【典例1】如图，在$△ ABC$中，$AB＜BC$，$BP$平分$∠ ABC$，$AP ⊥ BP$于$P$点，连接$PC$，若$△ ABC$的面积为4，则$△ BPC$的面积为。

解:延长AP交BC于点D,证△ABP≌△DBP，
∴AP=DP,
∴S△ABP=S△DPB，
S△APC=S△DPC,
∴S△BPC=1/2 S△ABC=2。

【分析】
遇到角平分线+垂直于角平分线的线段的结构时，可采用补形法构造全等三角形解题。首先结合已知条件：BP平分∠ABC，AP⊥BP，我们延长AP交BC于点D，借助角平分线和垂直的条件证明△ABP与△DBP全等，得到AP=DP，再根据等底同高的三角形面积相等，推导△BPC和△ABC的面积关系即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，
由等底同高的三角形面积相等可得：$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$，$S_{△ APC}=S_{△ DPC}$，
∴$S_{△ BPC}=S_{△ DBP}+S_{△ DPC}=\frac{1}{2}(S_{△ ABP}+S_{△ DBP}+S_{△ APC}+S_{△ DPC})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=4$，
∴$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线的典型应用题型，当出现“角平分线+边上垂线”的结构时，延长垂线构造全等三角形是常用解题技巧，通过全等转化线段关系，再结合等底同高的三角形面积相等的性质，即可快速求得目标图形面积。
【难度系数】
0.7

变式.如图,四边形ABCD中,AD//BC,点E在CD上,AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA.若AE=4,BE=6,则四边形ABCD的面积为.

解:延长AE交BC于点F,易证BE⊥AF,△ADE≌△FCE，
S△ABF=1/2 ×AF·BE=24，
∴S四边形ABCD=S△ABF=24。

【分析】
本题可利用平行线和角平分线的性质推导角的关系，再通过补形法构造全等三角形转化面积求解。首先根据AD//BC可得同旁内角和为180°，结合角平分线定义可推出BE⊥AF；再延长AE交BC延长线于F，可证△ADE≌△FCE，将四边形ABCD的面积转化为△ABF的面积，最后利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
延长AE交BC的延长线于点F。
1. 推导BE⊥AF：
∵AD//BC，
∴∠DAB + ∠CBA = 180°。
∵AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
∴∠EAB = $\frac{1}{2}$∠DAB，∠EBA = $\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠EAB + ∠EBA = $\frac{1}{2}$(∠DAB + ∠CBA) = 90°，
∴∠AEB = 180° - 90° = 90°，即BE⊥AF。
2. 证明AE=EF及三角形全等：
∵AD//BC，
∴∠DAE = ∠F，
又
∵∠DAE = ∠BAE，
∴∠BAE = ∠F，
∴AB = BF，结合BE平分∠CBA，根据等腰三角形三线合一可得AE = EF = 4，即AF = AE + EF = 8。
在△ADE和△FCE中：
$\{\begin{array}{l}∠DAE = ∠F \\AE = FE \\∠AED = ∠FEC\end{array} $
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴$S_{△ ADE}=S_{△ FCE}$。
3. 计算面积：
$S_{四边形ABCD} = S_{四边形ABCE} + S_{△ ADE} = S_{四边形ABCE} + S_{△ FCE} = S_{△ ABF}$，
$S_{△ ABF} = \frac{1}{2} × AF × BE = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24$。
【答案】
24
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线模型中补形法的典型应用，解题关键是通过延长线段构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为易计算的三角形面积，很好地考查了转化思想的运用。
【难度系数】
0.6

【典例2】如图，在$△ AOB$中，$AO=OB$，$∠ AOB=90°$，$BD$平分$∠ ABO$交$AO$于点$D$，$AE⊥ BD$交$BD$延长线于点$E$.若$BD=8$，则$△ ABD$的面积为.

