1.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为().


A.甲和乙
B.乙和丙
C.丙和丁
D.丁和甲

1.D

2.已知$\triangle ABC$的三边长是$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$，2，那么与$\triangle ABC$相似的三角形三边长可能是().

A.$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$
B.$1$，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$1$，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$

2.A

先将$\triangle ABC$的三边长按从小到大排序：$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{6}$。
计算选项A中三角形三边长的比：$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
计算$\triangle ABC$三边长的比：$\sqrt{2}:2:\sqrt{6}$，各项同时除以$\sqrt{2}$得$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$，与选项A的比相同。
A

3.如图，在正方形$ABCD$中，$AB=2$，$E$为$BC$的中点，两个动点$M$和$N$分别在边$CD$和$AD$上运动，且$MN=1$.若$\triangle ABE$与以$D$，$M$，$N$为顶点的三角形相似，则$DM$的长为().

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3.D

解：在正方形$ABCD$中，$AB=2$，$E$为$BC$中点，$\therefore BE=1$，$AE=\sqrt{AB^2 + BE^2}=\sqrt{5}$。
设$DM=x$，$DN=y$，在$Rt\triangle DMN$中，$x^2 + y^2 = 1^2$。
$\triangle ABE$与$\triangle DMN$相似，分两种情况：
情况1：$\frac{AB}{DM}=\frac{BE}{DN}=\frac{AE}{MN}$，即$\frac{2}{x}=\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$x=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$y=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，满足$x^2 + y^2 = 1$。
情况2：$\frac{AB}{DN}=\frac{BE}{DM}=\frac{AE}{MN}$，即$\frac{2}{y}=\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$x=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$y=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，满足$x^2 + y^2 = 1$。
综上，$DM$的长为$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
答案：D

4.如图，在$\triangle ABC$中，$D$为$AB$边上一点，且$\angle BCD=\angle A$.已知$BC=\sqrt{2}$，$AB=3$，则$BD=$.

4.$\frac{8}{3}$