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1. (2025·乐山中考)如图，$l_1// l_2// l_3$，$AB=2$，$DE=3$，$BC=4$，则$EF$的长为(
A.4
B.6
C.8
D.10
B
)。A.4
B.6
C.8
D.10
答案
1. B
解析
【分析】
观察图形可知三条平行直线被两条截线所截，符合平行线分线段成比例定理的应用场景。我们先根据定理确定对应线段的比例关系，再将已知线段长度代入比例式，通过解比例即可求出EF的长度，解题时要注意找准对应线段，避免比例关系写反。
【解析】
解：$\because l_1 // l_2 // l_3$，
根据平行线分线段成比例定理，可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，
把$AB=2$，$BC=4$，$DE=3$代入上式，得：
$\frac{2}{4}=\frac{3}{EF}$，
交叉计算得：$2EF=3×4=12$，
解得：$EF=6$。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理；解比例式
【点评】
本题是基础类题型，主要考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题的核心是准确对应截得的线段，列出正确的比例关系，计算难度小，大部分学生都能顺利完成。
【难度系数】
0.85
观察图形可知三条平行直线被两条截线所截，符合平行线分线段成比例定理的应用场景。我们先根据定理确定对应线段的比例关系，再将已知线段长度代入比例式，通过解比例即可求出EF的长度，解题时要注意找准对应线段，避免比例关系写反。
【解析】
解：$\because l_1 // l_2 // l_3$，
根据平行线分线段成比例定理，可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，
把$AB=2$，$BC=4$，$DE=3$代入上式，得：
$\frac{2}{4}=\frac{3}{EF}$，
交叉计算得：$2EF=3×4=12$，
解得：$EF=6$。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理；解比例式
【点评】
本题是基础类题型，主要考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题的核心是准确对应截得的线段，列出正确的比例关系，计算难度小，大部分学生都能顺利完成。
【难度系数】
0.85
2. (2024·河南中考)如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,E为OC的中点,EF//AB交BC于点F。若AB=4,则EF的长为(
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2
B
)。A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先从已知的平行四边形入手，回忆平行四边形对角线互相平分的性质，可得点O是AC的中点；结合E是OC中点的条件，可推导出线段CE与AC的比值；再根据EF平行AB，可判定△CEF与△CAB相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知AB的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴$AO=OC=\frac{1}{2}AC$
∵E为OC的中点
∴$CE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AC$，即$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$
∵$EF// AB$
∴$∠ CEF=∠ CAB$，$∠ CFE=∠ CBA$
∴$△ CEF ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$
又
∵$AB=4$
∴$EF=4×\frac{1}{4}=1$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是先利用平行四边形的性质得到线段比例，再结合相似三角形的性质求解，是中考中常见的基础题型，注重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的平行四边形入手，回忆平行四边形对角线互相平分的性质，可得点O是AC的中点；结合E是OC中点的条件，可推导出线段CE与AC的比值；再根据EF平行AB，可判定△CEF与△CAB相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知AB的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴$AO=OC=\frac{1}{2}AC$
∵E为OC的中点
∴$CE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AC$，即$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$
∵$EF// AB$
∴$∠ CEF=∠ CAB$，$∠ CFE=∠ CBA$
∴$△ CEF ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$
又
∵$AB=4$
∴$EF=4×\frac{1}{4}=1$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是先利用平行四边形的性质得到线段比例，再结合相似三角形的性质求解，是中考中常见的基础题型，注重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
