9.分解因式.
(1) $2a^2 - \frac{1}{2}$.
(2) $a^3b - 2a^2b^2 + ab^3$.
(3) $25(a+b)^2 - 9(a-b)^2$.
(4) $a^2(x-y) + 9b^2(y-x)$.

9.(1)原式$=\frac{1}{2}(4a^2-1)=\frac{1}{2}(2a+1)(2a-1)$.
(2)原式$=ab(a^2-2ab+b^2)=ab(a-b)^2$.
(3)原式$=[5(a+b)+3(a-b)][5(a+b)-3(a-b)]=(8a+2b)(2a+8b)$
$=4(4a+b)(a+4b)$.
(4)原式$=(x-y)(a^2-9b^2)=(x-y)(a+3b)(a-3b)$.

【分析】
因式分解的通用解题思路为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后的式子是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果，确保每一个因式都不能再分解，且结果为最简整式乘积形式。
各小题具体思考路径：(1) 先提取公因式$\frac{1}{2}$，剩余$4a^2-1$符合平方差公式特征，继续分解即可；(2) 先提取公因式$ab$，剩余$a^2-2ab+b^2$符合完全平方公式特征，继续分解；(3) 将$25(a+b)^2$看作$[5(a+b)]^2$，$9(a-b)^2$看作$[3(a-b)]^2$，整体符合平方差公式特征，套用公式展开后，再提取每个因式中的公因式化简到最简；(4) 先将$y-x$变形为$-(x-y)$，提取公因式$(x-y)$后，剩余$a^2-9b^2$符合平方差公式特征，继续分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式，再套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$：
原式$=\frac{1}{2}(4a^2-1)=\frac{1}{2}(2a+1)(2a-1)$
(2) 先提取公因式，再套用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$：
原式$=ab(a^2-2ab+b^2)=ab(a-b)^2$
(3) 整体套用平方差公式，展开后提取公因式化简：
原式$=[5(a+b)+3(a-b)][5(a+b)-3(a-b)]$
$=(8a+2b)(2a+8b)$
$=4(4a+b)(a+4b)$
(4) 先统一公因式，提取后再套用平方差公式：
原式$=(x-y)(a^2-9b^2)=(x-y)(a+3b)(a-3b)$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}(2a+1)(2a-1)$
(2) $ab(a-b)^2$
(3) $4(4a+b)(a+4b)$
(4) $(x-y)(a+3b)(a-3b)$
【知识点】
提公因式法、平方差公式、完全平方公式
【点评】
这是因式分解的基础常规题型，核心考察因式分解“一提二套三查”的基本步骤，解题时要注意公因式要提尽，套用公式时需准确识别公式结构，遇到含多项式的项可运用整体思想简化计算，最后要确认所有因式不能再分解，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.75

10.学完多项式乘多项式后，爱思考的小明发现：
$(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq.$
(1)若$(x+3)(x-4)=x^2+mx+n$，那么$m$的值是________，$n$的值是________.
(2)若$(x+a)(x+b)=x^2+3x-13$，求$a^3b+ab^3+2a^2b^2$的值.

10.(1)依题意，$(x+3)(x-4)=x^2-4x+3x-12=x^2-x-12$，
$\because (x+3)(x-4)=x^2+mx+n$，
$\therefore m=-1,n=-12$.
故答案为$-1,-12$.
(2)依题意，$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$，
$\because (x+a)(x+b)=x^2+3x-13$，
$\therefore a+b=3,ab=-13$.
则$a^3b+ab^3+2a^2b^2=ab(a^2+b^2+2ab)=ab(a+b)^2$.
把$a+b=3,ab=-13$代入$ab(a+b)^2$，
得$ab(a+b)^2=-13×3^2=-13×9=-117$.

