1. 如图 22 - 1 - 7 - 1 是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是()

A.$ y = x^{2} - x - 2 $
B.$ y = -x^{2} - x + 2 $
C.$ y = -x^{2} - x + 1 $
D.$ y = -x^{2} + x + 2 $

D

由图象可知二次函数过点$(-1,0)$，$(2,0)$，$(0,2)$。
设二次函数解析式为$y = ax^2+bx + c$，代入得：
$\begin{cases}a - b + c=0\\4a + 2b + c=0\\c = 2\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b = 1\\c = 2\end{cases}$
故解析式为$y=-x^2 + x + 2$
D

2. 已知一个二次函数,当 $ x = 1 $ 时,$ y $ 有最大值 $ 8 $,其图象的形状、开口方向与抛物线 $ y = -2x^{2} $ 相同,则这个二次函数的解析式是()
A.$ y = -2x^{2} - x + 3 $
B.$ y = -2x^{2} + 4 $
C.$ y = -2x^{2} + 4x + 8 $
D.$ y = -2x^{2} + 4x + 6 $

D

因为二次函数图象的形状、开口方向与抛物线$y = -2x^{2}$相同，所以二次项系数$a=-2$。
又因为当$x = 1$时，$y$有最大值$8$，所以抛物线的顶点坐标为$(1,8)$。
设二次函数的顶点式为$y = a(x - h)^{2}+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，将$a=-2$，$h=1$，$k=8$代入可得：
$y=-2(x - 1)^{2}+8$
展开得：
$y=-2(x^{2}-2x + 1)+8=-2x^{2}+4x - 2 + 8=-2x^{2}+4x + 6$
D

3. 设函数 $ y = a(x - h)^{2} + k $($ a,h,k $ 是实数,$ a \neq 0 $),当 $ x = 1 $ 时,$ y = 1 $；当 $ x = 8 $ 时,$ y = 8 $,下列说法正确的是()
A.若 $ h = 4 $,则 $ a \lt 0 $
B.若 $ h = 5 $,则 $ a \gt 0 $
C.若 $ h = 6 $,则 $ a \lt 0 $
D.若 $ h = 7 $,则 $ a \gt 0 $

C

将$x=1,y=1$和$x=8,y=8$代入$y=a(x-h)^2+k$，得：
$\begin{cases}1 = a(1 - h)^2 + k \\8 = a(8 - h)^2 + k\end{cases}$
两式相减消去$k$：$8 - 1 = a[(8 - h)^2 - (1 - h)^2]$，即$7 = a[(8 - h - 1 + h)(8 - h + 1 - h)] = a[7(9 - 2h)]$，化简得$7 = 7a(9 - 2h)$，两边同除以7：$1 = a(9 - 2h)$，故$a=\frac{1}{9 - 2h}$。
当$h=4$时，$a=\frac{1}{9 - 2×4}=\frac{1}{1}=1\gt0$，A错误；
当$h=5$时，$a=\frac{1}{9 - 2×5}=\frac{1}{-1}=-1\lt0$，B错误；
当$h=6$时，$a=\frac{1}{9 - 2×6}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}\lt0$，C正确；
当$h=7$时，$a=\frac{1}{9 - 2×7}=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}\lt0$，D错误。
C

4. 经过 $ A(4,0) $,$ B(-2,0) $,$ C(0,3) $ 三点的抛物线的解析式是。

y=-3/8x²+3/4x+3

设抛物线的解析式为$y=ax^{2}+bx+c$。
将$A(4,0)$，$B(-2,0)$，$C(0,3)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}16a + 4b + c = 0 \\4a - 2b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
将$c = 3$代入前两个方程：
$\begin{cases}16a + 4b = -3 \\4a - 2b = -3\end{cases}$
由第二个方程$4a - 2b = -3$，得$2a - b = -\frac{3}{2}$，即$b = 2a + \frac{3}{2}$。
将$b = 2a + \frac{3}{2}$代入$16a + 4b = -3$：
$16a + 4(2a + \frac{3}{2}) = -3$
$16a + 8a + 6 = -3$
$24a = -9$
$a = -\frac{3}{8}$
则$b = 2×(-\frac{3}{8}) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{4} + \frac{6}{4} = \frac{3}{4}$。
所以抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+3$。

5. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a \neq 0 $),其函数 $ y $ 与自变量 $ x $ 之间的部分对应值如下表所示,则 $ x = -2 $ 时,$ y = $。

$\frac{31}{2}$

解：由表可知，当$x=0$时，$y=\dfrac{7}{2}$，则$c=\dfrac{7}{2}$。
当$x=-1$时，$y=\dfrac{15}{2}$，可得$a - b + \dfrac{7}{2}=\dfrac{15}{2}$，即$a - b = 4$；
当$x=1$时，$y=\dfrac{7}{2}$，可得$a + b + \dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{2}$，即$a + b = 0$。
联立$\begin{cases}a - b = 4 \\ a + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2 \\ b=-2\end{cases}$。
二次函数解析式为$y=2x^{2}-2x+\dfrac{7}{2}$。
当$x=-2$时，$y=2×(-2)^{2}-2×(-2)+\dfrac{7}{2}=8 + 4+\dfrac{7}{2}=\dfrac{31}{2}$。
$\dfrac{31}{2}$

6. 已知抛物线与 $ y $ 轴交点的纵坐标为 $ -\dfrac{5}{2} $,且经过 $ (1,-6) $ 和 $ (-1,0) $ 两点,求抛物线的解析式。

y=-1/2x²-3x-5/2

设抛物线的解析式为$y=ax^{2}+bx+c$。
因为抛物线与$y$轴交点的纵坐标为$-\dfrac{5}{2}$，所以$c=-\dfrac{5}{2}$。
又因为抛物线经过$(1,-6)$和$(-1,0)$两点，将$(1,-6)$代入解析式得：$a×1^{2}+b×1-\dfrac{5}{2}=-6$，即$a + b-\dfrac{5}{2}=-6$，化简得$a + b=-\dfrac{7}{2}$ ①。
将$(-1,0)$代入解析式得：$a×(-1)^{2}+b×(-1)-\dfrac{5}{2}=0$，即$a - b-\dfrac{5}{2}=0$，化简得$a - b=\dfrac{5}{2}$ ②。
①+②得：$2a=-\dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{2}=-1$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入①得：$-\dfrac{1}{2}+b=-\dfrac{7}{2}$，解得$b=-3$。
所以抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x-\dfrac{5}{2}$。

7. 如图 22 - 1 - 7 - 2,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 4 $ 经过点 $ A(-3,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ B $ 在抛物线上,$ CB // x $ 轴,且 $ AB $ 平分 $ \angle CAO $,则此抛物线的解析式是。

y=-1/6x²+5/6x+4

8. 抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 经过坐标原点,并与 $ x $ 轴交于点 $ A(2,0) $。
(1)求抛物线的解析式；
(2)写出其顶点坐标及对称轴。

(1)y=x²-2x
(2)顶点坐标为(1,-1),对称轴是直线x=1