3. (2025·河北中考)如图,在五边形ABCDE中,AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N。若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是(
A.∠B + ∠4 = 180°
B.CD//AB
C.∠1 = ∠4
D.∠2 = ∠3
D
)。A.∠B + ∠4 = 180°
B.CD//AB
C.∠1 = ∠4
D.∠2 = ∠3
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，由AE//BC可推出∠AEM=∠N，即△MAE和△DCN已经有一组对应角相等，要判定两三角形相似，结合AA相似判定定理，只需再得到一组对应角相等即可。接下来逐一分析每个选项，判断能否推出另一组对应角相等，无法推出的即为符合要求的选项。
【解析】
已知AE//BC，根据平行线的性质可得：∠MAE=∠B，∠AEM=∠N。
选项A：
∵∠4+∠DCN=180°，∠B+∠4=180°，
∴∠B=∠DCN，结合∠MAE=∠B得∠MAE=∠DCN，又
∵∠AEM=∠N，
∴△MAE∽△DCN（AA），不符合题意；
选项B：
∵CD//AB，
∴∠M=∠CDN，又
∵∠AEM=∠N，
∴△MAE∽△DCN（AA），不符合题意；
选项C：
∵∠1+∠MAE=180°，∠4+∠DCN=180°，且∠1=∠4，
∴∠MAE=∠DCN（等角的补角相等），又
∵∠AEM=∠N，
∴△MAE∽△DCN（AA），不符合题意；
选项D：
∵∠2=∠3，
∴AE//CD（内错角相等，两直线平行），可得∠AEM=∠CDN，结合∠AEM=∠N只能推出∠CDN=∠N，无法得到△MAE和△DCN的另一组对应角相等，故无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型选择题，需要结合平行线的性质推导角的等量关系，解题时可优先用排除法分析选项，注意对应角的匹配是判断的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手，由AE//BC可推出∠AEM=∠N，即△MAE和△DCN已经有一组对应角相等，要判定两三角形相似，结合AA相似判定定理，只需再得到一组对应角相等即可。接下来逐一分析每个选项，判断能否推出另一组对应角相等，无法推出的即为符合要求的选项。
【解析】
已知AE//BC，根据平行线的性质可得：∠MAE=∠B，∠AEM=∠N。
选项A：
∵∠4+∠DCN=180°，∠B+∠4=180°，
∴∠B=∠DCN，结合∠MAE=∠B得∠MAE=∠DCN，又
∵∠AEM=∠N，
∴△MAE∽△DCN（AA），不符合题意；
选项B：
∵CD//AB，
∴∠M=∠CDN，又
∵∠AEM=∠N，
∴△MAE∽△DCN（AA），不符合题意；
选项C：
∵∠1+∠MAE=180°，∠4+∠DCN=180°，且∠1=∠4，
∴∠MAE=∠DCN（等角的补角相等），又
∵∠AEM=∠N，
∴△MAE∽△DCN（AA），不符合题意；
选项D：
∵∠2=∠3，
∴AE//CD（内错角相等，两直线平行），可得∠AEM=∠CDN，结合∠AEM=∠N只能推出∠CDN=∠N，无法得到△MAE和△DCN的另一组对应角相等，故无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型选择题，需要结合平行线的性质推导角的等量关系，解题时可优先用排除法分析选项，注意对应角的匹配是判断的关键。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的边AB的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是
14
。答案
4. 14
解析
【分析】
首先观察题目条件，存在平行于三角形两边的截线、AB的三等分点，可先利用“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的三角形与原三角形相似”，得到两个小三角形均和△ABC相似，再结合三等分点的比例关系确定相似比，求出平行四边形相邻两边的长度，最后代入平行四边形周长公式即可求解。
【解析】
设AB上靠近A的三等分点为点D，过D分别作DE//BC交AC于点E，DF//AC交BC于点F，则四边形DECF为平行四边形。
∵点D是AB的三等分点，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$。
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
已知BC=9，代入得$DE=\frac{1}{3}×9=3$。
∵DF//AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$，
已知AC=6，代入得$DF=\frac{2}{3}×6=4$。
∵平行四边形对边相等，
∴平行四边形的周长为$2×(DE+DF)=2×(3+4)=14$。
【答案】
14
【知识点】
相似三角形的性质，平行四边形周长计算，平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过平行线得到相似三角形，结合三等分点的比例关系快速求出平行四边形的边长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察题目条件，存在平行于三角形两边的截线、AB的三等分点，可先利用“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的三角形与原三角形相似”，得到两个小三角形均和△ABC相似，再结合三等分点的比例关系确定相似比，求出平行四边形相邻两边的长度，最后代入平行四边形周长公式即可求解。
