9.学习了有理数的乘法后，老师给同学们布置了这样一道题目：计算$49\frac{24}{25}×(-5)$，看谁算得又快又对.
有两位同学的解法如下：
小明：$49\frac{24}{25}×(-5)=-\frac{1249}{25}×5=-\frac{1249}{5}=-249\frac{4}{5}$.
小军：$49\frac{24}{25}×(-5)=(49+\frac{24}{25})×(-5)=49×(-5)+\frac{24}{25}×(-5)=-249\frac{4}{5}$.
(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；
(3)用你认为最合适的方法计算$19\frac{15}{16}×(-8)$.

解：
(1) 小军的解法较好。
(2) 还有更好的方法，解法如下：
$\begin{aligned}49\frac{24}{25}×(-5)&=(50-\frac{1}{25})×(-5)\\&=50×(-5)-\frac{1}{25}×(-5)\\&=-250+\frac{1}{5}\\&=-249\frac{4}{5}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}19\frac{15}{16}×(-8)&=(20-\frac{1}{16})×(-8)\\&=20×(-8)-\frac{1}{16}×(-8)\\&=-160+\frac{1}{2}\\&=-159\frac{1}{2}\end{aligned}$

【分析】
（1）对比两种解法，小明的解法需要先将带分数化为假分数，分子数值较大，计算时容易出错；小军的解法利用乘法分配律，将带分数拆为整数与真分数的和再分别乘乘数，计算量更小，更简便，因此小军的解法更好。
（2）观察带分数$49\frac{24}{25}$，它与整数50仅相差$\frac{1}{25}$，因此可以将带分数拆成“整十数 - 较小分数”的形式，再用乘法分配律计算，计算过程会更简便，比小军的解法计算量更小。
（3）计算$19\frac{15}{16}×(-8)$时，同理可将接近20的带分数$19\frac{15}{16}$拆为$20-\frac{1}{16}$，再利用乘法分配律分别乘-8，即可快速得出结果，避免大数字运算。
【解析】
(1) 小军的解法将带分数拆成整数加真分数，利用乘法分配律计算，避免了大数字假分数的运算，计算更简便不易出错，因此小军的解法较好。
(2) 有更好的方法，将带分数拆为接近的整数减去较小的分数，再用乘法分配律计算，过程如下：
$\begin{aligned}49\frac{24}{25}×(-5)&=(50-\frac{1}{25})×(-5)\\&=50×(-5)-\frac{1}{25}×(-5)\\&=-250+\frac{1}{5}\\&=-249\frac{4}{5}\end{aligned}$
(3) 仿照上述简便方法计算：
$\begin{aligned}19\frac{15}{16}×(-8)&=(20-\frac{1}{16})×(-8)\\&=20×(-8)-\frac{1}{16}×(-8)\\&=-160+\frac{1}{2}\\&=-159\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 小军的解法较好；
(2) 有更好的方法，计算结果为$-249\frac{4}{5}$，过程见解析；
(3) $-159\frac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法，乘法分配律，简便运算
【点评】
本题考查有理数乘法的简便计算技巧，核心是通过合理拆分带分数，灵活运用乘法分配律简化计算过程，降低计算错误率，是有理数运算中的经典题型，熟练掌握带分数的拆分技巧可以大幅提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

10.已知$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，…，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$。试根据以上规律，解答问题：
(1)计算：$(\frac{1}{2}-1)×(\frac{1}{3}-1)×(\frac{1}{4}-1)×…×(\frac{1}{100}-1)$；
(2)将2025减去它的$\frac{1}{2}$，再减去余下的$\frac{1}{3}$，接着减去余下的$\frac{1}{4}$，再减去余下的$\frac{1}{5}$，以此类推，直到减去余下的$\frac{1}{2025}$，最后的结果是多少？

解：
(1) 先计算每个括号内的减法：
原式$=(-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{4})×\dots×(-\frac{99}{100})$
算式中共有99个负因数，乘积符号为负，因此：
原式$= -(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{99}{100})$
根据已知规律，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\dots×\frac{99}{100}=\frac{1}{100}$
所以原式$= -\frac{1}{100}$
(2) 根据题意列算式：
$2025×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{2025})$
$=2025×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{2024}{2025}$
根据已知规律，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\dots×\frac{2024}{2025}=\frac{1}{2025}$
代入得：原式$=2025×\frac{1}{2025}=1$
答：最后的结果是1。

