公式：}a^2 - 4b^2=(a+2b)(a-2b)\mathrm{）}\\=&\dfrac{5a - 2b}{a + 2b} \quad \mathrm{（约去公因式}a-2b\mathrm{，且}a≠2b\mathrm{，保证原式有意义）}\end{aligned}$
已知$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}≠0$，可得$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$，设$a=2k(k≠0)$，则$b=3k$，代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{5×2k - 2×3k}{2k + 2×3k}\\&=\dfrac{10k - 6k}{2k + 6k}\\&=\dfrac{4k}{8k}\\&=\dfrac{1}{2} \quad \mathrm{（}k≠0\mathrm{，约去公因式}k\mathrm{）}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值、比例的性质
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，关键在于先通过因式分解和约分简化分式，再利用比例设参数的方法代入计算，考查学生对分式基本性质和比例性质的掌握，运算过程简洁明了。
【难度系数】
0.6

12 教材 P147 例3变式 把同样多的花种撒播在甲、乙两块土地上(如图①②),求甲、乙两块土地的撒播密度的比. 若$ a=\dfrac{5}{3}b, $则哪一块土地的撒播密度大? (说明:甲地花种撒播部分是指边长为a的正方形内去掉一个边长为 b 的正方形蓄水池后余下的部分,撒播密度$=\dfrac{花种数量}{撒播面积})$

12. 设花种数量为 $m$. 由题意,得甲地的撒播密度是$\dfrac{m}{a^{2}-b^{2}}$,乙地的撒播密度是$\dfrac{m}{\dfrac{1}{4}(a+b)^{2}}$. $\therefore$ 甲、乙两块土地的撒播密度的比为$\dfrac{m}{a^{2}-b^{2}}:\dfrac{m}{\dfrac{1}{4}(a+b)^{2}}=\dfrac{a+b}{4(a-b)}$. 当 $a=\dfrac{5}{3}b$ 时,原式 $=1$.
$\therefore$ 若 $a=\dfrac{5}{3}b$,则甲、乙两块土地的撒播密度一样大

【分析】
要解决这个问题，需先明确撒播密度的计算公式：撒播密度=花种数量÷撒播面积。已知两块地的花种数量相同，设为$m$，因此先分别求出甲、乙两块地的撒播面积，再根据密度公式写出各自的密度，进而求出密度比，最后代入$a=\frac{5}{3}b$计算比较即可。
【解析】
设花种数量为$m$。
1. 计算甲地的撒播面积：甲地是边长为$a$的正方形去掉边长为$b$的正方形，因此撒播面积为$a^2 - b^2$，则甲地的撒播密度为$\frac{m}{a^2 - b^2}$。
2. 计算乙地的撒播面积：乙地是边长为$\frac{1}{2}(a+b)$的正方形，因此撒播面积为$[\frac{1}{2}(a+b)]^2=\frac{1}{4}(a+b)^2$，则乙地的撒播密度为$\frac{m}{\frac{1}{4}(a+b)^2}$。
3. 求甲、乙两块土地的撒播密度比：
$\begin{aligned}\frac{m}{a^2 - b^2}:\frac{m}{\frac{1}{4}(a+b)^2}&=\frac{m}{a^2 - b^2}÷\frac{m}{\frac{1}{4}(a+b)^2}\\&=\frac{1}{(a+b)(a-b)}×\frac{1}{4}(a+b)^2\\&=\frac{a+b}{4(a-b)}\end{aligned}$
4. 代入$a=\frac{5}{3}b$计算：
$\begin{aligned}\frac{a+b}{4(a-b)}&=\frac{\frac{5}{3}b + b}{4×(\frac{5}{3}b - b)}\\&=\frac{\frac{8}{3}b}{4×\frac{2}{3}b}\\&=\frac{\frac{8}{3}b}{\frac{8}{3}b}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
甲、乙两块土地的撒播密度的比为$\frac{a+b}{4(a-b)}$；当$a=\frac{5}{3}b$时，甲、乙两块土地的撒播密度一样大。
【知识点】
分式化简、正方形面积计算、代数式求值
【点评】
本题结合实际问题考查代数式的应用，关键是正确求出两块地的撒播面积，通过因式分解化简分式，进而完成密度比的计算与比较，属于基础的代数应用题型。
【难度系数】
0.5