【解析】
设AB上靠近A的三等分点为点D，过D分别作DE//BC交AC于点E，DF//AC交BC于点F，则四边形DECF为平行四边形。
∵点D是AB的三等分点，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$。
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
已知BC=9，代入得$DE=\frac{1}{3}×9=3$。
∵DF//AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$，
已知AC=6，代入得$DF=\frac{2}{3}×6=4$。
∵平行四边形对边相等，
∴平行四边形的周长为$2×(DE+DF)=2×(3+4)=14$。
【答案】
14
【知识点】
相似三角形的性质，平行四边形周长计算，平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过平行线得到相似三角形，结合三等分点的比例关系快速求出平行四边形的边长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图,乐器上的一根弦$AB=80\ \mathrm{cm}$,两个端点$A,B$固定在乐器面板上,支撑点$C$是靠近点$B$的黄金分割点,支撑点$D$是靠近点$A$的黄金分割点,则支撑点$C,D$之间的距离为
(结果保留根号)
$(80\sqrt{5} - 160)$
$\mathrm{cm}$。(结果保留根号)
答案
5. $(80\sqrt{5} - 160)$
解析
【分析】
解决本题的核心是先掌握黄金分割的定义：若点把线段分为两条线段，使较长线段与原线段的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这个点就是线段的黄金分割点。首先根据支撑点C、D的位置，确定对应的较长线段分别是AC、BD，再根据黄金分割比求出AC、BD的长度，最后结合线段的和差关系推导CD的长度公式，代入数值计算即可。
【解析】
已知黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，弦$AB=80\ \mathrm{cm}$。
1. 求AC的长度：
因为点C是靠近点B的黄金分割点，AC为较长线段，所以
$AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 80 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$。
2. 求BD的长度：
因为点D是靠近点A的黄金分割点，BD为较长线段，所以
$BD = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$。
3. 求CD的长度：
根据线段和差关系，$AC + BD = (AD + CD) + (CD + BC) = AB + CD$，因此
$CD = AC + BD - AB$
代入数值得：
$CD = 40(\sqrt{5}-1) + 40(\sqrt{5}-1) - 80$
$= 80(\sqrt{5}-1) - 80$
$= 80\sqrt{5} - 80 - 80$
$= 80\sqrt{5} - 160\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(80\sqrt{5} - 160)$
【知识点】
黄金分割，线段的和差计算
【点评】
本题侧重考查黄金分割定义的实际应用，解题的关键是准确判断不同位置的黄金分割点对应的较长线段，再结合线段和差关系列式化简，计算时注意不要漏乘系数。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是先掌握黄金分割的定义：若点把线段分为两条线段，使较长线段与原线段的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这个点就是线段的黄金分割点。首先根据支撑点C、D的位置，确定对应的较长线段分别是AC、BD，再根据黄金分割比求出AC、BD的长度，最后结合线段的和差关系推导CD的长度公式，代入数值计算即可。
【解析】
已知黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，弦$AB=80\ \mathrm{cm}$。
1. 求AC的长度：
因为点C是靠近点B的黄金分割点，AC为较长线段，所以
$AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 80 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$。
2. 求BD的长度：
因为点D是靠近点A的黄金分割点，BD为较长线段，所以
$BD = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$。
3. 求CD的长度：
根据线段和差关系，$AC + BD = (AD + CD) + (CD + BC) = AB + CD$，因此
$CD = AC + BD - AB$
代入数值得：
$CD = 40(\sqrt{5}-1) + 40(\sqrt{5}-1) - 80$
$= 80(\sqrt{5}-1) - 80$
$= 80\sqrt{5} - 80 - 80$
$= 80\sqrt{5} - 160\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(80\sqrt{5} - 160)$
【知识点】
黄金分割，线段的和差计算
【点评】
本题侧重考查黄金分割定义的实际应用，解题的关键是准确判断不同位置的黄金分割点对应的较长线段，再结合线段和差关系列式化简，计算时注意不要漏乘系数。
【难度系数】
0.6
