6.【数学文化】《庄子·天下》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”（“尺”是我国传统长度单位）意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，那么$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots+\frac{1}{2^n}=$。

6. $\frac{2^n -1}{2^n}$

7.【综合与实践】阶梯的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等。
尝试
（1）求前4个台阶上的数的和；
（2）求第5个台阶上的数。
应用
（3）求从下到上前31个台阶上的数的和。
发现
（4）试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在台阶数。

解:(1)$-5-2+1+9=3$。
(2)设第5个台阶上的数为$x$。
由题意,得$-2+1+9+x=3$,
解得$x=-5$。
(3)每4个相邻台阶上的数的和为3,前31个台阶上的数的和为$7×3+(-5-2+1)=15$。
(4)发现“1”出现在每组4个数的第3个,也就是第3、第7、第11、第……个台阶上,且$3=4×1-1,7=4×2-1,11=4×3-1,…$,所以“1”出现的台阶数为$4k-1$（k 为正整数）。

8.【跨学科】观察下面三种化合物的结构式及分子式，如果按其规律，那么下一种化合物的分子式应该是。

8. C₄H₁₀