变式训练 已知$\odot O的直径为10$,线段$OP = 5$,则点$P与\odot O$的位置关系是。

点P在$\odot O$上

已知$\odot O$的直径为10，则半径$r = 5$。因为线段$OP = 5$，即点$P$到圆心$O$的距离等于半径，所以点$P$在$\odot O$上。

例2 如图,小明为检验$M$,$N$,$P$,$Q$四点是否共圆,用尺规分别作了$MN$,$MQ的垂直平分线交于点O$,则$M$,$N$,$P$,$Q$四点中,不一定在以点$O$为圆心,$OM$为半径的圆上的点是()

A.$M$
B.$N$
C.$P$
D.$Q$

C

点O是MN和MQ垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质，OM=ON=OQ。点P是否在以O为圆心、OM为半径的圆上，取决于OP是否等于OM，题中未作PQ或PN的垂直平分线，无法确定OP=OM，故P不一定在圆上。

变式训练 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()

A.①
B.②
C.③
D.均不可能

B

要确定圆的大小需确定其半径，而确定一个圆的关键是找到圆心和半径。根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，或利用圆的垂径定理：弦的垂直平分线必过圆心。碎片②中可找到两条不平行的弦，分别作这两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心，进而可确定半径，从而配到原来大小的圆；碎片①和③无法找到足够条件确定圆心。

1. (2024 武汉期末)在平面中,已知$\odot O的半径为8\ cm$,$OP = 4\ cm$,点$P与\odot O$的位置关系是()
A.点$P在\odot O$外
B.点$P在\odot O上或\odot O$外
C.点$P在\odot O$内
D.点$P在\odot O$上

C

已知圆$O$的半径$r = 8\space cm$，点$P$到圆心$O$的距离$OP = 4\space cm$。因为$OP = 4\space cm\lt r = 8\space cm$，所以点$P$在圆$O$内。

2. (2024 福州期中)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AB = 10$,$BC = 8$。以点$A$为圆心,$r$为半径作圆,当点$C在\odot A$内,且点$B在\odot A$外时,$r$的值可能是()

A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$

B

由题意，$\triangle ACB$为直角三角形，$AB$为斜边，已知$AB=10$，$BC=8$。
根据勾股定理，可得：
$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{36}=6$，
以点$A$为圆心，$r$为半径作圆，要使点$C$在圆内，则需满足$r＞AC$，即$r＞6$；
要使点$B$在圆外，则需满足$r＜AB$，即$r＜10$。
综合以上两个条件，得到$r$的取值范围为$6＜r＜10$。
在选项中，只有$8$满足这个条件。

3. (2024 盘锦期末)如图,在$\odot O$中,点$A为\overset{\frown}{BC}$的中点,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$AB = 2$,$\odot O所在的平面内有一点D$,若$OD = 3$,则点$D与\odot O$的位置关系是()

A.点$D在\odot O$外
B.点$D在\odot O$上
C.点$D在\odot O$内
D.无法确定

A

连接OA、OB。∵点A为$\overset{\frown}{BC}$的中点，∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，∴AB=AC=2。∵∠ABC=30°，∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∴$\overset{\frown}{AC}$的度数=2∠ABC=60°，∴$\overset{\frown}{AB}=60°$。∴$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角∠AOB=60°。∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，即⊙O的半径r=2。∵OD=3＞r=2，∴点D在⊙O外。

4. (2024 南京期末)若平面直角坐标系中的点$A(1,1)$,$B(-1,-1)$,$C(m,3)$不能确定一个圆,则$m$的值是。

$3$

若点$A(1,1)$，$B(-1,-1)$，$C(m,3)$不能确定一个圆，则这三点共线。
设点$A$，$B$所在的直线为$y = kx + b$，将$A(1,1)$，$B(-1,-1)$代入可得：
$\begin{cases}k + b = 1\\-k + b = -1\end{cases}$
两式相减得$2k = 2$，解得$k = 1$，把$k = 1$代入$k + b = 1$得$b = 0$，所以直线$AB$的解析式为$y = x$。
因为点$C(m,3)$在直线$AB$上，将$C(m,3)$代入$y = x$，可得$m = 3$的（三点共线时不能确定一个圆，当$C$点坐标满足直线$AB$方程时三点共线）。
当$AB$两端点（$A$、$B$）与$C$点构成的线段有特殊情况（这里三点共线情况），即满足直线方程时不能确定圆，所以$m = 3$时三点不能确定一个圆（也可从$A$，$B$，$C$三点共线则斜率相等角度，$k_{AB}=\frac{1 - (-1)}{1 - (-1)} = 1$，$k_{AC}=\frac{3 - 1}{m - 1}$，令$\frac{3 - 1}{m - 1}=1$，解得$m = 3$ ）。

5. (2024 江门一模)在同一平面内,点$P不在\odot O$上,若点$P到\odot O上的点的最大距离是11$,最小距离是$5$,则$\odot O$的半径是。

3或8

分两种情况：
1. 点P在⊙O外时，最大距离与最小距离之差为直径，半径为$(11 - 5)÷2 = 3$；
2. 点P在⊙O内时，最大距离与最小距离之和为直径，半径为$(11 + 5)÷2 = 8$。
综上，⊙O的半径是3或8。