例1 解方程：
(1) $ x^{2}-2x - 4 = 0 $；
(2) $ 3x(x - 2) = 8 - 4x $；
(3) $ x^{2}+2\sqrt{5}x + 1 = 0 $；
(4) $ 4(x + 3)^{2}= 25(x - 2)^{2} $。
名师导引 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法,结合方程特点选择合适、简便的方法是解题的关键。所有一元二次方程都可用配方法和公式法解出来。

(1)
$x^2 - 2x - 4 = 0$
移项得$x^2 - 2x = 4$
配方得$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$，即$(x - 1)^2 = 5$
开平方得$x - 1 = \pm \sqrt{5}$
解得$x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$
(2)
$3x(x - 2) = 8 - 4x$
移项得$3x(x - 2) + 4(x - 2) = 0$
因式分解得$(x - 2)(3x + 4) = 0$
则$x - 2 = 0$或$3x + 4 = 0$
解得$x_1 = 2$，$x_2 = -\dfrac{4}{3}$
(3)
$x^2 + 2\sqrt{5}x + 1 = 0$
移项得$x^2 + 2\sqrt{5}x = -1$
配方得$x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 = -1 + 5$，即$(x + \sqrt{5})^2 = 4$
开平方得$x + \sqrt{5} = \pm 2$
解得$x_1 = -\sqrt{5} + 2$，$x_2 = -\sqrt{5} - 2$
(4)
$4(x + 3)^2 = 25(x - 2)^2$
开平方得$2(x + 3) = \pm 5(x - 2)$
当$2(x + 3) = 5(x - 2)$时，$2x + 6 = 5x - 10$，解得$x = \dfrac{16}{3}$
当$2(x + 3) = -5(x - 2)$时，$2x + 6 = -5x + 10$，解得$x = \dfrac{4}{7}$
综上，$x_1 = \dfrac{16}{3}$，$x_2 = \dfrac{4}{7}$

巩固提升
(1) $ 2x^{2}-18 = 0 $的解为。
(2) 解方程：
① $ 2y^{2}-4y - 1 = 0 $；
② $ (x - 1)(x + 3)= 5(x - 1) $；
③ $ 2x^{2}-x = 2x - 1 $；
④ $ (2x - 5)^{2}-(x + 4)^{2}= 0 $。

(1)$x_1 = 3$，$x_2 = -3$；(2)①$y_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$，$y_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$；②$x_1 = 1$，$x_2 = 2$；③$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = 1$；④$x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = 9$

(1) $2x^2 - 18 = 0$，移项得$2x^2 = 18$，$x^2 = 9$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -3$。
(2)① $2y^2 - 4y - 1 = 0$，$a=2$，$b=-4$，$c=-1$，$\Delta = (-4)^2 - 4×2×(-1) = 24$，$y = \frac{4 ± \sqrt{24}}{4} = \frac{4 ± 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 ± \sqrt{6}}{2}$，即$y_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$，$y_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$。
② $(x - 1)(x + 3) = 5(x - 1)$，移项得$(x - 1)(x + 3) - 5(x - 1) = 0$，$(x - 1)(x + 3 - 5) = 0$，$(x - 1)(x - 2) = 0$，$x_1 = 1$，$x_2 = 2$。
③ $2x^2 - x = 2x - 1$，移项得$2x^2 - 3x + 1 = 0$，$(2x - 1)(x - 1) = 0$，$2x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$，$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = 1$。
④ $(2x - 5)^2 - (x + 4)^2 = 0$，利用平方差公式得$(2x - 5 + x + 4)(2x - 5 - x - 4) = 0$，$(3x - 1)(x - 9) = 0$，$3x - 1 = 0$或$x - 9 = 0$，$x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = 9$。

例2 关于$ x 的方程 2x^{2}+mx + n = 0 的两个根是 -2 和 1 $,则$ n^{m} $的值为()
A.$ -8 $
B.$ 8 $
C.$ 16 $
D.$ -16 $
名师导引 将方程的根代入原方程就可求出字母系数的值,求代数式的值通常要考虑整体代入法；利用根与系数的关系可直接求出字母的值。

C

根据根与系数的关系，对于方程 $2x^{2} + mx + n = 0$，设其两个根为 $x_1 = -2$ 和 $x_2 = 1$。
根据韦达定理，有：
$x_1 + x_2 = -\frac{m}{2}$，
$x_1 × x_2 = \frac{n}{2}$，
代入 $x_1 = -2$ 和 $x_2 = 1$，得到：
$-2 + 1 = -\frac{m}{2} \implies -\frac{m}{2} = -1 \implies m = 2$，
$-2 × 1 = \frac{n}{2} \implies \frac{n}{2} = -2 \implies n = -4$，
计算 $n^m$ 的值：
$n^m = (-4)^2 = 16$。

巩固提升
(1) 若一元二次方程$ ax^{2}-bx - 2024 = 0$有一个根为$ x = -1 $,则$ a + b = $。
(2) 已知关于$ x $的方程$ x^{2}+kx - 6 = 0 $的一个根是 2 ,另一个根是,$ k = $。

(1)2024，(2)$- 3$，1（答案按照题目的顺序，用空格隔开）

(1) 将 $x = -1$ 代入方程 $ax^2 - bx - 2024 = 0$ 中，得到：
$a(-1)^2 - b(-1) - 2024 = 0$，
即：
$a + b - 2024 = 0$，
从上式可以解得：
$a + b = 2024$。
(2) 已知方程 $x^2 + kx - 6 = 0$ 的一个根是 2，设另一个根为 $x_1$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$2 + x_1 = -k$，
$2 × x_1 = -6$，
从第二个方程中解得：
$x_1 = -3$，
将 $x_1 = -3$ 代入第一个方程中，得到：
$2 - 3 = -k$，
解得：
$k = 1$。