17. 先化简,再求值：$(1 - \frac{1}{a^2}) ÷ \frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - a}$,其中 $a = 2$.

解:原式=$\frac{a^{2}-1}{a^{2}}·\frac{a(a - 1)}{(a - 1)^{2}}=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a^{2}}·\frac{a(a - 1)}{(a - 1)^{2}}=\frac{a + 1}{a}$.当a = 2时,原式=$\frac{2 + 1}{2}=\frac{3}{2}$.

18. (2025·重庆中考)学习了角平分线和尺规作图后,小红进行了拓展性研究,她发现了角平分线的另一种作法,并与她的同伴进行交流.现在你作为她的同伴,请根据她的想法与思路,完成以下作图和填空：

第一步：构造角平分线.
小红在 $∠AOB$ 的边 $OA$ 上任取一点 $E$,并过点 $E$ 作了 $OA$ 的垂线(如图).请你利用尺规作图,在 $OB$ 边上截取 $OF = OE$,过点 $F$ 作 $OB$ 的垂线与小红所作的垂线交于点 $P$,作射线 $OP$,$OP$ 即为 $∠AOB$ 的平分线(不写作法,保留作图痕迹).
第二步：利用三角形全等证明她的猜想.
证明：因为 $PE ⊥ OA$,$PF ⊥ OB$,
所以 $∠OEP = ∠OFP = 90^{\circ}$.
在 $Rt\triangle OEP$ 和 $Rt\triangle OFP$ 中,
$\begin{cases}① \\ ②\end{cases} $,
所以 $Rt\triangle OEP ≌ Rt\triangle OFP (HL)$.
所以 $③$.
所以 $OP$ 平分 $∠AOB$.

解:第一步:作图如下.

第二步:证明:因为PE⊥OA,PF⊥OB,所以∠OEP = ∠OFP = 90°.在Rt△OEP和Rt△OFP中,$\left\{\begin{array}{l} OP = OP,\\ OE = OF,\end{array}\right. $所以Rt△OEP≌Rt△OFP(HL).所以∠EOP = ∠FOP.所以OP平分∠AOB.故答案为①OP = OP;②OE = OF;③∠EOP = ∠FOP.

19. 若 $m$,$n$ 为正整数 ($m ＜ n$),且 $2^m × 2^n × 4 = 64$,求 $mn$ 的值.

解:因为2^{m}×2^{n}×4 = 64,所以2^{m}×2^{n}×2² = 2⁶,所以2^{m + n + 2}=2⁶,所以m + n + 2 = 6,所以m + n = 4.因为m,n为正整数,所以$\left\{\begin{array}{l} m = 1,\\ n = 3\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} m = 2,\\ n = 2\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} m = 3,\\ n = 1.\end{array}\right. $因为m ＜ n,所以$\left\{\begin{array}{l} m = 1,\\ n = 3,\end{array}\right. $所以mn = 3.

解:因为$2^{m} × 2^{n} × 4 = 64$，所以$2^{m} × 2^{n} × 2^{2} = 2^{6}$，所以$2^{m + n + 2} = 2^{6}$，所以$m + n + 2 = 6$，所以$m + n = 4$。因为$m$，$n$为正整数，所以$\begin{cases} m = 1, \\ n = 3 \end{cases}$或$\begin{cases} m = 2, \\ n = 2 \end{cases}$或$\begin{cases} m = 3, \\ n = 1 \end{cases}$。因为$m ＜ n$，所以$\begin{cases} m = 1, \\ n = 3 \end{cases}$，所以$mn = 1 × 3 = 3$。