解:延长AE交BO的延长线于点F，
在△ABE和△FBE中，
{∠ABE=∠FBE，
BE=BE，
∠AEB=∠FEB，
∴△ABE≌△FBE(ASA),
∴AE=EF，
又
∵∠AED=∠AOB=90°,
∴∠FAD=∠DBO，
在△AOF和△BOD中,{∠FAO=∠DBO，
AO=BO，
∠AOF=∠BOD，
∴△AOF≌△BOD(ASA),
∴AF=BD=8,
∴AE=4，
S△ABD=1/2 ×8×4=16。

【分析】
遇到角平分线与角平分线上的垂线组合的条件时，可利用角平分线的轴对称性，延长垂线与角的另一边相交构造全等三角形。本题解题思路如下：第一步，延长AE交BO的延长线于点F，先证明△ABE和△FBE全等，得到AE=EF，即AE是AF的一半；第二步，证明△AOF和△BOD全等，得到AF与BD相等，即可求出AE的长度；最后以BD为底、AE为高，计算△ABD的面积即可。
【解析】
解：延长AE交BO的延长线于点F，
在△ABE和△FBE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠FBE, \\BE=BE, \\∠AEB=∠FEB=90°,\end{array} $
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AE=EF，即$AE=\frac{1}{2}AF$。
∵∠AED=∠AOB=90°，∠ADE=∠BDO，
∴∠FAD=∠DBO（同角的余角相等）。
在△AOF和△BOD中，
$\{\begin{array}{l}∠FAO=∠DBO, \\AO=BO, \\∠AOF=∠BOD=90°,\end{array} $
∴△AOF≌△BOD(ASA)，
∴AF=BD=8，
∴$AE=\frac{1}{2}×8=4$。
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×BD×AE=\frac{1}{2}×8×4=16$。

【答案】
16
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线辅助线构造，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线相关模型的典型应用题，用到“角平分线遇垂线，延长构造全等”的补形法，将未知的三角形高转化为已知线段的一半，解题的核心是熟练掌握角平分线相关的常见辅助线构造方法，结合全等三角形的性质求解。
【难度系数】
0.6

变式.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点 A,C 分别在 x 轴和 y 轴上,AC=BC,∠ACB=90°,BC 交 x 轴于点 D,且 AD 恰好平分∠BAC.若 A(-4,0),D(m,0),点 B 的纵坐标为 n,则 2n+m 的值为.

解:过点 B 作BE⊥x轴于点E,交AC延长线于点H，
在△ABE和△AHE中,{∠EAB=∠EAH，
AE=AE，
∠BEA=∠AEH，
∴△ABE≌△AHE(ASA),
∴EH=BE，
又
∵∠ACD=∠BED=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACD和△BCH中,{∠CAD=∠CBH，
AC=BC，
∠ACD=∠BCH，
∴△ACD≌△BCH(ASA),
∴AD=BH，
又
∵AD=m+4,BH=-2n，
∴m+4=-2n,
∴2n+m=-4。

【分析】
本题可结合角平分线的补形模型求解：①首先观察到AD平分∠BAC，结合平面直角坐标系的x轴为∠BAC的一边，过点B作x轴的垂线并延长交AC的延长线于H，利用角平分线、公共边、直角可证△ABE≌△AHE，得到BH=2BE；②再结合△ACB是等腰直角三角形，利用同角的余角相等得到一组角相等，即可证明△ACD≌△BCH，得到AD=BH；③最后结合坐标的几何意义，将AD、BH的长度用含m、n的式子表示，整理即可求出2n+m的值。
【解析】
过点B作BE⊥x轴于点E，交AC延长线于点H，
在△ABE和△AHE中，
$\{\begin{array}{l}∠ EAB=∠ EAH\\ AE=AE\\ ∠ BEA=∠ AEH=90°\end{array} $
∴△ABE≌△AHE(ASA)，
∴EH=BE，即$BH=2BE$，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，
∴∠CAD=∠CBE（同角的余角相等），
在△ACD和△BCH中，
$\{\begin{array}{l}∠ CAD=∠ CBH\\ AC=BC\\ ∠ ACD=∠ BCH=90°\end{array} $
∴△ACD≌△BCH(ASA)，
∴$AD=BH$，
∵A(-4,0)，D(m,0)，
∴$AD=m-(-4)=m+4$，
∵点B在第四象限，纵坐标为n，
∴$BE=-n$，则$BH=2BE=-2n$，
∴$m+4=-2n$，
移项得$2n+m=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
角平分线的应用，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线补形模型的典型应用，解题的关键是根据角平分线的特征构造全等三角形，再结合等腰直角三角形的性质建立线段间的等量关系，同时需要注意坐标与线段长度的转化，尤其是第四象限点的纵坐标为负的特点。
【难度系数】
0.6