1 (2025 徐州沛县月考)已知小红和姐姐相距 1.6 km. 如果她们同时出发且相向而行,那么经过 10 min 两人相遇;如果她们同向而行,且姐姐比小红先出发 10 min,那么在小红出发后 15 min 姐姐追上小红. 求小红、姐姐的平均速度.

解：设小红的平均速度是$x\mathrm{m}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$，姐姐的平均速度是$y\mathrm{m}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$。
根据题意，得$\{\begin{array}{l}10x + 10y = 1600\\(10 + 15)y - 15x = 1600\end{array} $，
解得$\{\begin{array}{l}x = 60\\y = 100\end{array} $，
所以小红的平均速度是$60\mathrm{m}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$，姐姐的平均速度是$100\mathrm{m}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$。

2 新情境某科研团队对两款仿生机器人 A,B 进行步行性能测试,计划让一台 A 型机器人和一台 B 型机器人共同完成步行接力任务,A 型机器人走一段路程后立即由 B 型机器人接着走. 在接力测试中发现 A 型机器人走 10 步,接着 B 型机器人走 8 步,共需要 14 s;A 型机器人走 15 步,接着 B 型机器人走 20 步,共需要 27 s.
(1) A 型机器人和 B 型机器人走一步各需要多少秒?
(2) 已知 A 型机器人的单步步长为 75 cm,B 型机器人的单步步长为 65 cm,在一次接力测试中,一台 A 型机器人和一台 B 型机器人需共同完成一段 30 m 的接力任务,每台机器人的总步数均为整数,则完成这次接力任务的时间可能是多少秒?

解：（1）设A型机器人走一步需要$a\mathrm{s}$，B型机器人走一步需要$b\mathrm{s}$。
根据题意，得$\{\begin{array}{l}10a + 8b = 14\\15a + 20b = 27\end{array} $，
解得$\{\begin{array}{l}a = 0.8\\b = 0.75\end{array} $，
所以A型机器人走一步需要$0.8\mathrm{s}$，B型机器人走一步需要$0.75\mathrm{s}$。
（2）设A型机器人走了$m$步，B型机器人走了$n$步。
根据题意，得$75m + 65n = 3000$，则$m = 40 - \dfrac{13}{15}n$。
因为$m$，$n$为正整数，所以$n$为$15$的整数倍，
所以$\{\begin{array}{l}m = 27\\n = 15\end{array} $或$\{\begin{array}{l}m = 14\\n = 30\end{array} $或$\{\begin{array}{l}m = 1\\n = 45\end{array} $，
当$\{\begin{array}{l}m = 27\\n = 15\end{array} $时，完成接力任务的时间为$27×0.8 + 15×0.75 = 32.85(\mathrm{s})$；
当$\{\begin{array}{l}m = 14\\n = 30\end{array} $时，完成接力任务的时间为$14×0.8 + 30×0.75 = 33.7(\mathrm{s})$；
当$\{\begin{array}{l}m = 1\\n = 45\end{array} $时，完成接力任务的时间为$1×0.8 + 45×0.75 = 34.55(\mathrm{s})$，
所以完成接力任务的时间可能为$32.85\mathrm{s}$，$33.7\mathrm{s}$，$34.55\mathrm{s}$。

3 (2025 南通如皋期中)苗苗在学习了二元一次方程组相关知识后,对汽车的轮胎磨损问题进行了探究. 已知某种汽车前轮胎行驶 4 万公里时报废,后轮胎行驶 6 万公里时报废,轮胎报废的时候磨损程度为 1.
根据资料显示,汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重,如果只更换前轮胎,那么行驶时的安全性会下降,但是如果一起更换轮胎,汽车的维护成本将会提高,所以为了解决这个问题,我们可以定期交换前后轮胎.
(1) 该种汽车每行驶 1 万公里,前轮胎的磨损为$\frac{1}{4}$,后轮胎的磨损为;
(2) 假设该种汽车行驶 x 万公里之后,将前轮胎交换到了后轮的位置,然后继续行驶了 y 万公里后,该轮胎报废,此时轮胎的磨损程度为 1. 请依据上述信息,列一个关于 x,y 的方程;
(3) 当前、后轮胎一起报废时,汽车的行驶里程是多少万公里?

解：（1）$\dfrac{1}{6}$
（2）根据题意，得$\dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{6}y = 1$。
（3）由（2），得$\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{6}y = 1①\\\dfrac{1}{6}x + \dfrac{1}{4}y = 1②\end{array} $，
由$(① + ②)÷\dfrac{5}{12}$，得$x + y = \dfrac{24}{5}$，
所以当前、后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是$\dfrac{24}{5}$万公里。