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8.(2024·海州区期中)已知$△ ABC$的三边长分别为9,12,15,则最长边上的中线长为
7.5
.答案
8.7.5
9.(2024·灌南县期中)若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm,12 cm,则它的面积为
120
$ \mathrm{cm^{2}}$.答案
9.120
10. (2024·涟水县期末)如图,在四边形$ABCD$中,$∠ BAD=∠ BCD=90°$,$M,N$分别是对角线$BD,AC$的中点.若$AB=6$,$AD=AC=8$,则$MN=$
3
.答案
10.3
三、解答题(共50分)
11.(15分)(2024·东海县期中)如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地的高度AB为2.7米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.5米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.6米的地方时($BC=1.6$米),感应门自动打开,AD为多少米?
11.(15分)(2024·东海县期中)如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地的高度AB为2.7米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.5米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.6米的地方时($BC=1.6$米),感应门自动打开,AD为多少米?
答案
11.解:如答图,过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,则$DE=BC=1.6$米,$BE=CD=1.5$米,$∠ AED=90°$.
$\because AB=2.7$米,$\therefore AE=AB-BE=2.7-1.5=1.2$(米).
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{1.2^2+1.6^2}=2$(米).
答:$AD$为2米.
12.(15分)(2024·淮安期末)如图,学校新栽了两棵树,为保证树与地面垂直,现用两根长度相同的竹竿 PC,PD 对其进行加固.已知两树间距 AB=5 米,AC=1.5 米,BD=2 米,图中 A,P,B 三点在同一直线上.求竹竿固定点 P 到点 A 的距离.(结果精确到 0.1 米)
答案
12.解:设$PA=x$米,则$PB=(5-x)$米,
根据题意,得$x^2+1.5^2=(5-x)^2+2^2$,
$x^2+2.25=25-10x+x^2+4$,解得$x=2.675\approx2.7$.
答:竹竿固定点$P$到点$A$的距离约为2.7米.
根据题意,得$x^2+1.5^2=(5-x)^2+2^2$,
$x^2+2.25=25-10x+x^2+4$,解得$x=2.675\approx2.7$.
答:竹竿固定点$P$到点$A$的距离约为2.7米.
13.(20分)(2024·灌南县期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90^{ \circ }$,$AB=6\ {cm}$,$BC=10\ {cm}$,点$D$在线段$AC$上,且$CD=2\ {cm}$,动点$P$从距点$A\ 10\ {cm}$的点$E$出发,以$2\ {cm/s}$的速度沿射线$EA$的方向运动了$t\ {s}$.
(1)$AD$的长为
(2)若$CP=BP$,求$t$的值.
(1)$AD$的长为
6
${cm}$;(2)若$CP=BP$,求$t$的值.
答案
13.(1)6
(2)解:由题意,得$PE=2t\ \mathrm{cm}$,则$AP=(10-2t)\mathrm{cm}$.
由(1)知$AC=8\ \mathrm{cm}$.
当$PC=PB$时,$PA^2+AC^2=PB^2$,
$\therefore (10-2t)^2+8^2=(10-2t+6)^2$,解得$t=\dfrac{23}{6}$,
即$t$的值为$\dfrac{23}{6}$.
(2)解:由题意,得$PE=2t\ \mathrm{cm}$,则$AP=(10-2t)\mathrm{cm}$.
由(1)知$AC=8\ \mathrm{cm}$.
当$PC=PB$时,$PA^2+AC^2=PB^2$,
$\therefore (10-2t)^2+8^2=(10-2t+6)^2$,解得$t=\dfrac{23}{6}$,
即$t$的值为$\dfrac{23}{6}$.
