严新是个很骄傲的人，总以为自己很聪明。一天，她对伙伴大卫说：“我能将100枚围棋子装在15种塑料杯里，并能够使每只杯子里的棋子数目都不相同。”请问：严新说的这句话对吗？

严新说的话是不对的

【分析】要判断严新的说法是否正确，需先计算将15只杯子中棋子数目都不同时，最少需要的棋子总数。若最少需要的棋子数超过100，则该说法不可能成立。
【解析】要使15只杯子里的棋子数目都不相同，最少的情况是每个杯子的棋子数为从1开始的连续不同正整数，即1、2、3、…、15。根据等差数列求和公式，总和为（首项+末项）×项数÷2，代入计算得：(1+15)×15÷2=120枚。因为120＞100，所以无法满足条件，严新的说法不对。
【答案】严新说的话是不对的
【知识点】等差数列求和、数的大小比较
【点评】本题通过计算最少需要的棋子总数，与实际棋子数对比得出结论，考查等差数列求和的实际应用，逻辑清晰，适合基础阶段学生练习。
【难度系数】0.5

完全数是指一个数的全部约数(包括1但不包括这个数字本身)之和仍然等于该数。最小的完全数是6，它的约数是3，2，1，而它也是1，2，3的和。迄今为止，已经发现了38个完全数。你能写出第二小的完全数吗？第三小的呢？

28，496

【分析】首先明确完全数的定义：一个数的全部约数（包括1但不包括该数本身）之和等于该数，这样的数即为完全数。要找到第二小和第三小的完全数，需从最小完全数6之后的数开始，依次计算每个数的约数（不含自身）之和，判断是否等于该数，进而找到符合条件的数。
【解析】
1. 确定最小完全数为6，寻找第二小的完全数：
从大于6的数开始依次验证约数和：
7的约数（不含自身）：1，和为1≠7；
8的约数（不含自身）：1、2、4，和为7≠8；
…（省略中间验证步骤）
28的约数（不含自身）：1、2、4、7、14，和为1+2+4+7+14=28，符合完全数定义，故28是第二小的完全数。
2. 寻找第三小的完全数：
从29开始继续验证，最终找到496：
496的约数（不含自身）：1、2、4、8、16、31、62、124、248，和为1+2+4+8+16+31+62+124+248=496，符合完全数定义，故496是第三小的完全数。
【答案】28，496
【知识点】完全数的概念、约数的计算
【点评】本题考查对完全数定义的理解与应用，核心是掌握约数的计算方法，通过逐步排查的方式找到目标数，属于数论基础类题目，能帮助学生巩固特殊数的性质认知。
【难度系数】0.5

有一个非常吝啬的烟鬼，他每抽一根好烟的时候，总要剩下这支烟的$\frac{1}{3}$。因为有了3个$\frac{1}{3}$的烟头时，他又可以把它们组合成一根好烟。现在，这个烟鬼有9根好烟，按这种抽法，这些烟够他抽多少天？

9根烟可以供这个烟鬼抽13天

【分析】
要解决这个问题，需理清“抽剩的烟头换好烟”的逻辑：先计算初始烟抽完后的烟头数，再根据“3个烟头换1根好烟”的规则逐步计算可换烟的数量，最后将所有抽的烟的数量相加，注意剩余烟头不足3个时无法兑换。
【解析】
1. 初始9根好烟全部抽完后，剩余烟头数为：$9 × \frac{1}{3} = 9$个；
2. 用9个烟头换好烟，可换数量为：$9 ÷ 3 = 3$根，这3根抽完后又得到3个烟头；
3. 用3个烟头换1根好烟，抽完后得到1个烟头，此时剩余1个烟头，不足3个，无法再换；
4. 总抽的天数为：$9 + 3 + 1 = 13$天。
【答案】
13天
【知识点】
有理数运算、实际应用问题
【点评】
本题是结合生活场景的数学应用题，核心是明确烟头换烟的规则，需逐步计算避免遗漏，注意剩余烟头不足时无法兑换，是易忽略的细节。
【难度系数】
0.5