【分析】
(1) 先利用多项式乘多项式的运算法则展开等式左侧的式子，再将展开结果与右侧的多项式对比，根据两个多项式相等时对应项系数相等的性质，就能直接求出m和n的值；(2) 同样先展开左侧的多项式，对比系数得到a+b和ab的整体值，再对所求的代数式先提取公因式，再用完全平方公式因式分解，将其转化为含有a+b和ab的形式，最后整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的值，能简化运算。
【解析】
(1) 计算左侧乘积：
$(x+3)(x-4)=x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12$
$\because (x+3)(x-4)=x^2 + mx + n$，两个多项式相等时对应项系数相等
$\therefore m=-1$，$n=-12$
(2) 展开左侧多项式：
$(x+a)(x+b)=x^2 + ax + bx + ab = x^2 + (a+b)x + ab$
$\because (x+a)(x+b)=x^2 + 3x - 13$，对比系数可得：
$a+b=3$，$ab=-13$
对所求代数式因式分解：
$a^3b + ab^3 + 2a^2b^2 = ab(a^2 + b^2 + 2ab) = ab(a+b)^2$
将$a+b=3$，$ab=-13$代入上式：
原式$=-13×3^2 = -13×9 = -117$
【答案】
(1) $-1$，$-12$；(2) $-117$
【知识点】
多项式乘多项式，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的综合应用，核心是掌握多项式相等时对应项系数相等的性质，第二问运用整体代入思想可大幅简化计算，是整式运算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7

11.【阅读材料】因式分解：$x^2 + 4xy + 4y^2 - 16$.
解：$\because x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$，$\therefore$将$x + 2y$看成整体，令$x + 2y = M$，则原式$= M^2 - 16 = (M + 4)(M - 4)$，将$M$还原，则原式$= (x + 2y + 4)(x + 2y - 4)$.
上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题.
【数学理解】(1) 因式分解：$(a - 2b)^2 - 6(a - 2b) + 9$.
【拓展探索】(2) 证明：无论$a,b$取何值时，$(a^2b^2 - 4a)(a^2b^2 - 4a - 2) + 1$的值一定是非负数.

11.(1)将$a-2b$看成整体，
$\therefore$可设$M=a-2b$，
则$(a-2b)^2-6(a-2b)+9=M^2-6M+9=(M-3)^2$.
将$M$还原，则原式$=(a-2b-3)^2$，
即$(a-2b)^2-6(a-2b)+9=(a-2b-3)^2$.
(2)将$a^2b^2-4a$看成整体，
$\therefore$可设$N=a^2b^2-4a$,则$(a^2b^2-4a)(a^2b^2-4a-2)+1$
$=N(N-2)+1$
$=N^2-2N+1$
$=(N-1)^2$.
将$N$还原，得$(a^2b^2-4a)(a^2b^2-4a-2)+1=(a^2b^2-4a-1)^2≥0$，
即无论$a,b$取何值时，$(a^2b^2-4a)(a^2b^2-4a-2)+1$的值一定是非负数.

【分析】
(1) 观察待因式分解的式子，发现多项式$a-2b$重复出现，符合整体换元的特征，将$a-2b$看作一个整体设为$M$，原式可转化为关于$M$的二次三项式，恰好符合完全平方差公式的结构，因式分解后再还原$M$即可得到结果。
(2) 要证明代数式的值为非负数，通常需将其转化为平方的形式（平方具有非负性）。观察式子可发现两个乘积项中均重复出现$a^2b^2-4a$，将其看作整体设为$N$，代入原式展开整理后可得到完全平方形式，结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$a-2b$看作整体，设$M=a-2b$，则：
原式$=M^2-6M+9=(M-3)^2$
将$M=a-2b$代回，可得原式$=(a-2b-3)^2$。
(2) 把$a^2b^2-4a$看作整体，设$N=a^2b^2-4a$，则：
原式$=N(N-2)+1=N^2-2N+1=(N-1)^2$
将$N=a^2b^2-4a$代回，可得原式$=(a^2b^2-4a-1)^2$。
因为任意实数的平方都是非负数，即$(a^2b^2-4a-1)^2≥0$，所以无论$a,b$取何值，该代数式的值一定是非负数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a-2b-3)^2}$
(2) 无论$a,b$取何值，$(a^2b^2 - 4a)(a^2b^2 - 4a - 2) + 1$的值一定是非负数。
【知识点】
换元法因式分解，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题重点考查整体思想在因式分解中的应用，解题核心是准确找到重复出现的多项式作为换元整体，将复杂式子简化后运用完全平方公式分解，第二问结合平方的非负性即可证明结论，能够有效考查对公式结构的熟悉程度和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.7