【分析】
解答本题可按以下思路思考：
(1) 先计算每个括号内的减法，得到若干负分数连乘的形式；再根据负因数的个数判断乘积的符号，剩余的正分数连乘恰好符合题目给出的连乘约分规律，直接套用规律即可快速求解。
(2) 先将文字描述转化为数学算式：每次减去余下的几分之几，等价于乘余下的占比（即$1$减去对应分数），列出算式后可发现分数连乘部分符合给定的约分规律，代入规律计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算每个括号内的减法：
原式$=(-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{4})×\dots×(-\frac{99}{100})$
算式中共有99个负因数，根据有理数乘法符号法则，奇数个负因数相乘，乘积为负，因此：
原式$= -(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{99}{100})$
根据已知规律$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\dots×\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$，此处$n=99$，可得$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\dots×\frac{99}{100}=\frac{1}{100}$
所以原式$= -\frac{1}{100}$
(2) 根据题意列算式：
$2025×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{2025})$
先计算每个括号内的减法：
$=2025×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{2024}{2025}$
根据已知规律，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\dots×\frac{2024}{2025}=\frac{1}{2025}$
代入计算得：原式$=2025×\frac{1}{2025}=1$
【答案】
(1) $-\frac{1}{100}$；(2) $1$
【知识点】
有理数乘法运算，分数连乘约分，规律探究应用
【点评】
本题侧重考查给定规律的迁移应用能力，解题时需先准确化简每一项，注意有理数乘法中负因数个数对乘积符号的影响，巧用连乘约分规律可大幅简化计算，避免逐项运算的繁琐。
【难度系数】
0.7

11.已知$x,y$为有理数，规定一种新的运算※，
$x※y=xy+1.$
(1)求$2※4$的值；
(2)求$(1※4)※0$的值；
(3)任意选取两个有理数(至少有一个为负数)分别填入$□※◯$与$◯※□$的$□$与$◯$内，并比较两个运算结果，你能发现什么规律？
(4)设$a,b,c$为有理数，讨论$a※(b+c)$与$a※b+a※c$的关系，并用式子把它表示出来.

解：
(1) $2※4 = 2×4 +1 = 8+1 =9$
(2) 先计算括号内的运算：
$1※4 = 1×4 +1 =5$
因此 $(1※4)※0 = 5※0 = 5×0 +1 =1$
(3) 选取$□=-2$，$◯=3$：
$(-2)※3 = (-2)×3 +1 = -6+1=-5$
$3※(-2) = 3×(-2) +1 = -6+1=-5$
两个运算结果相等，可得规律：任意两个有理数进行※运算，交换两个数的位置，运算结果不变，即$x※y=y※x$，该新运算满足交换律。
(4) 分别展开两个运算式：
$a※(b+c) = a(b+c)+1 = ab+ac+1$
$a※b + a※c = (ab+1)+(ac+1) = ab+ac+2$
对比两式可得关系：$a※(b+c) +1 = a※b + a※c$，即$a※(b+c) = a※b + a※c -1$。

【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是严格遵循题目给出的运算规则$x※y=xy+1$，将对应数值代入规则计算即可。(1)问直接把$x=2,y=4$代入规则计算；(2)问遵循有括号先算括号内的运算顺序，先算$1※4$的结果，再用这个结果和0进行※运算；(3)问按照要求选取至少一个为负数的两个有理数，分别代入两个运算式计算，对比结果即可总结出规律；(4)问分别将两个待比较的式子按照运算规则展开化简，再对比两者的数量关系即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则$x※y=xy+1$，代入$x=2,y=4$：
$2※4 = 2×4 +1 = 8+1 =9$
(2) 先计算括号内的$1※4$：
$1※4 = 1×4 +1 = 4+1=5$
再计算括号外的运算：
$(1※4)※0 = 5※0 = 5×0 +1 = 0+1=1$
(3) 选取$□=-2$，$◯=3$（选取数值符合要求即可）：
计算$□※◯ = (-2)※3 = (-2)×3 +1 = -6+1=-5$
计算$◯※□ = 3※(-2) = 3×(-2) +1 = -6+1=-5$
对比结果可得：两个运算结果相等，规律为对于任意有理数$x,y$，都有$x※y=y※x$，即新运算※满足交换律。
(4) 分别展开两个式子：
首先计算$a※(b+c)$：
$a※(b+c) = a(b+c)+1 = ab+ac+1$
再计算$a※b + a※c$：
$a※b + a※c = (ab+1)+(ac+1) = ab+ac+2$
对比两个化简后的式子可得：$a※(b+c) = a※b + a※c -1$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；
(2) $\boxed{1}$；
(3) 规律为新运算满足交换律，即$\boxed{x※y=y※x}$（举例合理即可）；
(4) $\boxed{a※(b+c) = a※b + a※c -1}$
【知识点】
新定义运算、有理数乘法、运算律探究
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解与应用，解题时只要严格按照给定的运算规则代入计算，按顺序逐步求解即可，通过探究运算规律的设问，也能很好地锻炼归纳总结的能力。
【难度系数】
0.75