6. (2025 苏州市期末) 如图, 在平面直角坐标系$xOy$中, 已知$△ ABC$是等腰直角三角形,$∠ ACB=90°$, 点$B$在$x$轴负半轴上, 点$C$在$y$轴负半轴上. 若点$A$的纵坐标始终为4, 则点$O$到直线$AB$的距离的最大值是.

6. $2\sqrt{2}$ 提示:如图,作直线$y=4$,交$y$轴于点E,过点O作$OD⊥AB$于点D,取点$F(-4,0)$,连接EF交AB于点G,连接OG,则$OE=OF$.因为$∠ACB=90°$,所以$∠ACE+∠BCO=90°$.因为$∠BCO+∠CBO=90°$,所以$∠ACE=∠CBO$.因为$∠AEC=∠COB=90°$,$AC=BC$,所以$△ACE≌△CBO$(AAS),所以$AE=CO$,$CE=BO$.所以$BO-OF=CE-OE$,即$BF=CO$,所以$AE=BF$.易证$△AEG≌△BFG$(AAS),所以$EG=FG$.因为点$E(0,4)$,所以点$G(-2,2)$,所以$OG=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}$.因为$OD≤OG$,所以$OD$长的最大值为$2\sqrt{2}$.

7. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,过点$C(0,6)$的直线$AC$与直线$OA$相交于点$A(4,2)$,动点$M$在线段$OA$或射线$AC$上运动.若$△ OMC$的面积是$△ OAC$面积的$\dfrac{1}{4}$,则点$M$的坐标为.

7. $(1,\frac{1}{2})$或$(1,5)$或$(-1,7)$ 提示:根据题意,易求得直线$AC$的函数表达式为$y=-x+6$,直线$OA$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x$.因为当$△OMC$的面积是$△OAC$面积的$\frac{1}{4}$时,点M到$y$轴的距离是$\frac{1}{4}×4=1$,所以点M的横坐标为1或-1.因为点M在线段OA或射线AC上,所以点M的坐标为$(1,\frac{1}{2})$或$(1,5)$或$(-1,7)$.

8. (2025 连云港市期末) 如图, 直线 $y=\dfrac{4}{3} x+$8 与 x 轴、y 轴分别交于点 B 和点 A,C 是线段 O A 上的一点, 将 $△ ABC$ 沿 B C 所在的直线折叠, 点 A 恰好落在 x 轴上的点 $A'$处. 若 P 是 y 轴负半轴上一动点, 且$△ BCP$ 是等腰三角形, 则点 P 的坐标为
.

8. $(0,3-3\sqrt{5})$或$(0,-\frac{9}{2})$或$(0,-3)$ 提示:易得点$A(0,8)$,点$B(-6,0)$,所以$A'B=AB=10$.所以$OA'=A'B-OB=4$.设$OC=m$,则$A'C=AC=8-m$.在$\mathrm{Rt}△A'OC$中,根据勾股定理,得$A'C^2=A'O^2+OC^2$,即$(8-m)^2=4^2+m^2$,解得$m=3$,所以$OC=3$.在$\mathrm{Rt}△BOC$中,根据勾股定理,得$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=3\sqrt{5}$.因为P是$y$轴负半轴上一动点,且$△BCP$是等腰三角形,所以当$CP=BC=3\sqrt{5}$时,$OP=CP-OC=3\sqrt{5}-3$,此时点P的坐标为$(0,3-3\sqrt{5})$;当$BP=CP$时,设$OP=a$,则$BP=CP=a+3$,在$\mathrm{Rt}△BOP$中,由勾股定理,得$BP^2=OB^2+OP^2$,即$(a+3)^2=36+a^2$,解得$a=\frac{9}{2}$,所以$OP=\frac{9}{2}$,此时点P的坐标为$(0,-\frac{9}{2})$;当$BP=BC$时,O是CP的中点,所以$OP=OC=3$,此时点P的坐标为$(0,-3)$.综上所述,点P的坐标为$(0,3-3\sqrt{5})$或$(0,-\frac{9}{2})$或$(0,-3)$.

9. (2025 连云港市期末)【构建模型】
(1) 如图 1,在平面直角坐标系中,直线 $y= -2x+4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点$B$,以 $AB$ 为腰在第一象限作等腰直角三角形 $ABC,∠ BAC=90°$,则点 $A$ 的坐标为,点 $B$ 的坐标为.
(2) 求(1)中点 $C$ 的坐标,并求出直线 $BC$的函数表达式.
【模型应用】
(3) 如图 2,在平面直角坐标系中,一次函数 $y=-2x+4$ 的图象分别交 $x$ 轴、$y$轴于点 $A,B$,将直线 $AB$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $45°$,交 $x$ 轴于点 $C$,则直线 $BC$的函数表达式是.
【拓展延伸】
(4) 如图 3,$B$ 是 $y$ 轴上的一个动点,点 $A(2,$$0)$,连接 $AB$,将线段 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $AC$,连接 $BC,OC$. 在点$B$ 的运动过程当中,线段 $OC$ 的长是否存在最小值? 若存在,直接写出这个最小值;若不存在,请说明理由.

9. 解:(1) $(2,0)$ $(0,4)$
(2) 过点C作$CH⊥x$轴于点H,所以$∠CHA=∠AOB=∠BAC=90°$,所以$∠ABO + ∠BAO = 90°$, $∠BAO + ∠CAH=90°$,所以$∠ABO=∠CAH$.又因为$△ABC$为等腰直角三角形,所以$AB=CA$,所以$△ABO≌△CAH$(AAS),所以$CH=AO=2$,$AH=BO=4$.所以$OH=AO+AH=6$,所以点$C(6,2)$.设直线BC的函数表达式为$y=k_1x+b_1$.把点$B(0,4)$,$C(6,2)$代入,得$\begin{cases} b_1=4,\\ 6k_1+b_1=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b_1=4,\\ k_1=-\frac{1}{3}. \end{cases}$ 所以直线BC的函数表达式为$y=-\frac{1}{3}x+4$.
(3) $y=3x+4$ 提示:由(1)可得点$A(2,0)$,$B(0,4)$.如图,过点A作$AD⊥AB$,交直线BC于点D,过点D作$DE⊥x$轴于点E,所以$∠BAD=∠AOB=∠AED=90°$,所以$∠ABO+∠BAO=90°$,$∠BAO+∠DAE=90°$,所以$∠ABO=∠DAE$.又因为将直线AB绕点B顺时针旋转$45°$,所以$∠ABC=45°$,所以$∠ADB=90°-∠ABC=45°=∠ABC$,所以$AB=DA$,所以$△ABO≌△DAE$(AAS),所以$DE=AO=2$,$AE=BO=4$.所以$OE=AE-OA=2$,所以点$D(-2,-2)$.设直线BC的函数表达式为$y=k_2x+b_2$,把点$B(0,4)$,$D(-2,-2)$代入,得$\begin{cases} b_2=4,\\ -2k_2+b_2=-2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b_2=4,\\ k_2=3. \end{cases}$ 所以直线BC的函数表达式为$y=3x+4$.
(4) 存在,线段OC长的最小值为2. 提示:过点C作$CM⊥x$轴于点M.由(2)可得$△ABO≌△CAM$(AAS),所以$CM=AO=2$.所以随点B的运动而运动的点C到x轴的距离不变,始终为2,即点C的运动轨迹为直线$y=2$.所以$OC≥2$.当点C在y轴上时,OC长取得最小值,最小值为2.