等边三角形
(1)定义:三边都相等的三角形是等边三角形.
(2)性质:
①等边三角形的三条边都;
②等边三角形的三个角都,并且每一个角都等于.
(3)判定:
①定义;
②三个角都的三角形是等边三角形;
③有一个角是的等腰三角形是等边三角形.

(2)①相等；②相等，60°；(3)②相等；③60°

根据等边三角形的性质与判定定理直接填写。性质：①等边三角形三条边相等；②三个角相等，每个角为60°。判定：②三个角相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

【例1】如图,已知D,E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点,且AD=CE,猜测∠DFB的度数,并说明理由.

∠DFB的度数为60°。理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°。
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=CE\\ ∠A=∠ECB\\ AC=CB\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（SAS）。
∴∠ACD=∠CBE。
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=60°，
∴∠CBE+∠BCD=60°。
在△BFC中，∠BFC=180°-（∠CBE+∠BCD）=180°-60°=120°。
∵∠DFB+∠BFC=180°（平角定义），
∴∠DFB=180°-120°=60°。

【变式1】如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD中正确的有().


A.3个
B.2个
C.1个
D.0个

A

①∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线，根据等边三角形三线合一性质，AD⊥BC，①正确；②△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，AD平分∠BAC，∠BAD=30°，∴∠BAE=∠DAE-∠BAD=30°，即AB平分∠DAE，由等腰三角形三线合一，AB垂直平分DE，设AB交DE于F，则EF=FD，②正确；③在△ABE和△ABD中，AE=AD，∠BAE=∠BAD=30°，AB=AB，∴△ABE≌△ABD（SAS），∴BE=BD，③正确。综上，①②③均正确。

【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AB交BC于点D,AE⊥AC交BC于点E.求证:△ADE是等边三角形.

证明：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-120°)/2=30°。
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-30°-90°=60°。
同理，AE⊥AC，∠CAE=90°，
∴∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-30°-90°=60°。
∵∠BAC=120°，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=120°-90°=30°，
∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAE=∠BAC-∠BAE-∠DAC=120°-30°-30°=60°。
在△ADE中，∠ADE=∠ADB=60°，∠AED=∠AEC=60°，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形。